2017中考复习-特殊四边形综合题

特殊四边形综合题1如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QOBD，垂足为O，连接OA、OP（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3）在平移变换过程中，设y=SOPB，BP=x（0x2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值2已知在矩形ABCD中，ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EPPD）（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将DPF绕点P逆时针旋转90后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G求证：PG=PF； 探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论（2） 拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PGPF，交射线DA于点G，你认为（1）中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由3已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF设CE=a，CF=b（1）如图1，当EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；（2）当AEF是直角三角形时，求a、b的值；（3）如图3，探索EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由4如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且MAN始终保持45不变（1）求证：=；（2）求证：AFFM；（3）请探索：在MAN的旋转过程中，当BAM等于多少度时，FMN=BAM？写出你的探索结论，并加以证明 5如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且BFC=90（1）当E为BC中点时，求证：BCFDEC；（2）当BE=2EC时，求的值；（3）设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C，连结FC，AF，若点C到AF的距离是，求n的值6如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tanABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角（=BCD），得到对应线段CF（1）求证：BE=DF；（2）当t= 秒时，DF的长度有最小值，最小值等于 ；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角（=BCD），得到对应线段CG在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式 7已知四边形ABCD是菱形，AB=4，ABC=60，EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且EAF=60（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且EAB=15时，求点F到BC的距离8如图，AD为等腰直角ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE（1）求证：BG=AE；（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图所示）求证：BGGE；设DG与AB交于点M，若AG：AE=3：4，求的值9如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在ABC的外部作CED，使CED=90，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系 ；（2）将CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；（3）在图的基础上，将CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图写出证明过程；若变化，请说明理由10如图（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，MPN=90将MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，MPN的旋转随即停止（1）特殊情形：如图（2），发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，ABPPCD（填：“”或“”（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）拓展延伸：设AE=t，EPF面积为S，试确定S关于t的函数关系式；当S=4.2时，求所对应的t的值11已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当OFE=30时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明12如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE（1）如图1，求证：BCEDCE；（2）如图2，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG=FB求证：DEFG；已知正方形ABCD的边长为2，若点E在对角线AC上移动，当BFG为等边三角形时，求线段DE的长（直接写出结果，不必写出解答过程）13如图1，在正方形ABCD内作EAF=45，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AHEF，垂足为H（1）如图2，将ADF绕点A顺时针旋转90得到ABG求证：AGEAFE；若BE=2，DF=3，求AH的长（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由14如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EGCD交AF于点G，连接DG（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长15如图1，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BDCF成立（1）当ABC绕点A逆时针旋转（090）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（2）当ABC绕点A逆时针旋转45时，如图3，延长BD交CF于点H求证：BDCF；当AB=2，AD=3时，求线段DH的长16如图1，在矩形ABCD中，BCAB，BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线OKAF，交AD于点K，交BC于点G（1）求证：DOKBOG；AB+AK=BG；（2）若KD=KG，BC=4求KD的长度；如图2，点P是线段KD上的动点（不与点D、K重合），PMDG交KG于点M，PNKG交DG于点N，设PD=m，当SPMN=时，求m的值17已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；（2）若点P在线段AB上如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断ACE的形状，并说明理由；如图3，设AB=a，BP=b，当EP平分AEC时，求a：b及AEC的度数18在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角AOB=，将DOC按逆时针方向旋转得到DOC（0旋转角90）连接AC、BD，AC与BD相交于点M（1）当四边形ABCD为矩形时，如图1求证：AOCBOD（2）当四边形ABCD为平行四边形时，设AC=kBD，如图2猜想此时AOC与BOD有何关系，证明你的猜想；探究AC与BD的数量关系以及AMB与的大小关系，并给予证明19已知菱形ABCD的边长为1，ADC=60，等边AEF两边分别交DC、CB于点E、F（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边AEF的外心为P 猜想验证：如图2，猜想AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图3，当E、F分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G，DC边的延长线于点N，请你直接写出的值20在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上（与点C，D不重合），连接AE，平移ADE，使点D移动到点C，得到BCF，过点F作FGBD于点G，连接AG，EG（1）问题猜想：如图1，若点E在线段CD上，试猜想AG与EG的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）类比探究：如图2，若点E在线段CD的延长线上，其余条件不变，小明猜想（1）中的结论仍然成立，请你给出证明；（3）解决问题：若点E在线段DC的延长线上，且AGF=120，正方形ABCD的边长为2，请在备用图中画出图形，并直接写出DE的长度21如图，正方形ABCD边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF（1）求证：HEA=CGF；（2）当AH=DG=2时， 求证：菱形EFGH为正方形；（3）设AH=x，DG=2x，FCG的面积为y，试求y的最大值22如图1，四边形ABCD中，ADBC，ABBC，点E在边AB上，DEC=90，且DE=EC（1）求证：ADEBEC；（2）若AD=a，AE=b，DE=c，请用图1证明勾股定理：a2+b2=c2；（3）线段AB上另有一点F（不与点E重合），且DFCF（如图2），若AD=2，BC=4，求EF的长23如图1，正方形ABCD中，AC是对角线，等腰RtCMN中，CMN=90，CM=MN，点M在CD边上，连接AN，点E是AN的中点，连接BE（1）若CM=2，AB=6，求AE的值；（2）求证：2BE=AC+CN；（3）当等腰RtCMN的点M落在正方形ABCD的BC边上，如图2，连接AN，点E是AN的中点，连接BE，延长NM交AC于点F请探究线段BE、AC、CN的数量关系，并证明你的结论24正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF连接BF，作EHBF所在直线于点H，连接CH（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是 ；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值25问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，试判断BE、EF、FD之间的数量关系【发现证明】小聪把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，BAD90，AB=AD，B+D=180，点E、F分别在边BC、CD上，则当EAF与BAD满足 关系时，仍有EF=BE+FD【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD已知AB=AD=80米，B=60，ADC=120，BAD=150，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AEAD，DF=40（1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73）26如图1，正方形OABC与正方形ODEF放置在直线l上，连结AD、CF，此时AD=CFADCF成立（1）正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（2）正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，求证：ADCF（3）在（2）小题的条件下，AD与OC的交点为G，当AO=3，OD=时，求线段CG的长27如图，在正方形ABCD与等腰直角三角形BEF中，BEF=90，BE=EF，连接PF，点P是FD的中点，连接PE、PC（1）如图1，当点E在CB边上时， 求证：PE=CE；（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，线段PC、CE有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明28已知：l1l2l3l4，平行线l1与l2、l2与l3、l3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2我们把四个顶点分别在l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为 （2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，求矩形ABCD的宽（3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G将AEG绕点A顺时针旋转30得到AED（如图2），点D在直线l3上，以AD为边在ED左侧作菱形ABCD，使B，C分别在直线l2，l4上，求菱形ABCD的边长29正方形ABCD边长为4cm，点E，M分别是线段AC，CD上的动点，连接DE并延长，交正方形ABCD的边于点F，过点M作MNDF于H，交AD于N（1）如图1，若点M与点C重合， 求证：DF=MN；（2）如图2，若点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t0）；当点F是边AB的中点时，求t的值；连结FM，FN，当t为何值时MNF是等腰三角形（直接写出t值）30已知，正方形ABCD中，MAN=45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边长分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AHMN于点H（1）如图，当MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系： ；（2）如图，当MAN绕点A旋转到BMDN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知MAN=45，AHMN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长特殊四边形综合题答案1如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QOBD，垂足为O，连接OA、OP（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3）在平移变换过程中，设y=SOPB，BP=x（0x2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值解：（1）四边形APQD为平行四边形；（2）OA=OP，OAOP，理由如下：四边形ABCD是正方形，AB=BC=PQ，ABO=OBQ=45，OQBD， PQO=45，ABO=OBQ=PQO=45，OB=OQ，在AOB和OPQ中，AOBPOQ（SAS），OA=OP，AOB=POQ，AOP=BOQ=90，OAOP；（3）如图，过O作OEBC于E如图1，当P点在B点右侧时，则BQ=x+2，OE=，y=x，即y=（x+1）2，又0x2，当x=2时，y有最大值为2；如图2，当P点在B点左侧时，则BQ=2x，OE=，y=x，即y=（x1）2+，又0x2，当x=1时，y有最大值为；综上所述，当x=2时，y有最大值为2；2已知在矩形ABCD中，ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EPPD）（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将DPF绕点P逆时针旋转90后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G求证：PG=PF； 探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PGPF，交射线DA于点G，你认为（1）中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由【分析】（1）若证PG=PF，可证HPGDPF，已知DPH=HPG，由旋转可知GPF=HPD=90及DE平分ADC得HPD为等腰直角三角形，即DHP=PDF=45、PD=PH，即可得证；由HPD为等腰直角三角形，HPGDPF知HD=DP，HG=DF，根据DG+DF=DG+GH=DH即可得；（2）过点P作PHPD交射线DA于点H，先证HPD为等腰直角三角形可得PH=PD，HD=DP，再证HPGDPF可得HG=DF，根据DH=DGHG=DGDF可得DGDF=DP解：（1）GPF=HPD=90，ADC=90，GPH=FPD，DE平分ADC，PDF=ADP=45，HPD为等腰直角三角形，DHP=PDF=45，在HPG和DPF中，HPGDPF（ASA），PG=PF；结论：DG+DF=DP，由知，HPD为等腰直角三角形，HPGDPF，HD=DP，HG=DF，HD=HG+DG=DF+DG，DG+DF=DP；（2）不成立，数量关系式应为：DGDF=DP，如图，过点P作PHPD交射线DA于点H，PFPG，GPF=HPD=90，GPH=FPD，DE平分ADC，且在矩形ABCD中，ADC=90，HDP=EDC=45，得到HPD为等腰直角三角形，DHP=EDC=45，且PH=PD，HD=DP，GHP=FDP=18045=135，在HPG和DPF中，HPGDPF，HG=DF，DH=DGHG=DGDF，DGDF=DP3已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF设CE=a，CF=b（1）如图1，当EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；（2）当AEF是直角三角形时，求a、b的值；（3）如图3，探索EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由【分析】（1）当EAF被对角线AC平分时，易证ACFACE，因此CF=CE，即a=b（2）分两种情况进行计算，先用勾股定理得出CF2=8（CE+4），再用相似三角形得出4CF=CE（CE+4），两式联立解方程组即可；（3）先判断出AFD=CEF，再判断出AF=EF，从而得到ADFFCE即可解：（1）四边形ABCD是正方形，BCF=DCE=90AC是正方形ABCD的对角线，ACB=ACD=45，ACF=ACE，EAF被对角线AC平分，CAF=CAE，在ACF和ACE中，ACFACE，CE=CE，CE=a，CF=b，a=b，ACFACE，AEF=AFE，EAF=45，AEF=AFE=67.5，CE=CF，ECF=90，AEC=AFC=22.5，CAF=CAE=22.5，CAE=CEA，CE=AC=4，即：a=b=4；（2）当AEF是直角三角形时，当AFE=90时，AFD+CFE=90，CEF+CFE=90，AFD=CEFAFE=90，EAF=45，AEF=45=EAFAF=EF，在ADF和FCE中ADFFCE，FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8，a=8，b=4当AEF=90时，同的方法得，CF=4，CE=8，a=4，b=8（3）ab=32，理由：如图，ABCDBAG=AFC，BAC=45，BAG+CAF=45，AFC+CAF=45，AFC+AEC=180（CFE+CEF）EAF=1809045=45，CAF=AEC，ACF=ACE=135，ACFECA，ECCF=AC2=2AB2=32ab=324（2016淄博）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且MAN始终保持45不变（1）求证：=；（2）求证：AFFM；（3）请探索：在MAN的旋转过程中，当BAM等于多少度时，FMN=BAM？写出你的探索结论，并加以证明【分析】（1）先证明A、B、M、F四点共圆，根据圆内接四边形对角互补即可证明AFM=90，根据等腰直角三角形性质即可解决问题（2）由（1）的结论即可证明（3）由：A、B、M、F四点共圆，推出BAM=EFM，因为BAM=FMN，所以EFM=FMN，推出MNBD，得到=，推出BM=DN，再证明ABMADN即可解决问题（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABD=CBD=45，ABC=90，MAN=45，MAF=MBE，A、B、M、F四点共圆，ABM+AFM=180，AFM=90，FAM=FMA=45，AM=AF，=（2）由（1）可知AFM=90，AFFM（3）结论：BAM=22.5时，FMN=BAM理由：A、B、M、F四点共圆，BAM=EFM，BAM=FMN，EFM=FMN，MNBD，=，CB=DC，CM=CN，MB=DN，在ABM和ADN中，ABMADN，BAM=DAN，MAN=45，BAM+DAN=45，BAM=22.55（2016丽水）如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且BFC=90（1）当E为BC中点时，求证：BCFDEC；（2）当BE=2EC时，求的值；（3）设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C，连结FC，AF，若点C到AF的距离是，求n的值【分析】（1）由矩形和直角三角形斜边上的中线性质得出CF=DE=EF，由等腰三角形的性质得出FEC=FCE，证出CF=CE，由ASA证明BCFDEC即可；（2）设CE=a，则BE=2a，BC=3a，证明BCFDEC，得出对应边成比例=，得出ED2=6a2，由勾股定理得出DC=a，即可得出结果；（3）过C作CHAF于点H，连接CC交EF于M，由直角三角形斜边上的中线性质得出FEC=FCE，证出ADF=BCF，由SAS证明ADFBCF，得出AFD=BFC=90，证出四边形CMFH是矩形，得出FM=CH=，设EM=x，则FC=FE=x+，由勾股定理得出方程，解方程求出EM=，FC=FE=+；由（2）得：，把CE=1，BE=n代入计算即可得出n的值（1）证明；在矩形ABCD中，DCE=90，F是斜边DE的中点，CF=DE=EF，FEC=FCE，BFC=90，E为BC中点，EF=EC，CF=CE，在BCF和DEC中，BCFDEC（ASA）；（2）解：设CE=a，由BE=2CE，得：BE=2a，BC=3a，CF是RtDCE斜边上的中线，CF=DE，FEC=FCE，BFC=DCE=90，BCFDEC，=，即：=，解得：ED2=6a2由勾股定理得：，=；（3）解：过C作CHAF于点H，连接CC交EF于M，如图所示：CF是RtDCE斜边上的中线，FC=FE=FD，FEC=FCE，四边形ABCD是矩形，ADBC，AD=BC，ADF=CEF，ADF=BCF，在ADF和BCF中，ADFBCF（SAS），AFD=BFC=90，CHAF，CCEF，HFE=CHF=CMF=90，四边形CMFH是矩形，FM=CH=，设EM=x，则FC=FE=x+，在RtEMC和RtFMC中，由勾股定理得：CE2EM2=CF2FM2，12x2=（x+）2（）2，解得：x=，或x=（舍去），EM=，FC=FE=+；由（2）得：，把CE=1，BE=n代入上式计算得：CF=，解得：n=46如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tanABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角（=BCD），得到对应线段CF（1）求证：BE=DF；（2）当t=6+6秒时，DF的长度有最小值，最小值等于12；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角（=BCD），得到对应线段CG在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式【分析】（1）由ECF=BCD得DCF=BCE，结合DC=BC、CE=CF证DCFBCE即可得；（2）当点E运动至点E时，由DF=BE知此时DF最小，求得BE、AE即可得答案；（3）EQP=90时，由ECF=BCD、BC=DC、EC=FC得BCP=EQP=90，根据AB=CD=6，tanABC=tanADC=2即可求得DE；EPQ=90时，由菱形ABCD的对角线ACBD知EC与AC重合，可得DE=6；（4）连接GF分别角直线AD、BC于点M、N，过点F作FHAD于点H，证DCEGCF可得3=4=1=2，即GFCD，从而知四边形CDMN是平行四边形，由平行四边形得MN=CD=6；再由CGN=DCN=CNG知CN=CG=CD=6，根据tanABC=tanCGN=2可得GM=6+12，由GF=DE=t得FM=t612，利用tanFMH=tanABC=2即可得FH解：（1）ECF=BCD，即BCE+DCE=DCF+DCE，DCF=BCE，四边形ABCD是菱形，DC=BC，在DCF和BCE中，DCFBCE（SAS），DF=BE；（2）如图1，当点E运动至点E时，DF=BE，此时DF最小，在RtABE中，AB=6，tanABC=tanBAE=2，设AE=x，则BE=2x，AB=x=6，则AE=6DE=6+6，DF=BE=12，故答案为：6+6，12；（3）CE=CF，CEQ90，当EQP=90时，如图2，ECF=BCD，BC=DC，EC=FC，CBD=CEF，BPC=EPQ，BCP=EQP=90，AB=CD=6，tanABC=tanADC=2，DE=6，t=6秒；当EPQ=90时，如图2，菱形ABCD的对角线ACBD，EC与AC重合，DE=6，t=6秒；（4）y=t12，如图3，连接GF分别角直线AD、BC于点M、N，过点F作FHAD于点H，由（1）知1=2，又1+DCE=2+GCF，DCE=GCF，在DCE和GCF中，DCEGCF（SAS），3=4，1=3，1=2，2=4，GFCD，又AHBN，四边形CDMN是平行四边形，MN=CD=6，BCD=DCG，CGN=DCN=CNG，CN=CG=CD=6，tanABC=tanCGN=2，GN=12，GM=6+12，GF=DE=t，FM=t612，tanFMH=tanABC=2，FH=（t612），即y=t127已知四边形ABCD是菱形，AB=4，ABC=60，EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且EAF=60（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且EAB=15时，求点F到BC的距离【分析】（1）结论AE=EF=AF只要证明AE=AF即可证明AEF是等边三角形（2）欲证明BE=CF，只要证明BAECAF即可（3）过点A作AGBC于点G，过点F作FHEC于点H，根据FH=CFcos30，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题（1）解：结论AE=EF=AF理由：如图1中，连接AC，四边形ABCD是菱形，B=60，AB=BC=CD=AD，B=D=60，ABC，ADC是等边三角形，BAC=DAC=60BE=EC，BAE=CAE=30，AEBC，EAF=60，CAF=DAF=30，AFCD，AE=AF（菱形的高相等），AEF是等边三角形，AE=EF=AF（2） 证明：如图2中，BAC=EAF=60，BAE=CAE，在BAE和CAF中，BAECAF，BE=CF（3）解：过点A作AGBC于点G，过点F作FHEC于点H，EAB=15，ABC=60，AEB=45，在RTAGB中，ABC=60AB=4，BG=2，AG=2，在RTAEG中，AEG=EAG=45，AG=GE=2，EB=EGBG=22，AEBAFC，AE=AF，EB=CF=22，在RTCHF中，HCF=180BCD=60，CF=22，FH=CFsin60=（22）=3点F到BC的距离为38如图，AD为等腰直角ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE（1）求证：BG=AE；（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图所示）求证：BGGE；设DG与AB交于点M，若AG：AE=3：4，求的值【分析】（1）如图，根据等腰直角三角形的性质得AD=BD，再根据正方形的性质得GDE=90，DG=DE，则可根据“SAS“判断BDGADE，于是得到BG=AE；（2）如图，先判断DEG为等腰直角三角形得到1=2=45，再由BDGADE得到3=2=45，则可得BGE=90，所以BGGE；设AG=3x，则AE=4x，即GE=7x，利用等腰直角三角形的性质得DG=GE=x，由（1）的结论得BG=AE=4x，则根据勾股定理得AB=5x，接着由ABD为等腰直角三角形得到4=45，BD=AB=x，然后证明DBMDGB，则利用相似比可计算出DM=x，所以GM=x，于是可计算出的值（1）证明：如图，AD为等腰直角ABC的高，AD=BD，四边形DEFG为正方形，GDE=90，DG=DE，在BDG和ADE中，BDGADE，BG=AE；（2）证明：如图，四边形DEFG为正方形，DEG为等腰直角三角形，1=2=45，由（1）得BDGADE，3=2=45，1+3=45+45=90，即BGE=90，BGGE；解：设AG=3x，则AE=4x，即GE=7x，DG=GE=x，BDGADE，BG=AE=4x，在RtBGA中，ABD为等腰直角三角形，4=45，BD=AB=x，3=4，而BDM=GDB，DBMDGB，BD：DG=DM：BD，即x：x=DM：x，解得DM=x，GM=DGDM=xx=x，=9如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在ABC的外部作CED，使CED=90，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系AF=AE；（2）将CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；（3）在图的基础上，将CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图写出证明过程；若变化，请说明理由【分析】（1）如图中，结论：AF=AE，只要证明AEF是等腰直角三角形即可（2）如图中，结论：AF=AE，连接EF，DF交BC于K，先证明EKFEDA再证明AEF是等腰直角三角形即可（3）如图中，结论不变，AF=AE，连接EF，延长FD交AC于K，先证明EDFECA，再证明AEF是等腰直角三角形即可解：（1）如图中，结论：AF=AE理由：四边形ABFD是平行四边形，AB=DF，AB=AC，AC=DF，DE=EC，AE=EF，DEC=AEF=90，AEF是等腰直角三角形，AF=AE故答案为AF=AE（2）如图中，结论：AF=AE理由：连接EF，DF交BC于K四边形ABFD是平行四边形，ABDF，DKE=ABC=45，EKF=180DKE=135，EK=ED，ADE=180EDC=18045=135，EKF=ADE，DKC=C，DK=DC，DF=AB=AC，KF=AD，在EKF和EDA中，EKFEDA，EF=EA，KEF=AED，FEA=BED=90，AEF是等腰直角三角形，AF=AE（3）如图中，结论不变，AF=AE理由：连接EF，延长FD交AC于KEDF=180KDCEDC=135KDC，ACE=（90KDC）+DCE=135KDC，EDF=ACE，DF=AB，AB=AC，DF=AC在EDF和ECA中，EDFECA，EF=EA，FED=AEC，FEA=DEC=90，AEF是等腰直角三角形，AF=AE10如图（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，MPN=90将MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，MPN的旋转随即停止（1）特殊情形：如图（2），发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，ABPPCD（填：“”或“”（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）拓展延伸：设AE=t，EPF面积为S，试确定S关于t的函数关系式；当S=4.2时，求所对应的t的值【分析】（1）根据矩形的性质找出B=C=90，再通过角的计算得出BAP=CPD，由此即可得出ABPPCD；（2）过点F作FHPC于点H，根据矩形的性质以及角的计算找出B=FHP=90、BEP=HPE，由此即可得出BEPHPE，根据相似三角形的性质，找出边与边之间的关系即可得出结论；（3）分点E在AB和AD上两种情况考虑，根据相似三角形的性质找出各边的长度，再利用分割图形求面积法找出S与t之间的函数关系式，令S=4.2求出t值，此题得解解：（1）四边形ABCD为矩形，B=C=90，BAP+BPA=90MPN=90，BPA+CPD=90，BAP=CPD，ABPPCD故答案为：（2）是定值如图3，过点F作FHPC于点H，矩形ABCD中，AB=2，B=FHP=90，HF=AB=2，BPE+BEP=90MPN=90，BPE+HPE=90，BEP=HPE，BEPHPE，BP=1，（3）分两种情况：如图3，当点E在AB上时，0t2AE=t，AB=2，BE=2t由（2）可知：BEPHPE，即，HP=42tAF=BH=PB+BH=52t，S=S矩形ABHFSAEFSBEPSPHF=ABAFAEAFBEPBPHFH=t24t+5（0t2）当S=4.2时，t24t+5=4.2，解得：t=20t2，t=2；如图4，当点E在AD上时，0t1，过点E作EKBP于点K，AE=t，BP=1，PK=1t同理可证：PKEFCP，即，FC=22tDF=CDFC=2t，DE=ADAE=5t，S=S矩形EKCDSEKPSEDFSPCF=CDDEEKKPDEDFPCFC=t22t+5（0t1）当S=4.2时，t22t+5=4.2，解得：t=10t1，t=1综上所述：当点E在AB上时，S=t24t+5（0t2），当S=4.2时，t=2；当点E在AD上时，S=t22t+5（0t1），当S=4.2时，t=111（2016龙东地区）已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当OFE=30时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明【分析】（1）由AOECOF即可得出结论（2）图