第四章线性方程组与向量组的线性相关性

线性代数第四章 主讲 赵京波 第四章线性方程组与向量组的线性相关性 本章教学内容 1消元法与线性方程组的相容性 2向量组的线性相关性 3向量组的秩矩阵的行秩与列秩 4线性方程组解的结构 1消元法与线性方程组的相容性 本节教学内容1 线性方程组的概念2 Cramer 克莱姆 法则3 用消元法解线性方程组 1消元法与线性方程组的相容性 1 线性方程组的概念n元线性方程组的一般形式为记 称A为系数矩阵 x为未知列 b为常数列 则线性方程组可写成矩阵形式Ax b 1消元法与线性方程组的相容性 设n元线性方程组Ax b 若A按列分块为A 1 2 n 则方程组可写成向量形式 1x1 2x2 nxn b若b 0 即Ax 0称为齐次线性方程组若b 0 即Ax b称为非齐次线性方程组若n维列向量 1 2 n T满足A b 则称 是Ax b的一个解向量 称x 是Ax b的一个解 称x1 1 x2 2 xn n是Ax b的一组解 1消元法与线性方程组的相容性 设n元线性方程组Ax b 称Ax 0为与它对应的齐次线性方程组 若n维列向量 0 满足A 0 则称x 是齐次线性方程组Ax 0的一个非零解 显然x 0是Ax 0的一个解 称它为Ax 0的零解 或当然解 或平凡解 若线性方程组Ax b有解 则称它是相容的 否则称它是不相容的 性质齐次线性方程组是相容的 1消元法与线性方程组的相容性 2 Cramer法则设n个方程的n元线性方程组Ax b 若 A 0 则线性方程组Ax b有惟一解其中Dj是以b代替A的第j列所得到的n阶行列式 1消元法与线性方程组的相容性 证Ax b 1消元法与线性方程组的相容性 例1 1解线性方程组解 1消元法与线性方程组的相容性 Cramer法则对于线性方程组的求解有重要的理论意义 但是 它只能求解方程个数与未知量个数相同 且其系数行列式的值不为零的线性方程组 随着未知量个数的增加 计算变得十分困难 下面 我们来讨论一般的线性方程组的解法 1消元法与线性方程组的相容性 3 用消元法解线性方程组定义1 1若线性方程组A1x b1的解都是线性方程组A2x b2的解 反之 线性方程组A2x b2的解都是线性方程组A1x b1的解 则称线性方程组A1x b1与线性方程组A2x b2同解 在中学 我们已经知道 1 方程两边同乘一个非零常数 方程的解不变 2 方程两边同乘一个常数 然后加到另一个方程上 方程组的解也不变 即加减消元法 因此 就有 1消元法与线性方程组的相容性 定理1 若 A1 b1 经初等行变换化为 A2 b2 则线性方程组A1x b1与线性方程组A2x b2同解 事实上 倍法变换相当于第i个方程两边同乘一非零常数 消法变换相当于加减消元法 换法变换相当于交换两个方程的次序 故线性方程组的解不变 概念 A b 称线性方程组Ax b的增广矩阵 1消元法与线性方程组的相容性 用消元法解线性方程组的思想方法是 解线性方程组Ax b 1 用初等行变换将增广矩阵 A b 化为最简行阶梯形矩阵 C d 2 解方程组Cx d 其解即是方程组Ax b的解 1消元法与线性方程组的相容性 例1 2用消元法解线性方程组解 1消元法与线性方程组的相容性 于是方程组的解为 R A R A b 3 未知量个数 方程组有惟一解 1消元法与线性方程组的相容性 例1 用消元法解线性方程组解 1消元法与线性方程组的相容性 原方程组可化为 此称方程组的一般解 或通解 R A R A b 2 4 未知量个数 方程组有无穷多组解 自由未知量个数 4 2 2 x3与x4可任意取值 称为自由未知量 1消元法与线性方程组的相容性 例2 用消元法解线性方程组解 8 8 6 6 1 1消元法与线性方程组的相容性 原方程组可化为所以方程组无解 1 矛盾方程组 R A R A b 方程组无解 1消元法与线性方程组的相容性 由上述例题可知定理2 设n元线性方程组Ax b R A R A b n 方程组Ax b有惟一解 R A R A b n 方程组Ax b有无穷多组解 自由未知量个数 n R A 方程组中可任意取值的未知量称自由未知量 R A R A b 方程组Ax b无解 注 定理1 1 定理1 2及推论1 1自行阅读 1消元法与线性方程组的相容性 由定理2 可知定理3 设n元齐次线性方程组Ax 0 R A n 方程组Ax 0有惟一解 即方程组Ax 0只有零解 A为方阵时 A 0 R A n 方程组Ax 0有无穷多组解 即方程组Ax 0有非零解 A为方阵时 A 0注 定理1 3及推论1 2自行阅读 1消元法与线性方程组的相容性 例1 3判断下列线性方程组是否有解解 1消元法与线性方程组的相容性 例1 4问 取何值 下列方程组有非零解解当 1或 2时 A 0 即方程组有非零解 1消元法与线性方程组的相容性 本节学习要求1 理解线性方程组有关的概念 2 掌握消元法 熟悉克莱姆法则及线性方程组解有关的定理 作业 习题4 1 A 第2 3题 2向量组的线性相关性 本节教学内容1 线性组合 线性表示和等价关系2 向量组的线性相关性3 线性相关性与线性表示法4 维数 向量个数与线性相关性 2向量组的线性相关性 1 线性组合 线性表示和等价关系概念1若干同维数的列向量 或同维数的行向量 1 2 s叫做一个向量组 概念2若矩阵A按列分块为A 1 2 n 则 1 2 n叫做矩阵A的列向量组 若矩阵A按行分块为则 1 2 m叫做矩阵A的行向量组 2向量组的线性相关性 例矩阵则 1 1 1 1 2 0 1 2 3 0 0 0 是A的行向量组 是A的列向量组 2向量组的线性相关性 定义2 1设 1 2 s为n维向量组 k1 k2 ks为一组数 则k1 1 k2 2 ks s叫做 1 2 s的一个线性组合 k1 k2 ks称为这个线性组合的系数 若 k1 1 k2 2 ks s则称 是 1 2 s的线性组合 也称 可由 1 2 s线性表示 或线性表出 注 可由 1 2 s线性表示 线性方程x1 1 x2 2 xs s 有解 2向量组的线性相关性 例n维基本列向量任意n维列向量 2向量组的线性相关性 定义2 2若向量组 1 2 s中的每一个向量都可由向量组 1 2 t线性表示 则称向量组 1 2 s可由向量组 1 2 t线性表示 若两个向量组可相互线性表示 则称这两个向量组等价 性质1若向量组 1 2 s可由向量组 1 2 t线性表示 向量组 1 2 t可由向量组 1 2 p线性表示 则向量组 1 2 s可由向量组 1 2 p线性表示 传递性 2向量组的线性相关性 性质2 向量组 1 2 s与向量组 1 2 s等价 若向量组 1 2 s与向量组 1 2 t等价 则向量组 1 2 t与向量组 1 2 s等价 若向量组 1 2 s与向量组 1 2 t等价 向量组 1 2 t与向量组 1 2 p等价 则向量组 1 2 s与向量组 1 2 p等价 证略 2向量组的线性相关性 2 向量组的线性相关性定义2 3设向量组 1 2 s 若存在不全为零的数 1 2 s 使得 1 1 2 2 s s 0 则称向量组 1 2 s线性相关 否则 称向量组 1 2 s线性无关 注 若对任意不全为零的数 1 2 s 都有 1 1 2 2 s s 0 则向量组 1 2 s线性无关 2向量组的线性相关性 例2 1证明三维基本列向量组证 因对任意不全为零的数 1 2 s 都有 线性无关 2向量组的线性相关性 由定义易得基本结论 单个向量 线性相关 向量 0 单个向量 线性无关 向量 0 向量 线性相关 向量 k 或 k 与 对应分量成比例向量 线性无关 向量 与 对应分量不成比例 向量组 1 2 s线性相关 向量组 1 2 s s 1 m线性相关 向量组 1 2 s s 1 m线性无关 向量组 1 2 s线性无关 2向量组的线性相关性 定理2 1向量组 1 2 s线性相关 齐次线性方程x1 1 x2 2 xs s 0有非零解 向量组 1 2 s线性无关 齐次线性方程x1 1 x2 2 xs s 0只有零解 由定义显然成立 推论2 1n维列向量组 1 2 s线性相关 A 1 2 s R A s 推论2 2n维列向量组 1 2 s线性无关 A 1 2 s R A s 2向量组的线性相关性 推论2 1 n维行向量组 1 2 s线性相关 推论2 2 n维行向量组 1 2 s线性无关 2向量组的线性相关性 推论2 3s n时 n维向量组 1 2 s线性相关 证 若 1 2 s为n维列向量组 则A 1 2 s R A n s 故 1 2 s线性相关 若 1 2 s为n维行向量组 同理可证 1 2 s线性相关 2向量组的线性相关性 例2 2已知向量组 1 2 3线性无关 1 1 2 2 2 3 3 3 1 试证 1 2 3线性无关 证 设x1 1 x2 2 x3 3 0即x1 1 2 x2 2 3 x3 3 1 0 得 x1 x3 1 x1 x2 2 x2 x3 3 0 向量组 1 2 3线性无关 得 故 1 2 3线性无关 2向量组的线性相关性 例讨论向量组的线性相关性 解 2向量组的线性相关性 例讨论向量组的线性相关性 又解 2向量组的线性相关性 例讨论向量组的线性相关性 解 2向量组的线性相关性 3 线性相关性与线性表示法定理2 2向量组 1 2 s s 2 线性相关 1 2 s中至少有一个向量可由其余s 1个向量线性表示 证 设 1 2 s线性相关 则存在不全为零的数 1 2 s 使得 1 1 2 2 s s 0 不妨设 1 0 则有即 1可由 2 3 s线性表示 2向量组的线性相关性 设 1 2 s中至少有一个向量可由其余s 1个向量线性表示 不妨设 1可由 2 3 s线性表示 即 1 k2 2 k3 3 ks s则 1 k2 2 k3 3 ks s 0故向量组 1 2 s线性相关 2向量组的线性相关性 定理2 3若向量组 1 2 s线性无关 向量 可由 1 2 s线性表示 则表示法是惟一的 证 设 k1 1 k2 2 ks s且 1 1 2 2 s s则 k1 1 1 k2 2 2 ks s s 0由 1 2 s线性无关 得k1 1 k2 2 ks s 0即k1 1 k2 2 ks s 故表示法是惟一的 2向量组的线性相关性 定理2 4若向量组 1 2 s线性无关 向量组 1 2 s线性相关 则 可由 1 2 s惟一线性表示 证 向量组 1 2 s线性相关 存在不全为零的数k k1 k2 ks 使得k k1 1 k2 2 ks s 0若k 0 则k1 1 k2 2 ks s 0 由 1 2 s线性无关 得k1 k2 ks 0 矛盾 故k 0 由定理2 3知表示法是惟一的 2向量组的线性相关性 4 维数 向量个数与线性相关性概念设r维向量组称r 1维向量组为向量组 1 2 s的接长向量组 定理2 5若向量组 1 2 s的接长向量组 1 2 s线性相关 则 1 2 s也线性相关 证 设A 1 2 s B 1 2 s 则R A R B s 故 1 2 s也线性相关 2向量组的线性相关性 推论2 4若向量组 1 2 s线性无关 则其接长向量组 1 2 s也线性无关 证 设A 1 2 s B 1 2 s 则s R B R A s 即R B s 故 1 2 s也线性无关 2向量组的线性相关性 定理2 6若向量组 1 2 s可由 1 2 t线性表示 且s t 则 1 2 s线性相关 证 设 i ki1 1 ki2 2 kit t i 1 2 s 考察x1 1 x2 2 xs s 0即有令故 1 2 s线性相关 因s t 它有非零解 2向量组的线性相关性 推论2 5若向量组 1 2 s可由 1 2 t线性表示 1 2 s线性无关 则有s t 推论2 6若向量组 1 2 s与 1 2 t等价 且都线性无关 则有s t 2向量组的线性相关性 本节学习要求1 理解向量组的线性组合 线性表示 等价关系 线性相关与线性无关的概念 2 熟悉向量组线性相关的有关定理 会判断 证明向量组的线性无关 或线性相关 作业 习题4 2 A 第2 4 9题 3向量组的秩矩阵的行秩与列秩 本节教学内容1 向量组的秩2 矩阵的行秩与列秩 3向量组的秩矩阵的行秩与列秩 1 向量组的秩定义3 1若向量组 1 2 s的部分向量组的个数r称为向量组 1 2 s的秩 记作R 1 2 s 极大线 性无关组 简称极大无关组 极大无关组所含向量 3向量组的秩矩阵的行秩与列秩 注 只含零向量的向量组没有极大无关组 规定它的秩为0 定义3 1中的条件 2 1 2 s的任意r 1个向量线性相关 1 2 s线性无关 R 1 2 s s 1 2 s线性相关 R 1 2 s 0 向量组的极大无关组未必惟一 3向量组的秩矩阵的行秩与列秩 定理3 1向量组与它的任一极大无关组等价 证 推论3 1一向量组的任两个极大无关组等价 推论3 2一向量组的秩是惟一确定的 3向量组的秩矩阵的行秩与列秩 定理3 2若向量组 1 2 s可由向量组 1 2 t线性表示 则R 1 2 s R 1 2 t 证 3向量组的秩矩阵的行秩与列秩 定理3 3等价的向量组有相同的秩 证 设 1 2 s 与 1 2 t等价 则 1 2 s可由 1 2 t线性表示 且 1 2 t可由 1 2 s线性表示 所以R 1 2 s R 1 2 t 且R 1 2 t R 1 2 s 故R 1 2 s R 1 2 t 3向量组的秩矩阵的行秩与列秩 例3 1设向量组 1 2 s可由向量组 1 2 t线性表示 且R 1 2 s R 1 2 t r 试证 1 2 s与 1 2 t等价 证 3向量组的秩矩阵的行秩与列秩 3向量组的秩矩阵的行秩与列秩 2 矩阵的行秩与列秩定义矩阵A的行向量组的秩称为A的行秩 矩阵A的列向量组的秩称为A的列秩 例3 2设矩阵A的行向量组 1 1 1 1 2 0 1 2 3 0 0 0 显然 1 2线性无关 1 2 3是线性相关 即 1 2是 1 2 3是的极大无关组 故称为A的行秩为2 3向量组的秩矩阵的行秩与列秩 例3 2设矩阵A的列向量组 1 2线性无关 3 2 2 1 即 1 2是 1 2 3是的极大无关组 故称为A的列秩为2 这里A的行秩 A的列秩 R A 2 3向量组的秩矩阵的行秩与列秩 定理3 4矩阵A的行秩 A的列秩 R A 证 设R A r 则A有r阶子式Dr 0 A中Dr所在的r个列向量线性无关 而A的任意r 1阶子式Dr 1 0 则A中任意r 1个列向量线性相关 所以A的列秩 r R AT R A r 则AT的列秩 r 即A的行秩 r 注 由此定理知 可用初等变换求向量组的秩及极大无关组 由定理3 4及第三章定理3 1可推知 3向量组的秩矩阵的行秩与列秩 定理设列向量组 1 2 n 则 证明自行完成 3向量组的秩矩阵的行秩与列秩 若B为行阶梯形矩阵 则 3向量组的秩矩阵的行秩与列秩 例3 3设矩阵求A的秩和A的列向量组 1 2 3 4 5的极大无关组 并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示 解 3向量组的秩矩阵的行秩与列秩 可知R A 3 1 2 4是A的列向量组的极大无关组 3 1 2 5 4 1 3 2 3 4 3向量组的秩矩阵的行秩与列秩 例4设矩阵求A的行秩和A的行向量组的极大无关组 并把不属于极大无关组的行向量用极大无关组线性表示 解 3向量组的秩矩阵的行秩与列秩 所以A的行向量组 1 2 3的秩 2 1 2是A的行向量组 1 2 3的极大无关组 3 1 2 2 3向量组的秩矩阵的行秩与列秩 定理3 5设A B均为m n矩阵 则R A B R A R B 证 3向量组的秩矩阵的行秩与列秩 定理3 6设A为m n矩阵 B为n p矩阵 则R AB min R A R B 证 3向量组的秩矩阵的行秩与列秩 3向量组的秩矩阵的行秩与列秩 本节学习要求1 理解向量组的极大线性无关组的概念 向量组的秩的的概念 矩阵的行秩与列秩的概念 熟悉相关的定理 2 会求向量组的极大线性无关组与向量组的秩 会用极大线性无关组线性表示向量组的其它向量 会讨论证明向量组的秩的问题 作业 习题4 3 A 第2 2 3 1 4题 选做 习题4 3 A 第5 8题 习题4 3 B 第1 2 3题 4线性方程组解的结构 本节教学内容1 齐次线性方程组解的结构2 非齐次线性方程组解的结构 4线性方程组解的结构 1 齐次线性方程组解的结构性质1证 4线性方程组解的结构 性质2证 4线性方程组解的结构 定义4 1注 只有零解的齐次线性方程组无基础解系 Ax 0的基础解系是Ax 0的解向量组的一个极大线性无关组 基础解系 亦称结构解 4线性方程组解的结构 定理4 1n元齐次线性方程组Ax 0的基础解系所