高一数学必修2直线

P 1 下列五个正方体图形中 是正方体的一条对角线 点M N P分别为其所在棱的中点 求能得出 面ll MNP的图形的序号 写出所有符合要求的图形序号 3 如图 已知四棱锥S ABCD的底面ABCD是正方形 SA 底面ABCD E是SC上 的一点 1 求证 平面EBD 平面SAC 2 设SA 4 AB 2 求点A到平面SBD的距离 解法 2 如果记正方体对角线l所在的对角截面为 各图可讨论如下 在图 中 MN NP 在平面上的射影为同一直线 且与l垂直 故 l 面 MNP 事实上 还可这样考虑 l在上底面的射影是 MP 的垂线 故l MP l在左侧面的射影是 MN 的垂线 故l MN 从而l 面 MNP 在图 中 由 MP 面 可证明 MN 在平面上的射影不是l的垂线 故l不垂直于 MN 从而l不垂直 于面 MNP 在图 中 点 M 在上的射影是l的中点 点 P 在上的射影是上底面的内点 知 MP 在上的射影不是 l的垂线 得l不垂直于面 MNP 在图 中 平面垂直平分线段 MN 故l MN 又l在左侧面的射影 即侧面正方形的一条对角线 与 MP 垂直 从而l MP 故l 面 MNP 在图 中 点 N 在平面上的射影是对角线l的中点 点 M P 在平面上的射影分别是上 下底面对角 线的 4 分点 三个射影同在一条直线上 且l与这一直线垂直 从而l 面 MNP 至此 得 为本题答案 2 解 设AC BD O 连结SO 则SO BD 由AB 2 知BD 2 2 SO SA2 AO2 42 r 2 2 32 S SBD BD SO 2 3 6 1 2 1 222 令点A到平面SBD的距离为h 由SA 平面ABCD 则 S SBD h S ABD SA 1 3 1 3 6h 2 2 4 h 点A到平面SBD的距离为 1 2 4 3 4 3 4 如右图所示 正三棱锥VABC 顶点在底面的射影是底面正三角形的中心 中 D E F分别是 VC VA AC的中点 P为VB上任意一点 则直线DE与PF所成的角的大小是 6 把正方形ABCD沿对角线AC折起 当以 A B C D四点为顶点的三棱锥体积最大时 直线BD和平面 ABC所成的角的大小为 3 棱长为1的正四面体内有一点P 由点P向各面引垂线 垂线段长度分别为 A BC D E S 1234 d dd d 则 1234 dddd 的值为 作等积变换 1234 1313 3434 ddddh 而 6 3 h 7 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起 当以 A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时 直线 BD 和平 面 ABC 所成的角的大小为 11 已知三棱锥 P ABC 的三条侧棱 PA PB PC 两两相互垂直 且三个侧面的面积分别为 S1 S2 S3 则 这个三棱锥的体积为 12 P 是 ABC 所在平面 外一点 过 P 作 PO 平面 垂足是 O 连 PA PB PC 1 若 PA PB PC 则 O 为 ABC 的 心 2 PA PB PA PC PC PB 则 O 是 ABC 的 心 3 若点 P 到三边 AB BC CA 的距离相等 则 O 是 ABC 的 心 4 若 PA PB PC C 90 则 O 是 AB 边的 点 5 若 PA PB PC AB AC 则点 O 在 ABC 的 线上 13 如图 在正三角形 ABC 中 D E F 分别为各边的中点 G H I J 分别 为 AF AD BE DE 的中点 将 ABC 沿 DE EF DF 折成 三棱锥以后 GH 与 IJ 所成角的度数为 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 2 BB1 BC 1 E 为 D1C1的中点 连结 ED EC EB 和 DB 1 求证 平面 EDB 平面 EBC 2 求二面角 E DB C 的正切值 当三棱锥 D ABC 体积最大时 平面 DAC ABC 取 AC 的中点 O 则 DBO 是等腰直角三角形 即 J 第 13 题 DBO 45 8 D 解析 A 一组对边平行就决定了共面 B 同一平面的两条垂线互相平行 因而共面 C 这些直线都在 同一个平面内即直线的垂面 D 把书本的书脊垂直放在桌上就明确了 9 B 解析 因为 正确 故选 B 10 A 解析 异面直线 所成的角为 60 直线 过空间任一点 P 作直线 a a b b c c abca 若 a b c 共面则 b 与 c 成 30 角 否则 与 所成的角的范围为 30 90 所以直线 b 与 c 所bc 成角的范围为 30 90 二 填空题二 填空题 11 解析 设三条侧棱长为 a b c 则 ab S1 bc S2 ca S3 三式相乘 3 1 321 2SSS 2 1 2 1 2 1 a2 b2 c2 S1S2S3 abc 2 三侧棱两两垂直 V abc 8 1 321 2SSS 3 1 2 1 3 1 321 2SSS 12 外 垂 内 中 BC边的垂直平分 解析 1 由三角形全等可证得 O 为 ABC 的外心 2 由直线和平面垂直的判定定理可证得 O 为 ABC 的垂心 3 由直线和平面垂直的判定定理可证得 O 为 ABC 的内心 4 由三角形全等可证得 O 为 AB 边的中点 5 由 1 知 O 在 BC 边的垂直平分线上 或说 O 在 BAC 的平分线上 13 60 解析 将 ABC 沿 DE EF DF 折成三棱锥以后 GH 与 IJ 所成角的度数为 60 14 30 90 解析 直线 l 与平面 所成的 30 的角为 m 与 l 所成角的最小值 当 m 在 内适当旋转 就可以得到 l m 即 m 与 l 所成角的的最大值为 90 15 3 6 解析 作等积变换 d1 d2 d3 d4 h 而 h 4 3 3 1 4 3 3 1 3 6 14 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起 当以 A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时 直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为 C 6 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB AD 2 CC1 则二32 面角 C1 BD C 的 大小为 10 平面 平面 A B AB 与两平面 所成的角分 别为和 4 6 第 10 题 过 A B 分别作两平面交线的垂线 垂足为 A B 则 AB A B 等于 13 如图 AC 是平面 的斜线 且 AO a AO 与 成 60 角 OC AA 于 A A OC 45 则 点 A 到直线 OC 的距离是 18 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PD 平面ABCD PD DC BC 1 AB 2 AB DC BCD 90 1 求证 PC BC 2 求点 A 到平面 PBC 的距离 19 如图 棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 1 求证 AC 平面 B1D1DB 2 求证 BD1 平面 ACB1 3 求三棱锥 B ACB1体积 解析 连接 AB A B 于是 ABA BAB 设 AB a A B acos a BB acos 6 4 6 3 2 4 a A B a AB A B 2 1 2 2 1 2 13 a 4 14 解析 如图过点 A 作 AB OC 垂足为 B 连接 A B 点 A 到直线 OC 距离是 AB 依条件得 AA a A O a A B a 2 3 2 1 4 2 D1 C1 B1 A1 C D B A 第 19 题 第 18 题 A B C O A 第 13 题 AB a a 16 2 4 3 4 14 17 证明 1 连接 EO 四边形 ABCD 为正方形 O 为 AC 的中点 E 是 PC 的中点 OE 是 APC 的中位线 EO PA EO平面 BDE PA平面 BDE PA 平面 BDE 2 PO 平面 ABCD BD平面 ABCD PO BD 四边形 ABCD 是正方形 AC BD PO AC O AC 平面 PAC PO 平面 PAC BD 平面 PAC 18 1 证明 PD 平面 ABCD BC 平面 ABCD PD BC 由 BCD 90 得 CD BC 又 PD DC D PD DC 平面 PCD BC 平面 PCD PC 平面 PCD 故 PC BC 2 解 方法一 分别取 AB PC 的中点 E F 连 DE DF 则易证 DE CB DE 平面 PBC 点 D E 到平面PBC 的距离相等 又点 A 到平面 PBC 的距离等于点 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍 由 1 知 BC 平面 PCD 平面 PBC 平面 PCD PD DC PF FC DF PC 又 平面 PBC 平面 PCD PC DF 平面 PBC 于 F 易知 DF 故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 2 2 方法二 连接 AC 设点 A 到平面 PBC 的距离为h AB DC BCD 90 ABC 90 由 AB 2 BC 1 得 ABC 的面积 S ABC 1 由 PD 平面 ABCD 及 PD 1 得三棱锥 P ABC 的体积 V S ABC PD 3 1 3 1 PD 平面 ABCD DC平面 ABCD PD DC 又 PD DC 1 PC 由 PC BC BC 1 得 PBC 的面积 S PBC 22 DCPD 2 2 2 VA PBC VP ABC S PBC h V 得 h 故点 A 到平面 PBC 的距离等于 3 1 3 1 22 19 1 证明 AC BD 又 BB1 平面 ABCD 且 AC 平面 ABCD BB1 AC BD BB1 B AC 平面 B1 D1DB 2 证明 由 1 知 AC 平面 B1D1DB BD1平面 B1D1DB AC BD1 A1D1 平面 A1B1BA AB1平面 A1B1BA A1D1 AB1 第 18 题 第 18 题 P 又 A1B AB1且 A1B A1D1于 A1 AB1 平面 A1D1B BD1平面 A1D1B BD1 AB1 又 AC AB1 A BD1 平面 ACB1 4 如右图所示 正三棱锥VABC 顶点在底面的射影是底面正三角形的中心 中 D E F分别是 VC VA AC的中点 P为VB上任意一点 则直线DE与 PF所成的角的大小是 1 把正方形ABCD沿对角线AC折起 当以 A B C D四点为顶点的三棱锥体积最 大时 直线BD和平面ABC所成的角的大小为 3 空间四边形 ABCD 中 若 则与所成角为ABADACCBCDBD ACBD 2 已知在四面体ABCD中 E F分别是 AC BD的中点 若2 4 ABCDEFAB 则