高数 数学极限总结

2 函数极限总结 一 极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义 基本性质和判别准则等问题的基础 理论 极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期 但极限概念真正 意义上的首次出现于沃利斯的 无穷算数 中 牛顿在其 自然哲学的数学原 理 一书中明确使用了极限这个词并作了阐述 但迟至 18 世纪下半叶 达朗贝 尔等人才认识到 把微积分建立在极限概念的基础之上 微积分才是完善的 柯西最先给出了极限的描述性定义 之后 魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定 义 和 N 定义 从此 各种极限问题才有了切实可行的判别准则 使极限理论成为了微积 分的工具和基础 1 二 极限知识点总结 1 极限定义 函数极限 设函数 f x 在点的 x0某一去心邻域内有定义 如果存在常数 A 对于任意给定的正数 无论它多么小 总存在正数 使得当 x 满足不 等式 x x 0 0 时 对应的函数值 都满足不等式 Axf 那么常数 A 就叫做函数 f x 当 x x0时的极限 记作 Axf xx lim 0 2 单侧极限 左极限 Axf xx lim 或 左 xAxf 右极限 Axf xx lim 或 右 xAxf 定理 AxfxfAxf xx lim 0 0000lim 0 xfxfxfxfxf xx 函数 xf 当 0 xx 时极限存在的充分必要条件是左 右极限各自存在且相 3 等 即 lim 0 00 xfxfxf xx 2 极限概念 函数极限可以分成 0 xxxxx 以 0 xx 的极限为例 f x 在点 x0以 A 为极限的定义是 对于任意给定的正数 无论它多么小 总存在正数 使得当 x 满足不等式时 对应的函数值 f x 都 满足不等式 f x A 那么常数 A 就叫做函数 f x 当 x x 时的极限 函数极限具有唯一性 局部有限性 局部保号性 2 3 存在准则 有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得 需要先判定 下 面介绍几个常用的判定数列极限的定理 准则 如果数列 n x n y 及 n z 满足以下条件 1 从某项起 即 Nn0 当 0 nn 时 有 nnn zxy 2 ayn x lim azn x lim 那么数列 n x 的极限存在 且 axn x lim 准则 如果 1 当 0 rxUx 或 Mx 时 xhxfxg 2 Axg x xx lim 0 Axh x xx o lim 那么 lim 0 xf x xx 存在 且等于A 夹逼定理 1 当 x 0 rx U 时 有 成立 2 那么 0 xf 极限存在 且等于 A 准则 准则 合称夹逼定理 4 准则 单调有界数列必有极限 准则 设函数 xf 在点 0 x 的某个左 右 邻域内单调并且有界 则 xf 在 0 x 的左 右 极限 xf xf 必定存在 3 单调有界准则 单调增加 减少 有上 下 界的数列必定收敛 柯西准则 数列收敛的充分必要条件是任给 存在 使得当 o NN n 时 有成立 2 N m mn xx 极限运算相关法则 定理及推论 1 设 为同一极限过程下的无穷小 0 无穷小 2 穷小之积为无穷小 0 无穷小 推论 常数与无穷小之积为无穷小 有限个无穷小之积为无穷小 3 有界函数与无穷小之积为无穷小 0 u 4 函数极限运算法则 定理 设 0 lim xf Bxg lim 则 BAxgxf lim limg x f x lim BAxgxfxgxf lim lim lim 若 0 B 则 B A xg xf xg xf lim lim lim 5 推论 1 如果 limxf 存在 而 c 为常数那么 lim limxfcxcf 推论 2 Axf Nn 则 nn xfxf lim lim 定理 复合函数求极限法则 设函数 yxgf 是由函数 uxg 与函数 yuf 复合而成 xgf 在 点 0 x 的某去心邻域内有定义 若 0 lim 0 uxg xx A xx lim 0 且存在 0 0 当 x 00 x U 时 有 0 gux 则 Aufxgf uuxx limlim 00 两个重要极限 1 sin lim 0 x x x e x x x 1 1 lim 即若 0 0 lim xfxf 则 exf xf 1 1 lim 常用等价无穷小 当 0 x 时 1ln arctanarctantansinxxxxxx n x x n 1 xex 1 2 x cosx 1 2 abxx b a1 1 0ln1 aaaxax 计算极限方法总结 1 直接带入求极限 例 1 138 2 1 lim xx x 6 解 6 138 138 138 138 2 1 1 2 1 11 2 1 2 1 lim limlim limlimlim lim x xx xx xx x xx xxx x 2 约零因子求极限 例 2 求极限 1 1 4 1 lim x x x 说明 x 1 表明 x 与 1 无限接近 但 1x 所以 x 1 这一零因子可以约 去 解 4 1 1 1 1 1 1 2 1x 2 1 limlim xx x xxx x 3 分子分母同除求极限 公式法 例 3 求极限 13 2 23 lim x xx x 说明 型且分子分母都以多项式给出的极限 可通过分子分母同除来 求 解 3 1 1 3 1 1 13 3 3 23 x limlim x x x xx x 注 1 一般分子分母同除 x 的最高次方 7 2 mm nm nm b a bxbxb axaxa n n m m m m n n n n x 0 0 1 1 0 1 1 lim 4 分子 分母 有理化求极限 例 4 求极限 13 22 lim xx x 说明 分子分母有理化求极限 是通过有理化去除无理式 解 0 13 2 13 13 13 13 22 22 2222 22 lim limlim xx xx xxxx xx x xx 例 5 求极限 3 0 sin11tan lim x xx x 解 4 1sintan 2 1 sintan 1sin1tan 1 1sin1tan sintan1sin1tan 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 lim limlim limlim x xx x xx xxx xxx xx x xx x xx xx 注 本题除使用分子有理化方法外 及时分离极限式中的非零因子分离极限式中的非零因子是解题 的关键 5 应用两个重要极限求极限 说明 两个重要极限是 1 sin lim 0 x x x 和 e x x x 1 1 lim 例 6 求极限 x x 1 1 lim x x 8 说明 用第二个重要极限时主要搞清楚步骤 先凑出 1 在凑 x 1 最后 凑指数部分 解 2 2 1 2 1 x 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 x 1 limlimlim e x x x x x x x xx 6 用等价无穷小两代换求极限 说明 1 常见的等价无穷小有 当 x 0 时 x sinx tanx arcsinx arctanx ln 1 x ex 1 1 cosx 2 x 2 1 abxx b a1 1 0ln1 aaaxax n x x n 1 2 等价无穷小量代换 只能代换极限式中的因式因式 3 此方法在各种求极限的方法中应作为首选首选 例 7 求极限 x xx x cos 1 1ln lim 0 9 解 2 2 1 cos1 1ln 2 limlim 00 x xx x xx xx 例 8 求极限 x xx x 3 0 tan 1ln lim 解 6 1 3 2 1 3 1cossin tan sin 2 2 0 2 0 3 0 3 0 limlimlimlim x x x x x xx x xx xxxx 7 用洛必达法则求极限 例 9 求极限 2 2 0 sin1ln 2cosln lim x xx x 说明 和0 0 型的极限 可通过洛必达法则来求 解 3 sin1 1 2cos 2 2 2sin 2 sin1 2sin cos 2sin2 sin1ln 2cosln 2 0 2 0 2 2 0 lim limlim xxx x x x x x x x xx x xx 注 有许多变动上限的积分表示的极限 常用洛必达法则求解 例 10 设函数 f x 连续 且 0f 0 求极限 dttxf x x dtttx x 0 0 x lim 0 解 由于 duuf x duuf x dttxf utx 0 0 0 x 于是 10 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 lim limlim limlim 0 00 00 ff f xf x uf x x dt x xxfduuf x dttf x xxfduuf x xxfxxfdttf x duuf x x tdttf x dttf x x dttxf x x tdttx x x xx xx 8 用对数恒等式求 lim xg xf 极限 例 11 求极限 x x x 2 0 1ln 1 lim 解 2 1ln12 1ln1 2 0 2 0 1ln 2 lim 0 0 lim 1ln1 limlim eeeex x x x x x x x x x x x 注 对于 1 形势的未定式 lim xg xf 也可用公式 1 lim 1 lim xgxfxg exf 因为 1 lim 11ln limln lim lim xfxgxfxgxfxgxg eeexf 例 12 求极限 1 1 3 cos2 3 0 lim x x x x 11 解 1 原式 6 1sin cos2 1 2 1 2 sin cos2 1 3lncos2ln 3 cos2 ln 1 lim limlim limlim 0 0 2 0 2 0 3 3 cos2 ln 0 x x x x x x x x x x e x xx x x x x 解 2 原式 6 1 3 1cos3 1cos 1ln 3 cos2 ln 1