一元二次不等式组解法

一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 一 学习目标学习目标 1 掌握一元二次不等式的解法步骤 能熟练地求出一元二次不等式的解集 2 掌握一元二次不等式 一元二次方程和二次函数的联系 二 例题例题 第一阶梯第一阶梯 例例 1 1 什么是一元二次不等式的一般式 解解 一元二次不等式的一般式是 ax2 bx c a 0 或 ax2 bx c 0 a 0 评注评注 1 一元二次不等式的一般式中 严格要求 a 0 这与一元二次方程 二次函数只要求 a 0 不同 2 任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种 一般式 之一 当 a1 0 时 将不等式 乘 1 就化成了 a 0 例例 2 2 一元二次不等式 一元二次方程和二次函数的联系是什么 点拨点拨 用函数的观点来回答 解解 二次不等式 二次方程和二次函数的联系是 设二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象是抛 物线 L 则不等式 ax2 bx c 0 ax2 bx c 0 的解集分别是抛物线 L 在 x 轴上方 在 x 轴下方 的点的横坐标 x 的集合 二次方程 ax2 bx c 0 的根就是抛物线 L 与 x 轴的公共点的横坐标 评注评注 二次不等式 二次方程和二次函数的联系 通常称为 三个二次问题 我们要深刻理解 牢牢掌握 并灵活地应用它 它是函数与方程思想的应用范例 应用这 三个二次 的关系 不但能直接得到 二次不等式的解集表 而且还能解决 二次问题 的难题 例例 3 3 请你自己设计一张好用的 一元二次不等式的解集表 解 一元二次不等式的解集表 记忆图 分类 0 0 0 ax2 bx c 0 a 0 的解集 x1 x2 x0 x0 R ax2 bx c 0 a 0 的解集 x1 x2 评注评注 1 不要死记书上的解集表 要抓住对应的二次方程的 根 来活记活用 2 二次方程的解集求法属于 根序法 数轴标根 例例 4 4 写出一元二次不等式的解法步骤 解 一元二次不等式的解法步骤是 1 化为一般式 ax2 bx c 0 a 0 或 ax2 bx c 0 a 0 这步可简记为 使 a 0 2 计算 b2 4ac 判别与求根 解对应的二次方程 ax2 bx c 0 判别根的三种情况 0 时求出根 3 写出解集 用区间或用大括号表示解集 例 解不等式 x 2 3x2 解 原不等式等价于 3x2 x 2 0 解方程 3x2 x 2 0 得二根 x2 1 原不等式的解集为 1 第二阶梯第二阶梯 例例 1 1 解下列不等式 1 2 3x 2x2 0 2 x2 2x 3x 0 3 x2 4x 4 0 解 1 原不等式等价于 2x2 3x 2 0 由 2x2 3x 2 0 得 x2 2 原不等式的解集是 2 原不等式等价于 x2 2x 30 x1 x2 0 的条件 2 利用不等式讨论方程的根的情况 是不等式的重要应用 第三阶梯第三阶梯 例例 5 5 已知 A B 1 若 BA 求 a 的取值范围 2 若 A B 是单元素集合 求 a 取值范围 探路 先解不等式化简集合 A 和 B 再利用数轴表示两个集合的关系 求 a 的取值 解 解不等式得 A 1 2 而 B 0 1 若 BA 如图 1 得 a 的取值范围是 1 a 2 2 若 A B 是单元素集合 如图 2 A B 只能是集合 1 a 的取值范围是 a 1 评注 集合 B 的最简表示只能是 B 这是因为不知道 a 与 1 的大小 不 能表示为最简洁的区间 此外 当 a 1 时 集合 B 是单元素集合 即 B 1 也不该表示为区 间 例例 6 6 解关于 x 的不等式 2x2 5ax 3a2 0 a R 探路 先求出不等式相应的二次方程的根 然后注意分类讨论 比较两根的大小 求出 不等式的解集 解 解方程 2x2 5ax 3a2 0 得 当 a 0 时 3a 原不等式的解集是 3a 当 a 0 时 3a 原不等式的解集是 3a 当 a 0 时 3a 0 原不等式的解集是 评注 解含字母系数的二次不等式 在求出相应方程的二根后 应注意对字母分类讨论 两根的大小 进而确定相应的解集 例例 7 7 已知 且 b 0 的解集为 x 1 x 2 求实数 a b 的值 探路 将不等式 ax 3 b 化为二次不等式 利用二次不等式与二次方程的关系求 a b 的值 解 关于 x 的二次不等式 a2 0 的解集为 1 2 1 和 2 是方程的二根 解得 或 b 0 舍去后一组解 a 6 b 9 评注 本例就是利用一元二次不等式与一元二次方程的联系来解题 三三 练习题练习题 A A 组组 1 不等式 x x 1 x x 1 的解集是 A 1 1 B 1 C 1 1 0 D 1 0 2 不等式 42x2 ax a2 常数 a 0 的解集是 A B C D 3 不等式 0 的解集是 A 0 3 B 3 0 C 3 3 D R 4 若关于 x 的不等式 ax2 bx c 0 a 0 的解集为 那么 A a 0 且 b2 4ac 0 B a 0 且 b2 4ac 0 C a 0 且 b2 4ac 0 D a 0 且 b2 4ac 0 5 有三个关于 x 的方程 已知其中至少有一个方程有 实根 则实数 a 的取值范围为 A 4 a 4 B 2 a 4 C a 0 D a 2 或 a 4 6 不等式 4 x2 3x 18 的整数解集是 7 若方程组有两组解 则实数 m 的取值集合是 8 集合 A B 则 A B 9 若的解集是 x 2 x 4 则 p q 的值分别是 p q 10 对任何实数 x 函数的值恒为负数 则 p 的取值范围是 答案 1 D 2 B 3 C 4 C 5 D 6 2 1 4 5 7 8 2 4 9 10 4 p 0 B B 组组 1 解不等式 1 x 1 x 2 0 2 2x x 0 3 14 4x2 x 4 0 x2 x 2 4 2 解不等式组 x x2 1 x 1 x2 x 1 1 2x 3 x 9 3 解不等式 1 0 2 1 4 解不等式 x a x b 0 a b 5 X 为何值时 抛物线 y x2 5x 5 上的点位于直线 y 1 的上方 6 已知 U R 且 A x x2 9 0 B x x2 3x 2 0 求 1 A B 2 A B 3 Cu A B 4 Cu A Cu B 7 不等式 a2 1 x2 a 1 x 1 9 已知全集 U R A x x2 x 6 0 B x x2 2x 8 0 C x x2 4ax 3a 0 若 A BC 求实 数 a 的取值范围 10 已知 A x x a 1 B x 0 且 A B 求 a 的取值范围 答案答案 1 1 x x 1 2 x 0 X 3 x 2 x 4 x 2 X 1 SPAN 或 2 x 3 2 x 1 x 3 1 x X 2 x x 4 x x a 5 x 2 X 3 6 易得 A 3 3 B 1 2 则 1 A B x 3 3 2 A B R 3 Cu AB x x 3 或 1 X 2 或 X 3 4 CuA CuB x x 3 或 1 X 2 或 X 3 7 当 a2 1 0 时 a 1 有 x R 当 a2 1 0 时 a 1 2 4 a2 1 5a2 2a 3 0 a2 1 0 即 A 1