2012届高三数学一轮复习 综合试卷3

用心 爱心 专心 1 高考综合演练高考综合演练 3 3 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 若集合 0 12 2 12 x x xBxxA 则 BA 是 A 2 2 1 xx B 32 xx C 1 2 1 2 1 xxx或 D 3 2 1 xx 2 在同一坐标系中画出函数 logayx x ya yxa 的图象 可能正确的是 D 3 已知数列 110 11 13 n n aanNa a n 1 中 且 则 a D A 28 B 33 C 1 33 D 1 28 4 已知非零向量a b 若a 2b 与a 2b 互相垂直 则 b a 等于 B A 2 1 B 2 C 4 1 D 4 5 如图 若 是长方体 1111 ABCDABC D 被平面 EFCH 截去几何体 11 EFGHBC 后得到的几 何体 其中 E 为线段 11 AB 上异于 1 B 的点 F 为线段 1 BB 上异于 1 B 的点 且 EH 11 AD 则下 列结论中不正确的是 用心 爱心 专心 2 A EH FG B 四边形 EFGH 是矩形 C 是棱柱 D 是棱台 6 二项式 403 72 x 的展开式中所得的 x 的多项式中 系数为有理数的项共有 A 4 项 B 5 项 C 6 项 D 7 项 7 将 7 个市三好学生名额分配给 5 个不同的学校 其中甲 乙两校至少各有两个名额 则 不同的分配方案种数有 A 25B 35C 60D 120 8 某班有 50 名学生 在一次考试中 统计数学平均成绩为 70 分 方差为 102 后来发现 2 名同学的成绩有误 甲实得 80 分却记为 50 分 乙实得 60 分却记为 90 分 更正后平均成绩 和方差分别为 A 70 90B 70 114C 65 90D 65 114 9 曲线 2 x y x 在点 1 1 处的切线方程为 A 21yx B 21yx C 23yx D 22yx 10 函数 2sincosf xxx 是 A 最小正周期为 2 的奇函数 B 最小正周期为 2 的偶函数 C 最小正周期为 的奇函数 D 最小正周期为 的偶函数 11 设 2 3 2 x 且 x2sin1 sinx cosx 则 A 0 x B 4 x 4 3 C 4 x 4 5 D 2 x 4 或 4 3 x 2 3 12 已知随机变量 服从正态分布 2 N 0 若P 2 0 023 则P 2 2 A 0 477 B 0 628 C 0 954 D 0 977 二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 4 分 共 16 分 13 设 an 是等比数列 公比 2q Sn 为 an 的前 n 项和 记 2 1 17 nn n n SS TnN a 设 0 n T 为数列 n T 的最大项 则 0 n 用心 爱心 专心 3 14 已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点 焦点在x轴上 左右焦点分别为 12 F F 且 它们在第一象限的交点为 P 12 PFF 是以 1 PF 为底边的等腰三角形 若 1 10PF 双曲线的离 心率的取值范围为 1 2 则该椭圆的离心率的取值范围是 15 已知程序框图如图所示 则执行该程序后输出的结果是 16 设极点与原点重合 极轴与x轴正半轴重合 已知曲线 C1 的极坐标方程是 cos 3 m 曲线 C2 参数方程为 22cos 2sin x y 为参数 若两曲线有公共点 则实数 m 的取值范围是 三 解答题 本大题共 6 个小题 总分 74 分 17 若向量 3sin 0 cos sin 0 mxnxx 在函数 f xmmnt 的图象中 对称中心到对称轴的最小距离为 4 且当 0 3 xf x 时 的最大值为 1 I 求函数 f x 的解析式 II 求函数 f x 的单调递增区间 18 已知动圆过定点 1 0 且与直线 1x 相切 l 求动圆的圆心轨迹C的方程 2 是否存在直线l 使l过点 0 1 并与轨迹C交于 P Q 两点 使以 PQ为直径的圆过原点 用心 爱心 专心 4 若存在 求出直线l的方程 若不存在 说明理由 19 如图 直线 2 1 0 1 1 kkkkxyl 与 2 1 2 1 2 xyl 相交 于点 P 直线 1 l 与 x 轴交于点 P1 过点 P1 作 x 轴的垂线交直线 2 l 于点 Q1 过点 Q1 作 y 轴的垂线交直线 1 l 于点 P2 过点 P2 作 x 轴的垂线交直线 2 l 于点 Q2 这样一直作下去 可得到一系列点 P1 Q1 P2 Q2 点 Pn n 1 2 的横 坐标构成数列 n x 证明 1 2 1 1 1 Nnx k x nn 求数列 n x 的通项公式 比较 2 2 n PP 与 54 2 12 PPk 的大小 20 如图 在三棱柱 111 ABCABC 中 每个侧面均为正方形 D为底边AB的中点 E为 侧棱 1 CC 的中点 求证 CD 平面 1 AEB 求证 1 AB 平面 1 AEB 求直线 1 B E 与平面 11 AAC C 所成角的正弦值 用心 爱心 专心 5 21 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中 规定每人最多投 3 次 在 A 处每投进一球得 3 分 在 B 处每投进一球得 2 分 如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮 否则投第三次 某同学在 A 处的命中率 q1为 0 25 在 B 处的命中率为 q2 该同学选择先在 A 处投一球 以 后都在 B 处投 用 表示该同学投篮训练结束后所得的总分 其分布列为 1 求 q2的值 2 求随机变量 的数学期望 E 3 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的 大小 22 2010 届 广东高三二模 已知函数 32 f xxxaxb a b R 的一个极值点为 1x 方程 2 0axxb 的两个 实根为 函数 f x 在区间 上是单调的 1 求a的值和b的取值范围 2 若 12 x x 证明 12 1f xf x 参考答案 一 选择题 1 2 D 3 D 用心 爱心 专心 6 4 B 5 命题立意 本题考查考生对立体几何体的理解程度 空间想像能力 灵活 全面地考查 了考生对知识的理解 思路点拨 利用线线平行 线线平行 线面平行 线线平行可以判断 A 的正误 进而判 断其他答案 规范解答 选 D 若 FG 不平行于 EH 则 FG 与 EH 相交 交点必 然在 B1C1 上 而 EH 平行 于 B1C1 矛盾 所以 FG 平行于 EH 由 EH 面 11ABB A 得到 EFEH 可以得到四边 形 EFGH 为矩形 将 从正面看过去 就知道是一个五棱柱 C 正确 D 没能正确理解棱台 与这个图形 方法技巧 线线平行 线面平行 面面平行是空间中的三种重要的平行关系 他们之间可 以进行相互的转化 他们之间的转化关系就是我们学习的六个判定定理和性质定理 我们要 熟练掌握这些定理并利用这些定理进行转化 6 D 7 B 8 A 9 命题立意 本题主要考查导数的几何意义 以及熟练运用导数的运算法则进行求解 思路点拨 先求出导函数 解出斜率 然后根据点斜式求出切线方程 规范解答 选 A 因为 2 2 2 y x 所以 在点 1 1 处的切线斜率 1 2 2 2 12 x ky 所以 切线方程为 12 1 yx 即 21yx 故选 A 10 命题立意 本题考查倍角公式 三角函数的基本性质 属保分题 思路点拨 2sincosf xxx sin2f xx f x 是奇函数 C 正确 规范解答 选 C 因为 2sincosf xxx sin2x 所以 f x 是最小正周期为 的奇函 数 11 B 12 命题立意 本题考查正态分布的基础知识 考查了考生的推理论证能力和运算求解能力 思路点拨 先由 服从正态分布 2 N 0 得出正态曲线关于直线x 0对称 于是得到 2 P 与 2 P 的关系 最后进行求解 规范解答 选 C 因为随机变量 服从正态分布 2 N 0 所以正态曲线关于直线x 0对 称 又P 2 0 023 所以P 2 P 2 1 2 0 023 0 954 故选 C 用心 爱心 专心 7 二 填空题 13 命题立意 考查等比数列的通项公式 前 n 项和 均值不等式等基础知识 思路点拨 化简 n T 利用均值不等式求最值 规范解答 2 21 2 1 21 2 1 11 2 1 2 1n n n n n n aa a S a S 17 2 2 16 21 1 2 21 2 1 21 2 1 17 1 2 11 n nn nn n a aa T 8 2 2 16 n n 当且仅当 16 2 2 n 即2 16 n 所以当 n 4 即 0 4n 时 4 T 最 大 答案 4 14 1 2 3 5 15 1 2 16 解析 将两曲线方程化为直角坐标坐标方程 得 C1 320 xym C2 22 2 4xy 因为两曲线有公共点 所以 22 2 2 m 即 1 m 3 故 m 1 3 三 解答题 17 解析 I 由题意得 f xmmnt 2 mm n 2 3sin3sincos 333 cos2sin2 222 3 3sin 2 4 32 xxxt xxt xt 分 对称中心到对称轴的最小距离为4 f x 的最小正周期为T 用心 爱心 专心 8 2 1 2 6 分 3 3sin 2 32 0 2 333 3 f xxt xx 当时 2 333 xxf x 即时取得最大值 3t max 1 31 2 1 3sin 2 8 32 f xtt f xx 分 II 222 232 kxkkZ 10 分 55 222 261212 5 12 1212 kxkkxk f xkkkZ 函数的单调递增区为分 18 解析 1 如图 设M为动圆圆心 1 0 F 过点M作直线 1x 的垂线 垂足为N 由题意知 MFMN 即动点M到定点F与定直线 1x 的距离相等 由抛物线的定义知 点M的轨迹为抛物 线 其中 1 0 F 为焦点 1x 为准线 动点R的轨迹方程为 2 4yx 2 由题可设直线l的方程为 1 0 xk yk 由 2 1 4 xk y yx 得 2 440ykyk 2 16160 1kk 或 1k 设 1122 P x yQ xy 则 1212 4 4yyk y yk 因为以 PQ为直径的圆过原点 则 0OP OQ 即 1122 OPx yOQxy 于是 1212 0 x xy y 即 2 1212 1 1 0kyyy y 222 1212 1 0ky ykyyk 用心 爱心 专心 9 222 4 1 40k kkkk 解得 4k 或 0k 舍去 又 41k 直线l存在 其方程为 440 xy 19 解析 证明 设点 n P 的坐标是 nn yx 由已知条件得 点 1 nn PQ 的坐标分别是 2 1 2 1 2 1 2 1 1 nnnn xxxx 由 1 n P 在直线 1 l 上 得 1 2 1 2 1 1 kkxx nn 所以 1 1 2 1 1 nn xkx 即 1 2 1 1 1 Nnx k x nn 解 由题设知 0 1 1 1 1 11 k x k x 又由 知 1 2 1 1 1 nn x k x 所以 数列 1 n x 是首项为 x1 1 公比为 k2 1 的等比数列 从而 2 1 1 1 1 n n kk x 即 n n k x 2 1 21 Nn 解 由 1 2 1 2 1 kkxy xy 得点 P 的坐标为 1 1 所以 2 1 2 2 1 8 11 2 1 22 22222 2 nn nnn kk kkxxPP 9 45 10 1 1 1 454 2222 2 1 2 k k kPPk i 当 2 1 k 即 2 1 k 或 2 1 k 时 109154 2 1 2 PPk 用心 爱心 专心 10 而此时 0 1 2 1 k 所以 102182 2 n PP 故 5 42 2 1 2 2 PPkPPn ii 当 0 2 1 2 1 k 即 2 1 0 0 2 1 k 时 109154 2 1 2 PPk 而此时 1 2 1 k 所以 102182 2 n PP 故 5 42 2 1 2 2 PPkPPn 20 解析 解法一 证明 设 11 ABAB和 的交点为 O 连接EO 连接OD 因为O为 1 AB 的中点 D为AB的中点 所以 OD 1 BB 且 1 1 2 ODBB 又E是 1 CC 中点 所以 EC 1 BB 且 1 1 2 ECBB 所以 EC OD且ECOD 所以 四边形ECOD为平行四边形 所以EO CD 又CD 平面 1 ABE EO 平面 1 ABE 则CD 平面 1 ABE 因为三棱柱各侧面都是正方形 所以 1 BBAB 1 BBBC 所以 1 BB 平面ABC 因为CD 平面ABC 所以 1 BBCD 由已知得AB BCAC 所以CD AB 所以CD 平面 11 A ABB 用心 爱心 专心 11 由 可知EO CD 所以EO 平面 11 A ABB 所以EO 1 AB 因为侧面是正方形 所以 11 ABAB 又 1 EOABO EO 平面 1 AEB 1 AB 平面 1 AEB 所以 1 AB 平面 1 ABE 解 取 11 AC 中点F 连接 1 B F EF 在三棱柱 111 ABCABC 中 因为 1 BB 平面ABC 所以侧面 11 ACC A 底面 111 ABC 因为底面 111 ABC 是正三角形 且F是 11 AC 中点 所以 111 B FAC 所以 1 B F 侧面 11 ACC A 所以EF是 1 B E 在平面 11 ACC A 上的射影 所以 1 FEB 是 1 B E 与平面 11 AAC C 所成角 1 1 1 15 sin 5 B F BE F B E 解法二 如图所示 建立空间直角坐标系 用心 爱心 专心 12 设边长为 2 可求得 0 0 0 A 0 2 0 C 1 0 2 2 C 1 0 0 2 A 3 1 0 B 1 3 1 2 B 0 2 1 E 3 1 0 22 D 3 1 1 22 O 易得 33 0 22 CD 33 0 22 EO 所以CD EO 所以EO CD 又CD 平面 1 ABE EO 平面 1 ABE 则CD 平面 1 ABE 易得 1 3 1 2 AB 1 3 1 2 AB 1 0 2 1 AE 所以 1 111 0 0ABABABAE 所以 1111 ABABABAE 又因为 111 ABAE A 111 AB AEABE 平面 所以 1 AB 平面 1 ABE 设侧面 11 AAC C 的法向量为 x y z n 因为 0 0 0 A 0 2 0 C 1 0 2 2 C 1 0 0 2 A 所以 1 0 2 0 0 2 2 ACAC 1 3 1 1 B E 用心 爱心 专心 13 由 1 0 0 AC AC n n 得 0 0 y yz 解得 0 0 y z 不妨令 1 0 0 n 设直线 1 B E 与平面 11 AAC C 所成角为 所以 1 1 1 315 sincos 55 B E B E B E n n n 所以直线 1 B E 与平面 11 AAC C 所成角的正弦值为 15 5 21 解析 1 设该同学在 A 处投中为事件 A 在 B 处投中为事件 B 则事件 A B 相互独立 且 P A 0 25 0 75P A P B q2 2 1P Bq 根据分布列知 0 时 2 2 0 75 1 P ABBP A P B P Bq 0 03 所以 2 10 2q q 2 0 8 2 当 2 时 P1 BBAPBBAPBBABBAP BPBPAPBPBPAP 0 75 q2 2 1 q 2 1 5 q2 2 1 q 0 24 当 3 时 P2 2 2 0 25 1 P ABBP A P B P Bq 0 01 当 4 时 P3 2 2 0 75P ABBP A P B P Bq 0 48 当 5 时 P4 P ABBABP ABBP AB 222 0 25 1 0 25P A P B P BP A P Bqqq 0 24 所以随机变量 的分布列为 随机变量 的数学期望 0 0 032 0 243 0 014 0 485 0 243 63E 3 该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P BBBBBBBB P BBBP BBBP BB 22 222 2 1 0 896q qq 用心 爱心 专心 14 该同学选择 1 中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0 48 0 24 0 72 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大 22 解析 1 32 f xxxaxb 2 32fxxxa 32 f