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四川大学
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四川大学工程传热学,四川大学,工程,传热学
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3.0 Introduction非稳态导热的基本概念3.1 Unsteady Heat Transfer Across The Boundaries of Solid零维问题的分析解集中参数法3.0 Introduction非稳态导热的基本概念3.1 Unsteady Heat Transfer Across The Boundaries of Solid零维问题的分析解集中参数法典型一维物体非稳态导热的分析解3.2 Heat Conduction Equation导热方程3.3 Heat Transfer at The Surface of A Semi-infinite Medium半无限大物体的非稳态导热3.4 Modeling and Dimensional Analysis; Geometrical Similarity模型和尺度分析；几何相似典型一维物体非稳态导热的分析解3.2 Heat Conduction Equation导热方程3.3 Heat Transfer at The Surface of A Semi-infinite Medium半无限大物体的非稳态导热3.4 Modeling and Dimensional Analysis; Geometrical Similarity模型和尺度分析；几何相似Chapter 3 Transient Heat Transfer by Conduction 3.0 Introduction非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念1 非稳态导热的定义 :2 非稳态导热的分类 : 周期性非稳态导热和瞬态非稳态导热本课程只讨论瞬态非稳态导热( , , , )Tf x y z t=3 温度分布的特点：4 热流量分布特点：a a a a 通过同一截面的热流量随时间变化b b b b 同一时刻，通过不同截面的热流量不同t1t001234TT1T0t0t1t2t3t45 瞬态非稳态导热过程的三个不同阶段5 瞬态非稳态导热过程的三个不同阶段(1) 非正规状况阶段温度分布主要受初始温度分布控制温度分布主要受初始温度分布控制(2) 正规状况阶段温度分布主要取决于边界条件及物性温度分布主要取决于边界条件及物性(3) 新的稳态6 学习非稳态导热的目的和实现的手段：6 学习非稳态导热的目的和实现的手段：(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律（目的）( , , , ) ; , , , )Tf x y z tQf(x y z t=(2) 非稳态导热的导热微分方程式初始和边界条件（描述）(3) 求解方法（手段）（手段）：分析解法：分离变量法（一维）分离变量法（一维）、乘积解法(二维和三维)乘积解法(二维和三维)近似分析法：集中参数法（零维）集中参数法（零维）、积分法积分法数值解法：有限差分法有限差分法、有限元法7 温度分布特点与边界条件的关系及毕渥数7 温度分布特点与边界条件的关系及毕渥数本章以第三类边界条件为重点。本章以第三类边界条件为重点。(1) 问题的分析(1) 问题的分析如右图所示，如右图所示，1khrkhBirhk=(2) 毕渥数的定义：(2) 毕渥数的定义：如何简化?如何简化?存在几个换热环节？存在几个换热环节？TfhTfhxT 0当时，因此，可以忽略对流换热热阻当时，因此，可以忽略导热热阻Bikhrr0Bikhrr(3) Bi数对温度分布的影响(3) Bi数对温度分布的影响1khrkhBirhk= Bi0Bi数对非稳态传热过程的影响Bi数对非稳态传热过程的影响TTTTTTt1t2t3t0t1t2t0T0t1t2t38 导热微分方程解的唯一性定律8 导热微分方程解的唯一性定律导热微分方程式导热微分方程式连同连同初始条件初始条件及及边界条件边界条件一起，完整地描写了一个特定的非稳态导热问题。非稳态导热问题的求解，实质上归结为在规定的初始条件及边界条件下求解导热微分方程式。数学上可以证明，如果某一函数满足导热微分方程式以及一定的初始条件及边界条件，则此函数就是这一特定导热问题的唯一解。一起，完整地描写了一个特定的非稳态导热问题。非稳态导热问题的求解，实质上归结为在规定的初始条件及边界条件下求解导热微分方程式。数学上可以证明，如果某一函数满足导热微分方程式以及一定的初始条件及边界条件，则此函数就是这一特定导热问题的唯一解。解的唯一性定律解的唯一性定律。本章所涉及的各种分析解都被认为是满足特定问题的唯一解。本章所涉及的各种分析解都被认为是满足特定问题的唯一解。( , , , )Tf x y z t=3.1.1 The Solid with Uniform Internal Temperature3.1.1 The Solid with Uniform Internal Temperature零维问题的分析法集中参数法零维问题的分析法集中参数法1 定义1 定义：忽略物体的导热热阻、认为物体温度均匀一致的分析方法此时，温度分布只与时间有关，与空间位置无关，因此，也称为零维问题零维问题。?Bi ( )Tf t=如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。00tTT=时，瞬态导热的简单例子这种忽略物体内部导热热阻的简化分析方法称为这种忽略物体内部导热热阻的简化分析方法称为集中参数法集中参数法。将其突然置于温度恒为将其突然置于温度恒为的流体的流体中，做如下假设：中，做如下假设：the temperature of the solid is the temperature of the solid is spatially uniform at any time spatially uniform at any time during the transient process, during the transient process, thus temperature gradient thus temperature gradient within the solid is negligible.within the solid is negligible.T 3.1 Unsteady Heat Transfer Across The Boundaries of SolidEnergy balance must relate the rate of heat loss at the surface ( out) to the rate of change of the internal energy (Qconv).-()outstpconvadTEEVCQhA TTdt=?pdhAdtVC= Rewrite above equation：00-(0)padhAVCdttTT=aTT=Introducing the temperature differenceAnd recognizing that , it follows that ()()ddtdT dt=2 集中参数法温度场的分析解2 集中参数法温度场的分析解：P38, 3.1.3TaCp , kT = T(t)QpdhAdtVC= 00tpdhAdtVC= 积分积分 0ln pVCthA=00phAtVCaaTTeTT=Equation to compute T of the solid at some time tEquation to determine the time required for the solid to reach some temperature TThe The exponentexponent can be writtencan be written：222ppcchAhVkAttCVkA VChltBi Fok l=2cchltBiFokl=是傅立叶数是傅立叶数cVlA=%8 .36 10=e当当时，则时，则pVCthA=1phAtVC=此时，此时，上式表明：当传热时间等于上式表明：当传热时间等于时，物体的过余温度时，物体的过余温度已经达到了初始过余温度的已经达到了初始过余温度的36.836.8。称。称为时间常为时间常数，用数，用表示表示, , 也可写成如下更形象的形式也可写成如下更形象的形式pVChApVChActct()1ppcVCtVChAhA= 时间常数时间常数或弛豫时间或弛豫时间如果导热体的热容量（ VCp）小、换热条件好（hA大），那么单位时间所传递的热量多、导热体的温度变化快，时间常数 ( VCp/ hA) 小。对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的（微细热电偶、薄膜热电阻）（微细热电偶、薄膜热电阻）04 1.83%pVCthA=当时，工程上认为t = 4 VCp/ hA时导热体已达到热平衡状态1036.8%ctte=应用集中参数法时，物体过余温度的变化曲线00aaTTTT=pcVCthA=,1,2,3,4cccctttt3 导热量计算式3 导热量计算式导热体在时间 0 t 总的换热量：当物体被加热时(TTa)，计算式相同。（为什么？）0( )( ( ) WpahAtVCQ thA T tThAhA e= 00( )(1) JphAttVCtpQQ t dtVCe=瞬态热流量4 4 4 4物理意义物理意义物理意义物理意义,Bi Fo1hll kBikh=物体内部导热热阻物体单位表面积上的对流换热热阻无量纲无量纲无量纲无量纲热阻热阻热阻热阻22/1 C1 Cpttk A lFollCAl t=单位时间内温度变化时平板导热的热量导热速率单位时间内温度变化时平板吸收(或放出)的热量热存储速率无量纲无量纲无量纲无量纲时间时间时间时间Fo ：分子是从边界上开始发生热扰动的时刻起到所计算时刻为止的时间间隔，分母可以视为使边界上发生的有限大小的热扰动穿过一定厚度的固体层扩散到l2的面积上所需的时间。Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部，因而，物体各点的温度就越接近周围介质的温度。Bi越小，意味着内热阻越小或者外热阻越大，采用集中参数法分析的结果就越接近实际情况。采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%0.1chlBiMk=是与物体几何形状有关的无量纲常数。是与物体几何形状有关的无量纲常数。是与物体几何形状有关的无量纲常数。是与物体几何形状有关的无量纲常数。5 集中参数法的应用条件5 集中参数法的应用条件31211=MMM2320.10.0522430.03343cccVAlBiAAVRRlBiARRVRlBiAR=对厚为2的无限大平板对半径为R的无限长圆柱对半径为R的球M5 集中参数法的应用条件5 集中参数法的应用条件（续）（续）对于能否应用集中参数法的判断，也可直接采用如下通用判据：0.1hlBik=此时，对于厚度为2的平板，则定性尺度为，即l = ，对圆柱和圆球，则采用外半径R为定性尺度厨师吹肉丝厨师吹肉丝0065300.510030tttt=一厨师在炒鸡肉丝时要品尝一下咸淡，于是他从一厨师在炒鸡肉丝时要品尝一下咸淡，于是他从100的 热炒锅中取出一鸡肉丝，用口吹了一会，待其降至的 热炒锅中取出一鸡肉丝，用口吹了一会，待其降至65时再放入口中。试估算厨师需要吹多长时间？出锅时鸡肉丝可视为平均直径为时再放入口中。试估算厨师需要吹多长时间？出锅时鸡肉丝可视为平均直径为2mm的圆条，厨师口中吹出的气流温度为的圆条，厨师口中吹出的气流温度为30，其与鸡肉丝之间的表面传热系数为，鸡肉丝的，其与鸡肉丝之间的表面传热系数为，鸡肉丝的解：首先检验是否可用集中参数法。为此计算解：首先检验是否可用集中参数法。为此计算故可以采用集中参数法。故可以采用集中参数法。所以所以由此解得由此解得Our goal is to design an experiment to measure the convective heat transfer coefficient from a solid sphere to a moving air-stream, as a function of air speed.Proposal Measure the transient cooling of the sphere under conditions of a spatially uniform internal temperature for the sphere.Design Constraints Measurement time should be convenient, say the dimensionless temperature change (Eq.3.1.6) goes from 1.0 to0.1 (from the initial state to within 10% of steady state) for times no shorter than t = 20 s and no longer than 2 min.=eEXAMPLE 3.1.1 A Design Problem: Measurement of the Convective Transfer CoefficientEXAMPLE 3.1.1 A Design Problem: Measurement of the Convective Transfer Coefficient)exp(pa0atVChATTTT=()1 . 0-exp=at 3 . 2=3 . 2p=tVChAone-dimensional (radial) conduction in the surrounding air drdTkq=rAt steady state the rate (not the flux) of heat conduction through the surroundings air must be constant with respect to radial position. CdrdTkrqr=2r244braT+=Boundary conditions RTT =Rr =aTT =rrRTTTTR)(aa=the steady flux at the surface RTTkrTkqRRRa=convective heat transfer coefficient RaRqkhTTR=dimensionless heat transfer coefficient h2NuSh2hRk=called a Nusselt number, the Sherwood number for heat transfer. airNu2hDk=2DR=the minimum Nusselt number Homeworks：3.1 (equation 3.1.5)3.2Please refer to the content on Page 40. Quick ReviewQuick Review3.0 非稳态导热的基本概念3.0 非稳态导热的基本概念1 非稳态导热的定义 和分类2 温度和热流量分布的特点：3 非稳态导热过程的三个不同阶段4 温度分布特点与边界条件的关系及毕渥数3.1.1 集中参数法的简化分析3.1.1 集中参数法的简化分析1 集中参数法的定义2 温度分布 ：3 瞬态热流和总热量4 时间常数5 集总参数法的应用条件6 Bi数和Fo数的物理意义、定义式和其中各变量代表的意义0phAtVCBi Foee=0( ) WphAtVCQ thAhA e= 00( )(1) JphAttVCtpQQ t dtVCe=3.0 Introduction非稳态导热的基本概念3.1 Unsteady Heat Transfer Across The Boundaries of Solid零维问题的分析解集中参数法3.0 Introduction非稳态导热的基本概念3.1 Unsteady Heat Transfer Across The Boundaries of Solid零维问题的分析解集中参数法典型一维物体非稳态导热的分析解3.2 Heat Conduction Equation导热方程3.3 Heat Transfer at The Surface of A Semi-infinite Medium半无限大物体的非稳态导热典型一维物体非稳态导热的分析解3.2 Heat Conduction Equation导热方程3.3 Heat Transfer at The Surface of A Semi-infinite Medium半无限大物体的非稳态导热3.4 Modeling and Dimensional Analysis; Geometrical Similarity模型和尺度分析；几何相似3.4 Modeling and Dimensional Analysis; Geometrical Similarity模型和尺度分析；几何相似Chapter 3 Transient Heat Transfer by Conduction1.1 无限大平板的分析解1.1 无限大平板的分析解k= const= const h= const因两边对称，只研究半块平壁1 三种几何形状物体的温度场分析解3.1.2 Unsteady Heat Conduction Within Bounded Solid三种几何形状物体的温度场分析解3.1.2 Unsteady Heat Conduction Within Bounded Solid典型一维物体非稳态导热的分析解典型一维物体非稳态导热的分析解 3.1 Unsteady Heat Transfer Across The Boundaries of SolidhhT0T0TaTaTa-2t t= 0= 0x此半块平板的数学描述？导热微分方程22TTtx=(0,0)xt00tTT=初始条件00Txx=()aTkh TTxx=(对称性)(对称性)边界条件引入变量过余温度过余温度令( , )( , )ax tT x tT=2200,0000xttxtxxkhxx=上式化为：用分离变量法可得其分析解为：210( , )exp()cos()nnnntCFo =*2,txFo=式中，式中，2sin()sin()cos()nnnnnC=+为右面超越方程的根为毕渥准则数毕渥准则数Bitan,1,2,.nnBin=ihBk=n部分部分BiBi数下的数下的n值值x因此是以平板厚度一半为特征尺度的Fo, Bi 和函数，即0( , )x t0( , )(,)xxf Fo Bi=1.2 圆柱圆柱1 三种几何形状物体的温度场分析解三种几何形状物体的温度场分析解（续）（续）半径为R的实心圆柱，初始温度为T0，在初始瞬间将它置于温度为Ta的流体中，流体与圆柱表面间的表面传热系数h为常数。2010( , )exp()()nnnntCFo J =2,trFoRR=式中，式中，12201()2()()nnnnnJCJJ=+为右面超越方程的根为毕渥准则数毕渥准则数Bi10(),1,2,.()nnnJBi nJ=ihRBk=n为右面超越方程的根为毕渥准则数毕渥准则数Bin1.3 球球P41半径为R的实心球，初始温度为T0，在初始瞬间将它置于温度为Ta的流体中，流体与圆球表面间的表面传热系数h为常数。210( , )1exp()sin()nnnnntCFo =2,trFoRR=式中，式中，sin()cos()2sin()cos()nnnnnnnC=1cos(),1,2,.nnBi n=ihRBk=221()TTrtrrr=导热微分方程方程的解为：Figure3.1.2 Transient radial temperature profiles in a sphere.Surface maintained at , .aTT =1Bi 因此，平板、圆柱与球中的无量纲过余温度是因此，平板、圆柱与球中的无量纲过余温度是Fo数数, , Bi 数及无量纲距离数及无量纲距离的函数，即的函数，即()00,(,)aaTTf Fo BiTT =3.1.38Figure3.1.2 Spatially averaged temperature at various times. Surface maintained ataTT=1Bi平均温度分布，见图3.1.3。平均温度分布，见图3.1.3。2. 非稳态导热正规状况阶段分析解的简化2. 非稳态导热正规状况阶段分析解的简化2.1 非稳态导热正规状况阶段的非稳态导热正规状况阶段的物理概念物理概念与与数学含义数学含义非周期性的非稳态导热过程在进行到一定深度后，初始条件对物体中无量纲温度分布的影响基本消失，温度分布主要取决于边界条件的影响 。非稳态导热的这一阶段称为正规状况阶段。数学含义： Fo 0.2以后，分析解中的略去无穷级数中的第二项及以后各项所得的计算结果与按照完整级数计算结果的偏差小于1%。相当于将无穷级数解中的系数Cn（n2）取为零。意味着初始条件的影响已经消失。分析解中无穷级数的第一项就是正规状况阶段温度场的解。2nnn10nnn2sin( , )cos()sincosFonte =+当时，取级数的首项，板中心温度的误差小于1%0.2Fo211101112sin( , )cos()sincosFote =+21100111( )2sin(0, )sincosFomtte=+平板中心温度平板中心温度平板中心温度平板中心温度1( , )cos()( )mtt =P44, 3.1.40bP44, 3.1.40b平板平板Thin slab2.2 正规状况阶段三个分析解的简化表达式正规状况阶段三个分析解的简化表达式P44, 3.1.40aP44, 3.1.40a与时间无关，正规状况与时间无关，正规状况与时间无关，正规状况与时间无关，正规状况P44, 3.1.40bP44, 3.1.40b圆柱、球的分析解的简化表达式见圆柱、球的分析解的简化表达式见p47，式，式3.1.40d, 3.1.40e。21()11011112 sinsin1sincosFoVdVVe=+00()pQC V TT=从初始时刻到平板与周围介质处于热平衡这一过程中所传递的热量为为非稳态导热所能传递的最大热量。非稳态导热所能传递的最大热量。QQ0 0-非稳态导热所能传递的最大热量-非稳态导热所能传递的最大热量若令Q为内所传递热量- - t 时刻的平均过余温度时刻的平均过余温度2.3一段时间间隔内所传导的热量：一段时间间隔内所传导的热量：0000( , )1()pVpCTT x t dVQQC V TT=0, t211101112sin( , )cos()sincosFote =+21()110011112 sinsin1sincosFoVdVVe=+211101112sin( , )cos()sincosFote =+2110210210( , )exp()()( )exp()1exp()tAFo ftAFo BQAFo BQ =21()11011112 sinsin1sincosFoVdVVe=+平均温度的计算公式见教材平均温度的计算公式见教材P47，3.1.41；3.1.42；3.1.43对无限大平板，长圆柱体及球：及可用一通式表达对无限大平板，长圆柱体及球：及可用一通式表达00QQ无限大平板长圆柱体及球此处：此处的A，B及函数见参考书1：此处的A，B及函数见参考书1：P P127 127 表3-1。表3-1。22xhtBiFokxhRtBiFoRkR=1()f2110210( , )exp() ()1exp()tAFo fQAFo BQ = 2101011112sin( , )cos()(,)sincosFxxx tf Fo Bie=+3 3 正规热状况的工程计算方法：正规热状况的工程计算方法：图线法诺谟图图线法诺谟图三个自变量三个自变量三个自变量三个自变量，因此，需要分开来画，因此，需要分开来画，因此，需要分开来画，因此，需要分开来画以无限大平板为例，Fo0.2 时，取其级数首项即可P44P44，图，图，图，图3.1.4 (3.1.4 (a),(ba),(b) and (c).) and (c).(2) (2) (2) (2) 由图由图由图由图..4（b b b b）得板中心处无量纲过余温度。）得板中心处无量纲过余温度。）得板中心处无量纲过余温度。）得板中心处无量纲过余温度。(3) (3) (3) (3) 再由图再由图再由图再由图..4（c c c c）得平板中任一点的温度为）得平板中任一点的温度为）得平板中任一点的温度为）得平板中任一点的温度为(1)(1)先由图先由图先由图先由图.4（a a）得系数）得系数）得系数）得系数A A1 1，注意，注意，注意，注意1 1 1 1的计算。的计算。的计算。的计算。)exp(Fo211o1XA=)cos()(),(1Foo1Fo1XX=4 4 分析解应用范围的推广分析解应用范围的推广对于一维平板，分析解还可以应用于：（1）平板一侧绝热，另一侧为第三类边界条件；将绝热面处理成为平板的对称面，即将原为厚度的平板化为厚度为2 的平板对称受热的情况。（2）平板两侧面均为第一类边界条件且维持在相同的温度。（2）平板两侧面均为第一类边界条件且维持在相同的温度。处理成对称受热时，介质温度恒定，第三类边界条件，Bi的极限情况。处理成对称受热时，介质温度恒定，第三类边界条件，Bi的极限情况。用分析解法求解非稳态导热问题的思路（以用分析解法求解非稳态导热问题的思路（以Heisier图为例）图为例）1 已知时间已知时间t t，求温度分布及热量热量，求温度分布及热量热量2已知温度分布，求时间已知温度分布，求时间t热量热量由1/Bi求解非稳态导热问题的一般步骤：求解非稳态导热问题的一般步骤：1先校核先校核Bi是否满足集中参数法条件，若满足，则优先考虑集中参数法；是否满足集中参数法条件，若满足，则优先考虑集中参数法；2如不能用集中参数法，则尝试用近似公式或如不能用集中参数法，则尝试用近似公式或Heisler图；图；3若上述方法都不行则采用数值解。若上述方法都不行则采用数值解。 A long copper cylinder of diameter 0.25 inch was held in an air-stream at temperature .After 30 s the average cylinder temperature increased from its initial value of to . Estimate the heat transfer coefficient between the cylinder and the air-stream (in units of ). EXAMPLE 3.1.2 Cooling of a Long Copper CylinderEXAMPLE 3.1.2 Cooling of a Long Copper CylinderF100a=TF50F80FftBtu/h2?It was assumed that there is no internal conductive resistance to heat loss because copper is such a good conductor of heat. =VChAtTTTTpa0aexpFftBtu/h220 =kh/ft26. 4/1 . 122p=scmCk4 . 01005010080a0a=TTTT0.4e=VChAtp92. 0=12ft19244/=DLDDLVA()FftBtu/h7 .291033. 892. 01926 .5192. 023p =AtVCh329.7 0.0104Bi2201.4 10hRk=much less than unity EXAMPLE 3.1.5 Temperature across the Radius of a SphereEXAMPLE 3.1.5 Temperature across the Radius of a Sphere()20.5rR=oo1111111sin()sin(0.5)0.5 = = 113Bi()13 0.20.78=()o11sin 0.390.380.60.0590.390.39 = =A solid sphere is cooling under conditions that Bi = 0.2. We want the (dimensionless) temperature at the center and surface of the sphere, and at a position r = R/2, all at the (dimensionless) time XFo=5.Calculating the center temperature from Fig. 3.1.4f 06. 0o1=XFo=52 . 0Bi =Calculating the surface temperature from Fig. 3.1.4g ()o110.90.9 0.060.054 = =2 . 0Bi =o110.9 =Eq.3.1.40e 1the value of for Bi = 0.2 for a sphere From Fig.3.1.4a Homeworks：3.33.61 直角坐标系的导热方程直角坐标系的导热方程 3.2 Heat Conduction Equation 3.2 Heat Conduction Equation导热方程导热方程()()()pTTTTCkkktxxyyzz=+?211()()()pTTTTCkrkktrrrzzr=+?2 圆柱坐标系的导热方程圆柱坐标系的导热方程3 球坐标系的导热方程球坐标系的导热方程222222111()()( sin)sinsinpTTTTCkrkktrrrrr=+?半无限大物体的概念（1）几何上：一个面固定，另外一个面可以无限延伸（2）物理上：热扰动的影响局限于固定表面附近，尚未深入到物体内部t tw w3.3 Heat Transfer at The Surface of A Semi-infinite Medium3.3 Heat Transfer at The Surface of A Semi-infinite Medium半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件3.0 Introduction非稳态导热的基本概念3.1 Unsteady Heat Transfer Across The Boundaries of Solid零维问题的分析解集中参数法典型一维物体非稳态导热的分析解3.2 Heat Conduction Equation导热方程3.0 Introduction非稳态导热的基本概念3.1 Unsteady Heat Transfer Across The Boundaries of Solid零维问题的分析解集中参数法典型一维物体非稳态导热的分析解3.2 Heat Conduction Equation导热方程3.3 Heat Transfer at The Surface of A Semi-infinite Medium半无限大物体的非稳态导热3.4 Modeling and Dimensional Analysis; Geometrical Similarity模型和尺度分析；几何相似3.3 Heat Transfer at The Surface of A Semi-infinite Medium半无限大物体的非稳态导热3.4 Modeling and Dimensional Analysis; Geometrical Similarity模型和尺度分析；几何相似Chapter 3 Transient Heat Transfer by Conduction24002(4)ayxtTTydxerfte=引入过余温度问题的解为3.3 Heat Transfer at The Surface of A Semi-infinite Medium3.3 Heat Transfer at The Surface of A Semi-infinite Medium半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热以第一类边条为例：2200000aTTtyytTTyTTtTT= =误差函数无量纲变量误差函数无量纲变量控制方程和初边条件？控制方程和初边条件？控制方程和初边条件？控制方程和初边条件？00aTT=wtt0txTTaT0y误差函数：20( )12( )( )1xerferfedxerf =Fo1 . 0=Whats wrong? Fig.3.1.4b FoXFor short times we use the semi-infinite slab solution. EXAMPLE 3.3.1 Surface Temperature of a cooling SheetEXAMPLE 3.3.1 Surface Temperature of a cooling Sheetfrom Fig.3.3.2 ()2 . 0erfcexp, 021=ttt56. 221=tkCthtp202. 7=KJ/m105 . 236p=kC()()623105 . 233. 01035. 302. 7=ts52. 0=t()cm4 .10s52. 0cm/s20=UtzThe heat transfer is determined by the balance between conductionwithin the solid and convection at the surface to the external fluid. 3.4 Modeling and Dimensional Analysis; Geometrical Similarity3.4 Modeling and Dimensional Analysis; Geometrical Similarity模型和尺度分析；几何相似模型和尺度分析；几何相似Biot number whether conductionor convectiondominates ?Figure 3.4.1 An example of a complex body, S, and a scale model, M, of the body. Figure 3.4.2 A solid and its scale model. The heat transfer in either S or M is described by the same heat conduction equation . SSSSSTzTyTxTtT222222S2s=+=To make the equations dimensionless aaTTTTo=21FoLtX=1Lxx =For each solid SSX=2SFo,1=S0SFo,=Xat M2MFo,M=X1=0MFo,=Xat The boundary conditions =MMSSBi surface on the 0Bi surface on the 0SSFor either S or M()FO,;BiX = x物理现象相似的本质 ：物理现象相似的本质 ：1) 用相同形式且具有相同内容的微分方程所描述的现象,称为同类现象。只有同类现象才能谈相似问题；2) 彼此相似的现象，其同名准则数必定相等；3) 彼此相似的现象，其有关的物理量场分别相似。因此因此实验中只需测定各个准则数中包含的物理量，从而避免实验中测量的盲目性。实验中只需测定各个准则数中包含的物理量，从而避免实验中测量的盲目性。 因此按相似性准则来安排实验，个别实验所得出的结果已经上升到代表整个相似组的地位，所以结果具有通用性 ； 以相似性准则作为安排实验的依据 。对于两个对于两个同类同类的物理现象，如果在的物理现象，如果在相应的时刻及相应的地点相应的时刻及相应的地点上与现象有关的物理量一一上与现象有关的物理量一一对应成比例对应成比例，则称此两现象彼此相似。，则称此两现象彼此相似。3.4.1 物理现象相似的定义3.4.1 物理现象相似的定义1.相似物理现象间的重要特性1.相似物理现象间的重要特性同名相似特征数相等同名相似特征数相等3.4.2 相似原理的基本内容3.4.2 相似原理的基本内容比如：相似的对流传热现象的努塞尔数应相等。比如：相似的对流传热现象的努塞尔数应相等。1212hlhlNuNu=2.同一类现象中相似特征数的数量及其间的关系物理现象中的各物理量不是单个起作用，而是由各个准则数共同起作用。相似的物理现象中的各个准则数间的关系都相同。2.同一类现象中相似特征数的数量及其间的关系物理现象中的各物理量不是单个起作用，而是由各个准则数共同起作用。相似的物理现象中的各个准则数间的关系都相同。定理定理3.两个同类物理现象相似的充分必要条件3.两个同类物理现象相似的充分必要条件3.4.2 相似原理的基本内容3.4.2 相似原理的基本内容（续）（续）判断两个同类现象相似的条件：（1）同名的已定特征数相等；（2）单值性条件相似。判断两个同类现象相似的条件：（1）同名的已定特征数相等；（2）单值性条件相似。单值性条件使所研究的问题能被唯一地确定下来的条件。单值性条件使所研究的问题能被唯一地确定下来的条件。（1）初始条件初始时刻物理量的分布。（2）边界条件研究系统边界上的温度、热流密度、速度分布等条件。（3）几何条件换热表面的几何形状、位置以及表面的粗糙程度等。（4）物理条件物体的种类与物性。（1）初始条件初始时刻物理量的分布。（2）边界条件研究系统边界上的温度、热流密度、速度分布等条件。（3）几何条件换热表面的几何形状、位置以及表面的粗糙程度等。（4）物理条件物体的种类与物性。由已知量组成的特征数比如对流传热问题中的由已知量组成的特征数比如对流传热问题中的雷诺数雷诺数和和普朗特数普朗特数。1.相似分析法1.相似分析法方程分析法方程分析法3.4.3 导出相似特征数的两种方法3.4.3 导出相似特征数的两种方法0( , )(,)x txf Fo Bi =描写该物理现象的描写该物理现象的微分方程组及定解条件微分方程组及定解条件就给出了这种相互影响与制约所应满足的基本关系。物理现象中的各物理量不是单个起作用，而是相互影响、相互制约的。就给出了这种相互影响与制约所应满足的基本关系。物理现象中的各物理量不是单个起作用，而是相互影响、相互制约的。比如：非稳态导热问题中，一维无限大平板的无量纲过余温度分布比如：非稳态导热问题中，一维无限大平板的无量纲过余温度分布特征数方程相似分析法根据相似现象的基本定义（各个物理量的场对应成比例），引入比例系数，结合描述该过程的数学关系式，导出相应的相似准则数。特征数方程相似分析法根据相似现象的基本定义（各个物理量的场对应成比例），引入比例系数，结合描述该过程的数学关系式，导出相应的相似准则数。1.相似分析法1.相似分析法（续）（续）比如：相似的对流传热现象的努塞尔数应相等。比如：相似的对流传热现象的努塞尔数应相等。1212hlhlkkNuNu=比如：若两流体的运动现象相似，其雷诺数应相等。比如：若两流体的运动现象相似，其雷诺数应相等。1212ReReulul=比如：若两热量传递现象相似，其贝克来数应相等。比如：若两热量传递现象相似，其贝克来数应相等。1212ululPePe=Pr RePe =比如：对于自然对流流动，其格拉晓夫数应相等。比如：对于自然对流流动，其格拉晓夫数应相等。33221212vvgTlgTlGrGr=2.2.量纲分析量纲分析法法3.4.4 导出相似特征数的两种方法3.4.4 导出相似特征数的两种方法（续）（续）mnr=基本量的量纲：基本量的量纲：时间量纲T时间量纲T、长度量纲L长度量纲L、质量量纲M质量量纲M和和温度量纲温度量纲（1）找出组成与本问题有关的各物理量量纲中的基本量的量纲。（1）找出组成与本问题有关的各物理量量纲中的基本量的量纲。n个物理量，r个基本物理量n个物理量，r个基本物理量可以组成可以组成m个无量纲量特征数。（2）将基本量逐一与其余各量组成无量纲量。个无量纲量特征数。（2）将基本量逐一与其余各量组成无量纲量。( , , , , ,)phf u dk C =比如：选定比如：选定特征速度特征速度、特征长度特征长度、导热系数导热系数、动力黏度动力黏度为基本物理量。为基本物理量。743mnr=选定特征速度、特征长度、导热系数、动力黏度为基本物理量选定特征速度、特征长度、导热系数、动力黏度为基本物理量( , , , , ,)3个无量纲量3个无量纲量（3）应用量纲和谐原理来求解上述待定指数。（3）应用量纲和谐原理来求解上述待定指数。phf u dk C =111122223333123abcdabcdabcdphu d ku d kC u d k=11111111111111113113111133dim,dim,dim,dim,dimdimcdabcdabcdcadchMTuLTdLkMLTML Thu d kLMT+ =等式左边的等式左边的1 1为无量纲，则等
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