第一章勾股定理教案

集体备课教学设计表集体备课教学设计表 集体备课时间2009 年 8 月 19 日星期三 出席教师 缺席情况记录 中心发言人 备课内容1 1 探索勾股定理 一 教材分析 1 勾股定理是平面几何有关量度的最基本定理之一 它从边的角度进一 步刻画了直角三角形的特征 学习勾股定理及其逆定理是进一步认识 和理解直角三角形的需要 也是后续有关几何度量运算和代数学习必 要基础 在知识体系中有承上启下的作用 2 本节的学习是建立在学生已有三角形 直角三角形及其有关基础知识 的基础上 3 本节的学习的重点是勾股定理的探索 但侧重于大胆尝试 通过测量 数方格等方法勾股定理 发展学生的推理能力 分析问题和解决问题 的能力 知识目标 1 体验勾股定理的探索过程 由特例猜想勾股定理 再由特 例验证勾股定理 2 会利用勾股定理解释生活中的简单现象 能力目标 1 在学生充分观察 归纳 猜想 探索勾股定理的过程 中 发展合情推理能力 体会数形结合的思想 2 在探索勾股定理的过程中 发展学生归纳 概括和 有条理地表达活动过程及结论的能力 教学目标 情感目标 1 培养学生积极参与 合作交流的意识 2 在探索勾股定理的过程中 体验获得成功的快乐 锻 炼学生克服困难的勇气 教学重点探索和验证勾股定理 教学难点在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理 教学准备学生每人课前准备若干张方格纸 教 学 过 程 教 学 内 容学生活动补充 总结 第一课时 创设问题情境 引入新课 1 问题情境 一 1 三角形按角分类 可分为 2 三角形三边关系是 3 对于一般的三角形来说 判断它们全等的条件有哪些 对于直角三角形呢 1 三角形按角的大小来分类可分为 直角三角形 锐角 三角形 钝角三角形 2 三角形三边关系是 两边之和大于第三边 两边 之差小于第三边 学生通过回顾 原有知识后回 答 在激发学 生学习兴趣的 同时为学习新 知作准备 3 对于一般三角形来说 我们可以用SAS 边角边 ASA 角边角 AAS 角角边 SSS 边边边 来判断两个三角 形全等 而对于直角三角形来说 除以上四种方法外 还可 以用 HL 即有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等 2 问题情境 二 如图 1 1 强大的台风使得一根旗杆在离地面 9 米处折断倒 下 旗杆顶部在离旗杆底部 12 米处 旗杆折断之前有多高 9 米米 12 米米 讲述新课 1 做一做 1 在纸上作出若干个直角三角形 分别测量它们的 三条边 看看边长的平方之间有什么样的关系 与同伴交流 2 如图 1 2 直角三角形三边的平方分别是多少 它们满足上面所猜想的数量关系吗 你是如何计算的 与同 伴交流 图 1 3 中的直角三角形 是否还满足这样的关系吗 图见课本 P3 师 就问题 1 为学生设计如下表格 设 直角三角形三 边的长分别为 a b c a2b2c2 1324252 2 3 生 通过测量与计算可以得到 a2 b2 c2 师 就问题 2 为学生设计如下表格 A的面积 单 位面积 B的面积 单 位面积 C的面积 单 位面积 图 1 图 2 图 3 图 4 学生通过观察 联系生活实际 回答 学生经过亲自 动手测量 计 算 填表活动 交流归纳结果 学生通过数小 方格活动交流 归纳结果 通过立阅读进 一步感知勾股 定理 例题 学生通 过自主学习后 与同伴交流各 自学习结果 想一想 你需要求哪 些线段长度 这些长 度确定吗 生 第二小题中可以通过数小方格得出与第一小题一 样的结果即 a2 b2 c2 2 议一议 师 我们通过对前面几个直角三角形的讨论 分析 你能归纳出直角三角形三边长度存在的关系吗 用自己的语 言表达你的重大发现与同伴交流 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a a b b 斜 斜 边为边为c c 那么 那么a a2 2 b b2 2 c c2 2即直角三角形两直角边的平方和等于即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方斜边的平方 勾股定理应用时的两个前提条件勾股定理应用时的两个前提条件 1 1 勾股定理是揭示直角三角形三边关系的定理勾股定理是揭示直角三角形三边关系的定理 只适用只适用 于直角三角形于直角三角形 如果不是直角三角形如果不是直角三角形 那么三边就不具有这种那么三边就不具有这种 关系关系 2 2 应用勾股定理时应用勾股定理时 要注意确定哪条边是斜边要注意确定哪条边是斜边 3 读一读 学生阅读课本 P4 相关内容 进一步了解勾股定理 4 例题讲解 例 在 ABC中 C 90 1 若a 8 b 6 则c 2 若 c 20 b 12 则a 3 若a b 3 4 c 10 则 a b 师生共析 分析 在 ABC中 C 90 所以有关系 a2 b2 c2 在此关系式中 涉及到三个量 利用方程的思想 可 知二 求一 5 想一想 在课本图 1 1 的问题中 折断之前旗杆有多高 练一练 知识巩固与应用 课本 P5 随堂练习 1 2 第 1 小题 学生可自主完成 第 2 小题 师生交流 课时小结 先由学生自己总结 然后师生共同完成 这节课我们主 要研究 1 从特例猜想出勾股定理 2 用特例检验了勾股定理 课后作业 1 课本 P7 习题 1 1 活动与探究 有一根 70 cm 的木棒 要放在长 宽 高分别是 50 cm 40 cm 30 cm 的木箱中 能放进去吗 过程 在实际生活中 往往工程设计方案比较多 应用 所学的知识进行计算方可解决 而此题正是需要我们大胆实 想一想 学生 通过初步应用 勾股定理计算 解决 学生自主完成 练一练 与同 伴进行交流 积累数学活动 经验 请学生总结交 流本节课学习 内容与心得 活动与探究供 学习有余力的 同学用 拓展 学习空间 践和创新 用我们学过的勾股定理和丰富的空间想像力来解 决 我们可注意到木棒虽比木箱的各边都长 按各边的大小 放不进去 但木箱是立体图形 可以利用空间的最长长度 如 AC 结果 由下图可得 AA 30 cm A B 50 cm B C 40 cm A B C AA C 都为 直角三角形 由勾股定理 得A C 2 A B 2 B C 2 在 Rt AA C 中 AC 最长 则 AC 2 AA 2 A B 2 B C 2 302 402 502 5000 702 故 70 cm 的棒能放入长 宽 高分别为 50 cm 40 cm 30 cm 的大箱中 教学反思 集体备课教学设计表集体备课教学设计表 集体备课时间2009 年 8 月 19 日星期三 出席教师 缺席情况记录 中心发言人 备课内容1 1 探索勾股定理 二 教材分析 第 1 课时 学生通过测量和数格子的方法探索发现了勾股定理 但严格 来讲 学生测量的只是一些特殊值 而且计算结果是近似的 数格子的方法 中直角边也是一些特殊值 本课则侧重于一般的思考 用拼图的方法验证勾 股定理 培养学生的创新能力和解决实际问题的能力 同时也注意与第 1 课时 的联系 知识目标 1 掌握勾股定理 了解利用拼图验证勾股定理的方法 2 运用勾股解决一些实际问题 能力目标 1 学会用拼图的方法验证勾股定理 培养学生的创新能力 和解决实际问题的能力 2 在拼图过程中 鼓励学生大胆联想 培养学生数形结合 的意识 教学目标 情感目标 利用拼图的方法验证勾股定理 是我国古代数学家的一大 贡献 借助对学生进行爱国主义教育 并在拼图的过程中获得学 习数学的快乐 提高学习数学的兴趣 教学重点勾股定理的证明及其应用 教学难点勾股定理的证明 教学准备 1 每个学生准备一张硬纸板 2 投影片三张 第一张 问题串 记作 1 1 2 A 第二张 议一议 记作 1 1 2 B 第三张 例题 记作 1 1 2 C 教 学 过 程 教 学 内 容学生活动补充 总结 第二课时 创设问题情景 引入新课 师 我们曾学习过整式的运算 其中平方差公式 a b a b a2 b2 完全平方公式 a b 2 a2 2ab b2是 非常重要的内容 谁还能记得当时这两个公式是如何推出的 生 利用多项式乘以多项式的法则从公式的左边就 学生运用已有知 识回答问题 激 发学习兴趣 可以推出右边 例如 a b a b a2 ab ab b2 a2 b2 所 以平方差公式是成立的 生 还可以用拼图的方法来推出 例如 a b 2 a2 2ab b2 我们可以用一个边长为 a 的正方形 一个边 长为 b 的正方形 两个长和宽分别为 a 和 b 的长方形可拼 成如下图所示的边长为 a b 的正方形 那么这个大的正方 形的面积可以表示为 a b 2 又可以表示为 a2 2ab b2 所以 a b 2 a2 2ab b2 师 由此我们可以看出用拼图的方法推证数学中的 结论非常直观 上一节课我们已经通过数格子通过一些特例 大胆地猜想出了勾股定理 同时又利用一些特例验证了勾股 定理 但我们注意到我们不可能拿所有的直角三角形一一 验证 靠一些特例归纳 猜想出来的结论不一定正确 因此 我们需要用另一种方法说明直角三角形三边的关系 讲授新课 1 拼一拼 出示投影片 1 2 2 A 1 在一张硬纸板上画 4 个如右图 所示全等的直角三角形 并把它们剪下 来 2 用这 4 个直角三角形拼一拼 摆一摆 看能否得到一个含有以斜边 c 为边长的正方形 你能利用它说明勾股定理吗 对于上面 2 个问题 教师要引导学生大胆联想 将形 与数的问题联系起来 鼓励学生大胆的拼摆 只要符合要求 教师都应予以鼓励 然后在小组内交流 同时提示学生根 据自己拼出的图形 联系 a b 2 a2 2ab b2的拼图推证方 法说明勾股定理 生 我拼出了如下图所示的图形 中间是一个边长 为 c 的正方形 观察图形我们不难发现 大的正方形的边长 是 a b 要利用这个图说明勾股定理 我们只要用两种方 法表示这个大正方形的面积即可 学生通过拼图操 作 计算 联系 a b 2 a2 2ab b 2的拼图推证方 法等方法说明勾 股定理 大正方形面积可以表示为 a b 2 又可以表示为 ab 4 c2 2 1 对比这两种表示方法 可得出ab 4 c2 a b 2 2 1 化简 整理得 c2 a2 b2 因此我们得到了勾股定理 生 我拼出了和这个同学不一样的图 如下图所示 大正方形的边长是 c 小正方形的边长为 b a 利用这个 图形也可以说明勾股定理 因为大正方形的面积也有两种表 示方法 既可以表示为 c2 又可以表示为ab 4 b a 2 1 2 对比两种表示方法可得 c2 ab 4 b a 2 化简得 2 1 c2 a2 b2 同样得到了勾股定理 师 真棒 同学们用拼图的方法 大胆地验证了勾 股定理 利用拼图的方法验证勾股定理 是我国古代数学家 的伟大贡献 在后面的课题学习中 我们还要继续研究它 2 读一读 读一读 课本 P9 古代人就对勾股定理有过深入的研究 几大文明古国 都有相应的勾股定理的记载 我国是最早发现勾股定理的国 家之一 早在三千多年前 周朝数学家商高就提出 将一根 直尺折成一个直角 如果勾 即直角三角形中较短的直角边 等于 3 股 即直角三角形中较长的直角边 等于 4 那么弦 即直角三角形中的斜边 等于 5 即 勾三 股四 弦五 它被记载于我国古代著名的数学著作 周髀算经 中 在 学生在两种不同 方案求证勾股定 理过程中 学习 了角割补法与数 形相结合思想 学生通过阅读我 国古代数学家的 一大贡献 借助对 学生进行爱国主 义教育 提高学 这本书中的另一处 还记载了勾股定理的一般形式 因此 我们也把勾股定理称为商高定理 而把商高称为 勾股先 师 在西方 把勾股定理又称为 毕达哥拉斯 定理 相 传二千多年 希腊著名数学家毕达哥拉斯学派首先证明了 勾股定理 因此他们还举行了一次空前规模的庆祝活动 宰杀了一百头牲畜 但因此也引发了数学的第一次危机 边长为 1 的正方形的对角线的长度不能用整数或分数来表 示 关于勾股定理的记载还有很多 同学们如果有兴趣 可查阅有关这方面的资料 所以说勾股定理有着悠久的历史 它反映了古代人民 的聪明才智 生 老师 我在查资料时 还发现勾股定理的证明 还和美国的一个总统有关系 是这样吗 师 是的 1876 年 4 月 1 日 美国俄亥俄州共和党 议员加菲尔德 颇有兴趣地在 新英格兰教育日志 上发 表了他提出的一个勾股定理的证明 据他说 这是一种思想 体操 并且还调皮地声称 他的这个证明是得到两党议员 一致赞同的 由于 1881 年加菲尔德当上了美国第二十 届总统 这样 他曾提出的那个证明也就成了数学史上的 一段佳话 生 能给我们介绍一下这位总统的证明方法吗 师 可以 课本 P11 数学理解之 2 就是这位总统用 两个全等的直角三角形拼出的图形 和第一个同学用全等 的四个直角三角形拼出来的图形对比一下 有没有联系 生 总统拼出的图形恰好是第一个同学拼出的大正 方形的一半 师 同学们不妨自己从上图中推导出勾股定理 生 上面的图形整体上拼成一个直角梯形 所以它的 面积有两种表示方法 既可以表示为 a b a b 又可 2 1 以表示为ab 2 c2 对比两种表示方法可得 2 1 2 1 a b a b ab 2 c2 化简 可得 a2 b2 c2 2 1 师 很好 同学们如果感兴趣的话 不妨自己也去寻 找几种证明勾股定理的方法 3 议一议 习数学的兴趣 学生利用有关梯 形知识验证勾股 定理 感受不同 的验证方法 进 一步体会数形结 合思想 师 前面我们讨论了直角三角形三边满足的关系 那 么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢 出示投影片 1 1 2 B 观察上图 用数格子的方法判断图中两个三角形的三边 关系是否满足 a2 b2 c2 师 上图中的 ABC 和 A B C 是什么三角形 生 ABC A B C 在小方格纸上 不难看 出 ABC 中 BCA 90 A B C 中 A B C B C A B A C 都是锐角 所以 ABC 是钝角三角形 A B C 是锐角三角形 师 ABC 的三边上 长 出三个正方形 谁来帮我 数一下每个正方形含有几个小格子 生 以 b 为边长的正方形含有 9 个小格子 所以这 个正方形的面积 b2 9 个单位面积 以 a 为边长的正方形中 含有 8 个小格子 所以这个正方形的面积 a2 8 个单位面积 以 c 为边长的正方形中含有 29 个小格子 所以这个正方 形的面积 c2 29 个单位面积 a2 b2 9 7 16 个单位面积 c2 29 个单位面积 所以 在钝角三角形 ABC 中 a2 b2 c2 师 锐角三角形 A B C 中 如何呢 生 以 a 为边长的正方形含 5 个小格子 所以 a2 5 个单位面积 以 b 为边长的正方形含有 8 个小格子 所以 b2 8 个单位面积 以 c 为边长的正方形含 9 个小格子 所 以 c2 9 个单位面积 由此我们可以算出 a2 b2 5 8 13 个单 位面积 在锐角三角形 A B C 中 a2 b2 c2 师 通过对上面两个图形的讨论可进一步认识到只 有在直角三角形中 a b c 三边才有 a2 b2 c2 其中 a b 是直角边 c 为斜边 这样的关系 生 老师 我发现在钝角三角形 ABC 中 虽然 a2 b2 c2 但它们之间也有一种关系 a2 b2 c2 在锐角三 角形 A B C 中 a2 b2 c2 它们恒成立吗 师 这位同学很善于思考 的确如此 同学们课后不 妨验证一下 你一定会收获不小 4 例题讲解 出示投影片 1 1 2 C 例 1 我方侦察员小王在距离东西向公路 400 米处侦察 发现一辆敌方汽车在公路上 疾驶 他赶紧拿出红外测距仪 测得汽车与 他相距 400 米 10 秒后 汽车与他相距 500 米 你能帮小王算出敌方汽车的速度吗 例 2 在平静的湖面上 有一棵水草 它 高出水面 3 分米 一阵风吹来 水草被吹到 一边 草尖齐至水面 已知水草移动的水平 距离为 6 分米 问这里的水深是多少 例 1 分析 根据题意 可以画 出右图 A 点表示小王的位置 C B 点是两个时刻小王的位置 C 是 直角 可以用勾股定理来解决这个问题 解 根据题意 得 Rt ABC 中 C 90 AB 500 米 AC 400 米 由勾股定理 得 AB2 AC2 BC2 即 5002 BC2 4002 所以 BC 300 米 汽车速度为 300 10 30 米 秒 即 108 千米 时 评注 这是一个实际应用问题 经过分析 问题转化 为已知两边求直角三角形第三边的问题 这虽是一个一元 二次方程的问题 学生可尝试用学过的知识来解决 同时注 意 在此题中小王是静止不动的 例 2 分析 在此问题中 要注意水草的长度与水 深的关系 还要注意水草站立时和吹到一边 它的长度是 不变的 解 根据题意 得到下图 其中 D 是无风时水草的最 高点 BC 为湖面 AB 是一阵风吹过水草的位置 CD 3 分米 CB 6 分米 AD AB BC AD 学生先自主学习 例题 后进行交 流 所以在 Rt ACB 中 AB2 AC2 BC2 即 AC 3 2 AC2 62 AC2 6AC 9 AC2 36 6AC 27 AC 4 5 所以这 里的水深为 4 5 分米 评注 在几何计算题中 方程的思想十分重要 课时小结 这节课 我们用拼图的方法验证了勾股定理 并运用 勾股定理解决了生活中的实际问题 课后作业 1 课本 P11 习题 1 2 2 收集关于勾股定理的证明方法 活动与探究 如右图 木长二丈 它的一周是 3 尺 生长 在木下的葛藤缠木七周 上端恰好与木齐 问葛 藤长多少 过程 从表面上看 这道题与勾股定理无关 系 但是如果你用一张直角三角形的纸片约一支圆 柱形铅笔上缠绕 就会发现 这里的葛藤之长相 当于直角三角形的斜边 结果 根据题意 可得一条直角边 即高 长 2 丈即 20 尺 另一条直角边 即底边 长 7 3 21 尺 因此 葛藤长设为 x 尺 则有 x2 202 212 841 292 所以 x 29 尺 即葛藤长为 29 尺 板书设计 板书设计 1 2 探索勾股定理 二 一 用拼图法验证勾股定理 1 活动与探究供学 习有余力的同学 用 拓展学习空 间与视野 由上图得 a b 2 ab 4 c2 2 1 即 a2 b2 c2 2 由上图可得 c2 ab 4 b a 2 2 1 即 a2 b2 c2 二 议一议 三 例题讲解 四 课时小结 第一章第一节探索勾股定理课时作业 1 填空题 1 某养殖厂有一个长 2 米 宽 1 5 米的矩形栅栏 现在要在相对角的顶点间加固一条木 板 则木板的长应取 米 2 有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼 其中一艘以 16 海里 时的速度向东南方向航行 另一艘以 12 海里 时的速度向东北方向航行 它们离开港口一个半小时后相距 海里 3 如图 1 隔湖有两点 A B 为了测得 A B 两点间的距离 从与 AB 方向成直角的 BC 方向上任取一点 C 若测得 CA 50 m CB 40 m 那么 A B 两点间的距离是 图 1 2 已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为 12 cm 和 10 cm 求这个三角形的面积 3 在 ABC 中 C 90 AC 2 1 cm BC 2 8 cm 1 求这个三角形的斜边 AB 的长和斜边上的高 CD 的长 2 求斜边被分成的两部分 AD 和 BD 的长 4 如图 2 要修建一个育苗棚 棚高 h 1 8 m 棚宽 a 2 4 m 棚的长为 12 m 现要在棚顶上 覆盖塑料薄膜 试求需要多少平方米塑料薄膜 5 如图 3 已知长方形 ABCD 中 AB 8 cm BC 10 cm 在边 CD 上取一点 E 将 ADE 折叠 使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 求 CE 的长 集体备课教学设计表集体备课教学设计表 集体备课时间2009 年 8 月 19 日星期三 出席教师 缺席情况记录 中心发言人 备课内容1 2 能得到直角三角形吗 教材分析 本节是建立在第一节探索勾股定理的基础上 虽然是重点是勾股定理逆定理的 探索与运用 但其理解与应用是建立在勾股定理的理解与应用的基础上 勾股 定理的理解与应用掌握程度是学习本节的关键 知识目标掌握直角三角形的判别条件 并能进行简单应用 能力目标 进一步发展数感 增加对勾股数的直观体验 培养从实际问 题抽象出数学问题的能力 建立数学模型 会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形 并会辨析哪 些问题应用哪个结论 教学目标 情感目标 敢于面对数学学习中的困难 并有独立克服困难和运用知识 解决问题的成功经验 进一步体会数学的应用价值 发展运 用数学的信心和能力 初步形成积极参与数学活动的意识 教学重点探索并掌握直角三角形的判别条件 教学难点运用直角三角形判别条件解题 教学准备标有单位长度的细绳 三角板 量角器 题篇 教 学 过 程 教 学 内 容学生活动补充 总结 一一 创设情境 激发学生兴趣 导入课题 展示一根用 13 个等距的结把它分成等长的 12 段的绳 子 师 同时握住绳子的第一个结和第十三个结 生 同时握住第四个结和第八个结 拉紧绳子 用量角器 测出这三角形其中的最大角 问 发现这个角是多少 直角 教师道白 这是古埃及人曾经用过这种方法得到直角 这个三角形三边长分别为多少 3 4 5 这三边满 足了哪些条件 222 543 是不是只有三边长为 3 4 5 的三角形才可以成为直角三角形呢 二二 做一做 下面的每组数分别是一个三角形的三边 a b c 5 12 13 3 4 5 8 15 17 7 24 25 1 每组数都满足 222 cba 吗 2 分别用每组数为三边作三角形 用量角器量一量 它 们都是直角三角形吗 生 每组数都满足 222 cba 它们都是直角三角形 师生共同归纳 如果三角形的三边长如果三角形的三边长 a b c 满足满足 222 cba 那么 那么 这个三角形是直角三角形 这个重要的结论又称为勾股这个三角形是直角三角形 这个重要的结论又称为勾股 定理的逆定理定理的逆定理 且满足且满足 222 cba 的三个正整数 称为勾股数 的三个正整数 称为勾股数 师 今后我们可以利用 三角形三边 a b c 满足 学生结合情 境 通过操作 感知课题 以 及数学知识 源于生活 反 过来作用于 生活 体验数 学的应用价 值 激发学习 兴趣 学生通过实 际计算操作 进行验证 交流归纳得 出新知 222 cba 时 三角形为直角形 来判断三角形的形 状 同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方法 三 讲解例题 例 1 一个零件的形状如图 按规定这个零件中 A 与 BDC 都应为直角 工人师傅量得零件各边尺寸 AD 4 AB 3 DC 12 BC 13 这个零件符合要求吗 分析 要检验这个零件是否符合要求 只要判断 ADB 和 DBC 是否为直角三角形 这样勾股定理的逆定理即 可派上用场了 解 在 ABD 中 22222 2516943BDADAB 所以 ABD 为直角三角形 A 90 在 BDC 中 222222 1316914425125BCDCBD 所以 BDC 是直角三角形 CDB 90 因此这个零件符合要求 A A B B C C D D 4 4 5 5 3 3 1 12 2 1 13 3 四四 随堂练习 下列几组数能否作为直角三角形的三边长 说说 你的理由 9 12 15 15 36 39 12 35 36 12 18 22 已知 ABC 中 BC 41 AC 40 AB 9 则此三 角形为 三角形 是最大角 四边形 ABCD 中已知 AB 3 BC 4 CD 12 DA 13 且 ABC 900 求这 个四边形的面积 A A B B C C D D 4 4 3 3 1 12 2 1 13 3 五五 读一读 勾股数组与费马大定理 直角三角形判定定理 如果 三角形的三边长 a b c 六六 小结 1 满足 a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角 形 随堂练习由 学生自主完 成后 在小 组或班级中 交流各自学 习结果与经 验 学生通过阅 读感受数学 研究过程 激发学习兴 趣 同时学 有余力的同 2 满足 a2 b2 c2的三个正整数 称为勾股数 勾 股数扩大相同倍数后 仍为勾股数 七 七 课后作业 课本 P20 习题 1 4 学能探究勾 股数组规律 提高探究能 力 教学反思 第一章 2 你能得到直角三角形吗课时作业设计 如图 ABC 的三个内角 A B C 所对的边长分别为 a b c 且满足关系 a2 b2 c2 请作一个三角形 A B C 使 C 90 B C a A C b 1 A B C 是否全等于 ABC 为什么 答 2 C 是否等于 C 答 3 由以上你能判定 ABC 是直角三角形吗 请你想一想 三角形三条边长满足什么 关系 这个三角形一定是直角三角形 集体备课教学设计表集体备课教学设计表 集体备课时间2009 年 8 月 19 日星期三 出席教师 缺席情况记录 中心发言人 备课内容1 3 蚂蚁怎样走最近 教材分析 本节是继学生学习了勾股定理及直角三角形的判别条件 即勾股定理的逆 定理 之后 进一步发展学生运用勾股定理及直角三角形的判别条件 即 勾股定理的逆定理 解决简单的实际问题和学生的应用意识 知识目标 能运用勾股定理及直角三角形的判别条件 即勾股定理的逆 定理 解决简单的实际问题 能力目标 1 学会观察图形 勇于探索图形间的关系 培养学生的空 间观念 2 在将实际问题抽象成几何图形过程中 提高分析问题 解决问题的能力及渗透数学建模的思想 教学目标 情感目标 1 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣 2 在解决实际问题的过程中 体验数学学习的实用性 体 现人人都学有用的数学 教学重点 探索 发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理 并用它们解决生活 实际问题 教学难点 利用数学中的建模思想构造直角三角形 利用勾股定理及逆定理 解决 实际问题 教学准备 圆柱 剪刀 教 学 过 程 教 学 内 容学生活动补充 总结 1 创设问题情境 引入新课 前几节课我们学习了勾股定理 你还记得它有 什么作用吗 生 已知直角三角形的两边求第三边 师 回答得很好 请用勾股定理知识解答下面 问题 例如 欲登 12 米高的建筑物 为安全需要 需使梯子底端离建筑物 5 米 至少需多长的梯 子 根据题意 如图 AC 是建筑物 则 AC 12 米 BC 5 米 AB 是梯子的长度 所以在 Rt ABC 中 AB2 AC2 BC2 122 52 132 AB 13 米 所以至少需 13 米长的梯子 2 讲授新课 蚂蚁怎么走最近 让学生经历勾股定理简单 应用与回顾 建立知识间 的联系 A B 出示问题 有一个圆柱 它的高等于 12 厘米 底面半径等于 3 厘米 在圆行柱的底面 A 点有 一只蚂蚁 它想吃到上底面上与 A 点相对的 B 点处的食物 需要爬行的的最短路程是多少 的值取 3 1 自己做一个圆柱 尝试从 A 点到 B 点沿圆柱的侧面画出几条路线 你觉得哪条路 线最短呢 2 如图 将圆柱侧面剪开展开成一个 长方形 从 A 点到 B 点的最短路线是什么 你 画对了吗 3 蚂蚁从 A 点出发 想吃到 B 点上的 食物 它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少 我们知道 圆柱的侧面展开图是一长方形 好了 现在咱们就用剪刀沿母线 AA 将圆柱的侧面 展开 如下图 师 我们不难发现 刚才几位同学的走法 1 A A B 2 A B B 3 A D B 4 A B 哪条路线是最短呢 你画对了吗 第 4 条路线最短 因为 两点之间的连线中线段 最短 做一做 课本 P23 李叔叔随身只带卷尺检测 AD BC 是否与底边 AB 垂直 也就是要检测 DAB 90 CBA 90 连结 BD 或 AC 也就是要检测 DAB 和 CBA 是否为直角三角形 很显然 这 是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问 题 随堂练习 1 甲 乙两位探险者 到沙漠进行探险 某日 早晨 8 00 甲先出发 他以 6 千米 时的速度 向东行走 1 时后乙出发 他以 5 千米 时的速 度向北行进 上午 10 00 甲 乙两人相距 多远 学生经历本有趣问题解答 进一步熟悉勾股定理应用 体验图形间的转化与数学 的应用价值 学生通过自主学习与交流 完成做一做 通过随堂练习解答 在解 决实际问题的过程中 体 2 如图 有一个高 1 5 米 半径是 1 米的圆 柱形油桶 在靠近边的地方有一小孔 从孔 中插入一铁棒 已知铁棒在油桶外的部分是 0 5 米 问这根铁棒应有多长 1 分析 首先我们需要根据题意将实际问题转 化成数学模型 解 如图 根据题意 可知 A 是甲 乙的出发 点 10 00 时甲到达 B 点 则 AB 2 6 12 千米 乙到达 C 点 则 AC 1 5 5 千米 在 Rt ABC 中 BC2 AC2 AB2 52 122 169 132 所以 BC 13 千米 即甲 乙两人相距 13 千米 2 分析 从题意可知 没有告诉铁棒是如何插 入油桶中 因而铁棒的长是一个取值范围而 不是固定的长度 所以铁棒最长时 是插入 至底部的 A 点处 铁棒最短时是垂直于底面 时 解 设伸入油桶中的长度为 x 米 则应求最 长时和最短时的值 1 x2 1 52 22 x2 6 25 x 2 5 所以最长是 2 5 0 5 3 米 2 x 1 5 最短是 1 5 0 5 2 米 答 这根铁棒的长应在 2 3 米之间 包含 2 米 3 米 3 试一试 在我国古代数学著作 九章算术 中记载了一 道有趣的问题 这个问题的意思是 有一个水 池 水面是一个边长为 10 尺的正方形 在水池 正中央有一根新生的芦苇 它高出水面 1 尺 如 果把这根芦苇垂直拉向岸边 它的顶端恰好到 达岸边的水面 请问这个水池的深度和这根芦苇 的长度各为多少 验数学学习的实用性 体 现人人都学有用的数学 让学生经历我国古代数学 著作中记载的有趣问题解 答 进一步认识勾股定理 的悠久历史和广泛应用 了解我国古代人民的聪明 才智 我们可以将这个实际问题转 化成数学模型 解 如图 设水深为 x 尺 则芦苇长为 x 1 尺 由勾股 定理可求得 x 1 2 x2 52 x2 2x 1 x2 25 解得 x 12 则水池的深度为 12 尺 芦苇 长 13 尺 4 课堂小结 这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了 生活中的几个实际问题 我们从中可以发现用数 学知识解决这些实际问题 更为重要的是将它 们转化成数学模型 5 课后作业 课本 P23 习题 1 5 教学反思 第一章 3 蚂蚁怎样走最近课时作业设计 一 选择题 1 小红要求 ABC 最长边上的高 测得 AB 8 cm AC 6 cm BC 10 cm 则可知最长边 上的高是 A 48 cmB 4 8 cm C 0 48 cmD 5 cm 2 满足下列条件的 ABC 不是直角三角形的是 A b2 c2 a2 B a b c 3 4 5 C C A B D A B C 12 13 15 3 在下列长度的各组线段中 能组成直角三角形的是 A 5 6 7B 1 4 9 C 5 12 13D 5 11 12 4 若一个三角形的三边长的平方分别为 32 42 x2则此三角形是直角三角形的 x2的值 是 A 42B 52 C 7D 52或 7 5 如果 ABC 的三边分别为 m2 1 2 m m2 1 m 1 那么 A ABC 是直角三角形 且斜边长为 m2 1 B ABC 是直角三角形 且斜边长 2 为 m C ABC 是直角三角形 但斜边长需由 m 的大小确定 D ABC 不是直角三角形 二 解答题 1 已知 a b c 为 ABC 三边 且满足 a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 试判断 ABC 的形 状 2 阅读下列解题过程 已知 a b c 为 ABC 的三边 且满足 a2c2 b2c2 a4 b4 试判 定 ABC 的形状 解 a2c2 b2c2 a4 b4 c2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 c2 a2 b2 ABC 是直角三角形 问 上述解题过程 从哪一步开始出现错误 请写出该步的序号 错误的 原因为 本题正确的结论是 集体备课教学设计表集体备课教学设计表 集体备课时间2009 年 8 月 19 日星期三 出席教师 缺席情况记录 中心发言人 备课内容单元复习与回顾 教材分析 本章的回顾与思考提出了四个问题 希望通过对这几个问题的回答达到 梳理本章内容 建立一定知识体系的目的 同时通过练习检查学生自己 的学习状况 并适时调整教学 知识目标回顾本章主要的知识 建立合理知识体系结构 能力目标进一步熟练运用勾股定理及其逆定理 教学目标 情感目标 让学生在回顾的过程中进一步体会勾股定理及其逆定理的 广泛应用 了解勾股定理的历史 并鼓励学生通过阅读书籍 等方式更多了解与勾股定理有关的内容 教学重点勾股定理及其逆定理的应用 教学难点通过回顾与思考 建立合理知识体系结构 教学准备 教 学 过 程 教 学 内 容学生活动补充 总结 一 回顾与思考 1 用自己的语言回答下列问题 1 直角三角形的边 角之间分别存在着什么关系 2 举例说明 如何判断一个三角形是否为直角三 角形 3 请你举一个生活中的实例 并运用勾股定理解 决它 4 你了解勾股定理的历史吗 与同伴进行交流 生 1 直角三角形的边之间有下列关系 A 满足三角形三边关系 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 B 特殊关系 勾股定理 如果直角三角形 两直角边分别为a b 斜边为c 那么a2 b2 c2即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 角之间有下列关系 A 满足三角形内角和定理 三角形的三个内角 的和等于 180 B 特殊关系 直角三角形的两个锐角互余 2 利用勾股定理的逆定理 如果三角形三边分别 为 a b c 且 a2 b2 c2 那么这个三角形是直角 让学生经历回顾已 知知识 通过梳理 本章主要知识 从 而温故知新 三角形 3 略 4 略 2 试一试 你能综合本章学习与主要知识 建立合理知识结构 吗 二 知识应用 课本 P26 复习题 知识与技能 三 练一练 课本 P27 复习题 数学理解 四 课堂小结 本节我们主要通过回顾本章主要知识 建立了合理 知识结构 进一步巩固了勾股定理及其逆定理的认 识与应用 学生自主思考后与 同伴进行交流与归 纳出知识结构 学生自主学习后 与同伴进行交流