Hermite矩阵与反Hermite矩阵.doc

Hermite矩阵与反Hermite矩阵摘 要Hermite矩阵是矩阵类中的一种特殊形式，它在矩阵理论中处于重要的地位，尤其是在酉空间、酉变换及复系数二次型的应用中起着主导的作用，它一方面是对实对称矩阵的推广，另一方面它在复矩阵的地位相当于实数在复数C的地位，复矩阵中的Hermite矩阵与实对称矩阵在其性质和证明方法上都十分的相似，本文主要从Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义、性质、基本定理和Hermite矩阵的正定性四个方面讨论Hermite矩阵和反Hermite矩阵.关键词：Hermite矩阵；反Hermite矩阵；正定性；酉矩阵.AbstractThe Hermite matrix forms a special class of matrices in matrix theory.It occupies an important position in the matrix theory and plays a leading role,especially in the unitary space,unitary transformation and the application of the quadratic form of coefficient of polytropy.On the one hand,it is the promotion of the real symmetric matrix ,on the other hand,the staues it occupies in the complex matrix comes up to the position that real number in the plural form C. In the nature and methods of proof ,Hermite matrices and real symmetric matrix are very similar. This article is concerned about the definition,nature,fundamental theorem of the Hemite matrix and anti-Hermite matrix and the positive definiteness of Hermite matrix.Key words：Hermite matrix;Anti-Hermite matrix;Positive definite;Unitary matrix目 录一、引言(01)二、Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义(01)三、Hermite矩阵的性质定理（一）Hermite矩阵的性质(02)（二）Hermite矩阵的定理(02)（三）Hermite矩阵的正定性(05)四、反Hermite矩阵的性质定理（一）反Hermite矩阵的性质(14)（二）反Hermite矩阵的定理(15)五、结论(20)参考文献(21)致谢(22)Hermite矩阵与反Hermite矩阵一、引言众所周知，矩阵理论在历史上至少可追溯到Sylvester与Cayley，特别是Cayley1858年的工作.近代数学的一些学科，如代数结构理论与泛函分析可以在矩阵理论中寻到它们的根源，另一方面，随着计算机的广泛应用，矩阵理论在不断地发展，矩阵已成为处理数值问题的有力工具.作为数学的一个重要分支，矩阵理论具有极为丰富的内容，在数学以及其他科学技术领域都有十分重要的应用，如数值分析、最优化理论、运筹学与控制论、概率论与数理统计、力学、电学、信息科学、管理科学与工程技术等都与矩阵理论有着密切的关系.对称矩阵是一类非常重要的矩阵，近年来，在矩阵理论中，Hermite矩阵的应用越来越广泛，对其研究也取得很大的进展.在复矩阵中，Hermite矩阵实际上是实对称矩阵的推广，它在复矩阵中的地位相当于实数在复数中的地位，本文主要从Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义、性质，基本定理以及Hermite矩阵正定性几个方面讨论Hermite矩阵和反Hermite矩阵并给出了相关的证明，来加深对矩阵理论的理解，从而能更好地使用这些工具.二、Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义定义 1 设是一个阶复矩阵，即，为的共轭转置，=，则将称为Hermite 矩阵.若，则称之为反Hermite矩阵.定义 2 设是一个阶Hermite 矩阵，若对于任一非零的维复向量，均有，则称为Hermite 正定矩阵.定义 3 设是一个阶复矩阵，为的共轭转置，若，则称为正规矩阵.定义 4 设是一个阶复矩阵，为的共轭转置，则将称为酉矩阵，它的行列式的绝对值等于1.三、Hermite矩阵的性质定理（一）Hermite矩阵的性质由Hermite矩阵的定义可知，Hermite矩阵具有如下简单的性质：（1）对所有，则，和都是Hermite矩阵；（2）如果是Hermite矩阵，则对正整数，也是Hermite矩阵；（3）如果是可逆Hermite矩阵，则也是Hermite矩阵；（4）如果，是Hermite矩阵，则对实数，也是Hermite矩阵；（5）如果，是Hermite矩阵，则是Hermite矩阵的充分必要条件是；（6）是Hermite矩阵的充分必要条件是对于任意阶方阵，是Hermite矩阵.（二）Hermite矩阵的定理定理3-1 若是阶复矩阵，则是Hermite矩阵的充分必要条件是对于任意，是实数；证明 必要性 因为是数，所以因此是实数.充分性 因为对于任意，,，都是实数，而于是对任意，是实数，令，则是实数，这表明与的虚部值相等，但符号相反，即再令，其中，是实数，则与的实部相等，即因此，即是Hermite矩阵.定理3-2（Hermite矩阵的谱定理） 设是给定的，则是Hermite矩阵当且仅当存在一个酉矩阵和一个实对角矩阵，使得，其中均为实数，此外，是实Hermite矩阵（即实对称的），当且仅当存在一个实正交矩阵和一个实对角矩阵，使得，其中均为实数.虽然Hermite矩阵的实线性组合总是Hermite矩阵，但它们的复线性组合就不一定是Hermite矩阵，例如，如果是Hermite矩阵，那么，只有当时才是Hermite矩阵.另外，如果和是Hermite矩阵，那，因此，是Hermite矩阵，当且仅当与可交换.定理3-3 设为阶Hermite矩阵，则（）是正规矩阵且所有特征值全是实数；（）的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的.证明 （）为阶Hermite矩阵，由定理3-2可知必酉相似于实对角矩阵，即存在阶酉矩阵，使得其中，是的是特征值，且即是正规矩阵.设，为的特征值，非零向量为的特征向量，即，又所以即 所以为实数.（）设，是的两个不同特征值，相应的特征向量分别为，则，从而，因为是Hermite矩阵，均为实数，则于是由于，故与正交.定理3-4（Hermite矩阵的惯性定理） 设是阶Hermite矩阵，则（复）合同与，而且,由唯一确定.其中称为的规范型，表示阶单位矩阵，,，分别称为的正惯性指数、负惯性指数和符号差.注：由惯性定理导出的Hermite矩阵的正惯性指数、负惯性指数及符号差等，不仅是代数学中的重要内容，而且在几何学、物理学中都有许多重要的应用，构成几何对象及物理对象的“指标”或“守恒量” .下面讨论一下Hermite矩阵的正定性.（三）Hermite矩阵的正定性 在讨论Hermite矩阵的正定性之前，我们先来引入矩阵的UR分解定理及其引理.矩阵UR分解定理 设，则可以唯一地分解为或其中，是正线上三角阵，是正线下三角阵。（即和的主对角线上元素全是正的）.引理 若是正线上三角阵，又是酉矩阵，则是单位阵.与实对称矩阵一样，同样我们可以利用Hermite二次型的正定，来定义Hermite矩阵的正定.定义 由个复变量，系数为复数的二次齐式（3-1）其中，称为Hermite二次型.记则为Hermite矩阵.我们称矩阵为Hermite二次型矩阵，并且称的秩为Hermite二次型的秩.于是，Hermite二次型（3-1）可改写成其中，因此，一个Hermite二次型与一个Hermite矩阵相对应.如果对任一组不全为零的实数，都有，则称该二次型齐式是正定的（非负定的），并称相对应的Hermite矩阵是正定的（非负定的）.正定（非负定）矩阵具有如下基本性质：（1）单位矩阵；（2）若，数，则；（3）若，则；（4）若，则.显然这些基本性质可以由定义直接推导得出，下面我们给出Hermite矩阵正定（半正定）的条件.定理3-5 设是阶Hermite矩阵，则下列命题等价：（1）是正定矩阵；（2）对任意阶可逆矩阵，都是Hermite正定矩阵；（3）的个特征值均为正数；（4）存在阶可逆矩阵，使得；（5）存在阶可逆矩阵，使得；（6）存在正线上三角矩阵,使得，且分解是唯一的；（7）存在阶可逆Hermite矩阵，使得. 证明 首先按进行证明. 对任意阶可逆矩阵及任意且，令，则且故是Hermite正定矩阵； 对Hermite矩阵，存在酋矩阵使得（3-2）其中为的特征值，由定理3-5（2）知是正定矩阵，则均为正数； 因为的特征值均为正数，令 则令，代入上式得，是可逆矩阵. 因为存在阶可逆矩阵使得，则令,有 因为，其中为可逆矩阵，根据矩阵UR 分解定理得到，其中是酉矩阵，是正线上三角阵，因此现证分解的唯一性：设有两种正线上三角分解，即故容易验证仍是上三角阵，又由上式知是酉矩阵，根据引理可得，即. 因为，所以由于为正线上三角阵，故当时，于是此即是正定的.下面证明， 因为存在阶可逆矩阵,使得，则对任意且都有，从而.故是正定矩阵. 设为的任一特征值，为相应的特征向量，则因为是正定矩阵，所以，从而.因此的特征值均为正数.由（3-2）得其中为的正特征值.令则是阶可逆Hermite矩阵，并且. 因为存在阶可逆Hermite矩阵使得，类似于即知是正定矩阵.定理3-6 设是阶Hermite矩阵，则下列命题等价（1）是非负定矩阵；（2）对于任何阶可逆矩阵，都有是Hermite非负定矩阵；（3）的个特征值均为非负数；（4）存在阶可逆矩阵，使得，其中；（5）存在秩为的阶矩阵使得.证明 的证明与定理1相似； 存在，满足其中，令则令，则 由可得其中 由于，故因为，所以方程组有非零解，即存在，满足，从而所以是半正定的.定理3-7 阶Hermite矩阵为正定（非负定）矩阵的充分必要条件是的所有特征值都是正数（非负数）.证明 必要性 设，是的任一特征值，是对应的单位特征向量，于是充分性 由定理3-2知，存在酉矩阵,使得若的特征值（）都为正数（非负数），则对任意维非零向量， 都有式中，从而.定理3-8 阶Hermite矩阵为正定矩阵的充分必要条件是存在阶非奇异矩阵，使得.证明 充分性显然成立.必要性 由定理3-2知，存在酉矩阵,使得（3-3）若，则由定理3-7可知，.令则非奇异，且由（3-3）式得.若将条件中的“非奇异”去掉就得到为非负定矩阵的充分必要条件，即得到：定理3-9 阶Hermite矩阵为非负定矩阵的充分必要条件是存在阶矩阵，使得.推论1 若，则可逆且；推论2 若，是任一阶非奇异矩阵，则；推论3 若，是任一矩阵，则.定理3-10 阶正定Hermite矩阵的各阶顺序主子矩阵都是正定矩阵.证明 设是的阶顺序主子矩阵，是任意维非零向量（），令，其中0为维零向量，将作如下分块：，于是即是正定矩阵.定理3-11 阶Hermite矩阵为正定矩阵的充分必要条件是的顺序主子式均为正数，即，证明 必要性 当时，的行列式，这是因为等于的特征值的乘积，由定理3-10知的各阶顺序主子式都是正定矩阵，故它们的行列式均为正数，即的顺序主子式均为正数.充分性 对矩阵阶数作归纳法，阶为1时结论显然成立，假设阶为时结论成立，对阶Hermite矩阵，我们作如下分块，其中为的阶顺序主子矩阵，因为非奇异，令则根据归纳假设，有，于是，（），从而所以，这说明了阶时结论成立，从而证明了充分性.定理3-12 阶Hermite矩阵为正定矩阵的充分必要条件是的所有主子式全大于零.证明 充分性由定理3-11可得必要性 对的任一阶主子式只要适当（若干次）对调的行和相应的列，可使上述的成为一个阶顺序主子式，即存在可逆矩阵，使的阶顺序主子式为，因为，由前面推论2知，从而由定理3-11有.定理3-13 设，都是阶Hermite矩阵，且，则存在非奇异矩阵，使得，（3-4）证明 由定理3-8知，存在非奇异矩阵，使得，由此得（3-5）又亦为Hermite矩阵，故有酉矩阵，使（3-6）令，则非奇异，从而由（3-4）和（3-5）知（3-6）成立.定理3-14 设是正定（非负定）Hermite矩阵，则存在唯一的正定（非负定）Hermite矩阵，满足.证明 因为是正定（非负定）Hermite矩阵，故其中是酉矩阵，全大于零（非负）.令显然.现证是唯一的.设还有一个正定Hermite矩阵，满足，故可设，由得到，于是根据，所以下面进一步证明事实上（3-7）设酉矩阵代入（3-7）得比较等式两端得，当时,故；当时，于是有即 四、反Hermite矩阵的性质定理（一）反Hermite矩阵的性质根据反Hermite矩阵的定义可知，不难得出反Hermite矩阵具有如下一些性质：（1）对所有，是反Hermite矩阵；（2）如果是反Hermite矩阵，则是反Hermite矩阵；（3）如果是反Hermite矩阵，则对正整数，是Hermite矩阵；（4）如果是反Hermite矩阵，则的奇数次方也是反Hermite矩阵；（5） 如果，是反Hermite矩阵，则对实数，也是反Hermite矩阵；（6）如果，是反Hermite矩阵，则是反Hermite矩阵的充分必要条件是；（7）是反Hermite矩阵的充分必要条件是对于任意阶方阵，是反Hermite矩阵.（8）偶数阶反Hermite矩阵的行列式为实数，奇数阶反Hermite矩阵的行列式为复数；（9）若反Hermite矩阵可逆，则也是反Hermite矩阵（10）若是Hermite矩阵，则是反Hermite矩阵（）；（11）若是反Hermite矩阵，则是Hermite矩阵（）；（12）任意可写成，其中是的Hermite部分，而是的反Hermite部分；（二）反Hermite矩阵的定理定理4-1 每个可以唯一地写成，其中和都是Hermite矩阵.证明 把写成由Hermite矩阵和反Hermite矩阵的基本性质可知，和都是Hermite矩阵，根据唯一性论断，我们知道，如果,其中和都是Hermite矩阵，那么因而.类似地可以证明.定理4-2 任一个阶矩阵都可表示为一个Hermite矩阵和一个反Hermite矩阵之和.证明 设任一个阶矩阵，令，其中，由于显然是Hermite矩阵，是反Hermite矩阵.定理4-3 设，若（的伴随矩阵）是偶数阶反Hermite矩阵，则（）是反Hermite矩阵；（）是反Hermite矩阵.证明 （） 设，是（）阶反Hermite矩阵，即，由反Hermite矩阵的性质（8）知，又，故两边取行列式，得因此，从而，从而是反Hermite矩阵；（）令，由于，则，从而，进而，于是，因而是反Hermite矩阵.定理4-4 若是反Hermite矩阵，则（）的主对角线上的元素均为0或纯虚数；（）对任何，还是反Hermite矩阵.证明 （）设复矩阵，则， 由于是反Hermite矩阵,即，故当时，有或为纯虚数即的主对角线上的元素均为0或纯虚数；（）对任意，记，下证，因为是反Hermite矩阵,即，故这就是说，对任意，是反Hermite矩阵，还是反Hermite矩阵. 推论4 若是反Hermite矩阵，则对任意，矩阵的主对角线上的元素均为0或纯虚数.定理4-5 对任意，存在一个阶酉矩阵和一个上三角矩阵，使得其中的对角元素是的特征值.定理4-6 若是阶反Hermite矩阵，则存在一个阶酉矩阵，使得其中，是的纯虚数特征值.证明 由定理4-5可知，存在一个阶酉矩阵,使得其中是上三角矩阵，记由于,令,即因此，即存在阶酉矩阵，使得由于，有，即，从而是纯虚数.定理4-7 设为阶反Hermite矩阵，则（）的特征值均为纯虚数；（）的不同特征值所对应的特征向量相互正交.证明 （）由定理4-4可以直接得出.（）设，是的两个不同特征值，相应的特征向量分别为，则，从而，因为是反Hermite矩阵，均为纯虚数，则于是由于，故与正交.定理4-8 设、都是Hermite矩阵或都是反Hermite矩阵，则（）为Hermite矩阵；（）为反Hermite矩阵.证明 （）设、都是Hermite矩阵，即，则 即为Hermite矩阵；同理可证当、都是反Hermite矩阵时为Hermite矩阵.（）当、都是Hermite矩阵，即，则 即是反Hermite矩阵；同理可证当、都是反Hermite矩阵时为反Hermite矩阵.定理4-9 若、都是反Hermite矩阵，则为Hermite矩阵的充分必要条件是，即、可交换.证明 因为、都是反Hermite矩阵，则，.必要性 由，得所以为Hermite矩阵；充分性 因为为Hermite矩阵，则即、可交换.推论5 若为Hermite矩阵，为反Hermite矩阵，则为反Hermite矩阵的充分必要条件是.证明 因为为Hermite矩阵，为反Hermite矩阵，则，.必要性 由，得所以为反Hermite矩阵；充分性 因为为反Hermite矩阵，则从而.五、结论作为一个矩阵，Hermite矩阵在矩阵理论中地位不言而喻，本文对Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义，性质，基本定理以及Hermite的正定性做了初略地归纳总结，并通过一些证明来更好的理解定理，以此来达到更完整的认识和学习Hermite矩阵.当然，对于He