2.2.1椭圆的标准方程

2 2 1椭圆及其标准方程 临沧市第一中学 罗映斌 学习目标 1 通过对椭圆发展历程的了解 探索椭圆的定义 能够精确的表示椭圆的定义 并且理解 2 通过自我思考 小组合作的方式探究椭圆标准方程的推导过程并能明确各个系数的几何意义 生活中的椭圆 繁花曲线 行星的运行轨道 椭圆定义的发展历程 公元前4世纪古希腊数学家欧几里得所著的 圆锥曲线 中提到 椭圆 是一个圆锥与不过其顶点且与其所有母线相交的平面相截而得到的平面曲线 椭圆定义的发展历程 时隔2000多年 17世纪初期 意大利数学家笛卡尔创立了解析几何 数学家们从代数的视角运用解析几何的方法研究了椭圆的定义 方程和性质 椭圆定义的发展历程 同时荷兰数学家舒腾给出了三种椭圆的作图工具 椭圆定义的发展历程 法国数学家洛必达根据作图的方法给出了椭圆的新定义 椭圆 是平面上到两定点距离之和等于常数的动点轨迹 参照课本38页探究 取一条定长的细绳 把它的两端都固定在图版的同一点处 套上铅笔 拉紧细绳 移动笔尖 这时笔尖 动点 画出的轨迹是一个圆 如果把细绳的两端拉开一段距离 分别固定在图版的两端 套上铅笔 拉紧绳子 移动笔尖 画出的轨迹是什么曲线 圆的定义 平面内到定点距离等于定长的点的轨迹 探究一 椭圆的定义让我们跟着前人的步伐 一起探索椭圆的定义吧 画好后请将两个定点标为F1 F2 笔尖标为点M 问题1 画图过程中 没有改变的长度有哪些 问题2 细绳的长与两个定点之间的距离满足怎样的大小关系 细绳的长 两个定点的距离 请举手回答下面问题 问题3 画图过程中 M到这两个定点的距离的和有没有变化 没有变化 始终等于线段的长 问题4 若两定点的距离与绳长相等 再移动笔尖 得到什么图形呢 请画图作答 以为端点的一段线段 问题5 若两定点的距离比绳长大 再移动笔尖 得到什么图形呢 不存在轨迹 问题6 你能为椭圆下一个定义吗 3点注意 椭圆定义中容易遗漏的三处地方 1 必须在平面内 2 两个定点之间的距离确定 常记作2c 即 3 绳长轨迹上任意点到两定点距离和确定 常记作2a 且2a 2c 即 1 椭圆定义 平面内与两个定点的距离和等于常数 大于 的点的轨迹叫作椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 讲授新课 特别的 1 当2a 2c时 轨迹为一段线段 2 当2a 2c时 轨迹不存在 当然经过后人的不段探索 人们也发现了许多得到椭圆的方法 常见11种 1 椭圆规 小小的补充 2 椭圆的三种画法 牛刀小试 1 到两个定点F1 7 0 和F2 7 0 的距离之和为14的点P的轨迹是 A 椭圆B 线段C 圆D 以上都不对 如果将14换为16 结果为什么呢 如果变为12呢 探究二 椭圆的标准方程 椭圆上点的轨迹方程 探讨建立平面直角坐标系的方案 原则 尽可能使方程的形式简单 运算简单 一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴 对称 简洁 取过焦点F1 F2的直线为x轴 线段F1F2的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系 如图 设M x y 是椭圆上任意一点 椭圆的焦距2c c 0 M与F1和F2的距离的和等于正常数2a 2a 2c 则F1 F2的坐标分别是 c 0 c 0 请推导出M的轨迹方程 椭圆方程 由椭圆的定义得 限制条件 代入坐标 整理得 两边再平方 得 移项 再平方 两边同除以得 由椭圆的定义可知 请作图思考a b c的几何意义 高端大气上档次 2 a的几何意义 PF2 1 b的几何意义 OP 3 c的几何意义 OF2 特征三角形 A1 A2 叫做椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在x轴上 焦点是 中心在坐标原点的椭圆方程 其中 所以 小试牛刀 1 已知经过椭圆 请说出a b c的值 并写出焦点坐标 当堂检测 回顾小结 椭圆的定义 如果椭圆的焦点在y轴上 那么椭圆的标准方程又是怎样的呢 课后探究 哪个分母大 焦点就在哪个轴上 平面内到两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于F1F2 的点的轨迹 椭圆的标准方程 椭圆之歌 大罕谦卑的椭圆 牵挂着两个焦点 体态随遇而安 离心率在0