三角函数导学案

金川公司二中九年级数学导学案 天才就是百分之九十九的汗水加百分之一的灵感 爱迪生1 课题 28 1 1 锐角三角函数 时间 2014 12 8 第 16 周 第 1 课时 学习目标 1 理解正弦这个锐角三角函数的定义 并用直角三角形两边的比表示这些函数 2 运用正弦计算和解决直角三角形中的边角问题 学习重点 理解正弦的三角函数的定义 学习难点 运用 的正弦三角函数值进行计算和解决直角三角形中的边角问题 30 45 60 学习方法 自主学习 合作交流 精讲点拨 一 自学设计 如图 在中 若 Rt ABC 90C 30A 10BCm 求 若 求 BCAC20ABm BCAC 结论 直角三角形中 结论 直角三角形中 30 角的对边与斜边的比值角的对边与斜边的比值 二 自主探究 1 中 则 A 对边与斜边的比值是一个定值吗 如果是 Rt ABC 90C 45A 是多少 结论 直角三角形中 结论 直角三角形中 45 角的对边与斜边的比值角的对边与斜边的比值 2 探究 任意画 Rt ABC 和 Rt A B C 使得 C C 90 A A a 那么 BCB C ABA B 与有什么关系 你能解释一下吗 结论 这就是说 在直角三角形中 当锐角结论 这就是说 在直角三角形中 当锐角 A 的度数一定时 不管三角形的大小如何 的度数一定时 不管三角形的大小如何 A 的的 对边与斜边的比对边与斜边的比 正弦函数概念 正弦函数概念 在中 我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的正弦 Rt ABC 90C 记作 即 a c sin Asin Asin A A a c 的对边 斜边 三 达标测试 1 在中 若 Rt ABC 90C 5AB 4AC 则 sin Asin B 2 如图 已知点 P 的坐标是 a b 则等于 sin A B C D a b b a 22 a ab 22 b ab 3 已知 ABC 中 求 的长 90C 1 sinA 3 2BC ACAB 课堂小结 错题收集 课题 28 1 2 锐角三角函数 时间 2014 12 9 第 16 周 第 2 课时 学习目标 1 理解余弦 正切这三个锐角三角函数的定义 并用直角三角形两边的比表示这些函数 2 利用余弦 正切的三角函数值 进行计算和解决直角三角形中的边角问题 学习重点 理解余弦 正切这两个锐角三角函数的定义 学习难点 运用特殊角 的三角函数值进行计算和解决直角三角形中的边角问30 45 60 题 学习方法 自主学习 合作交流 精讲点拨 一 自学设计 如图 在中 当锐角确定时 由第一课时知的对边与斜边的比都Rt ABC 90C AA 是一个固定值 此时 其他边之间的比是否也随之确定 为什么 二 自主探究 1 当锐角的大小确定时 的邻边与斜边的比是 的对边与邻边的比是 AA A 2 余弦 正切函数概念 余弦 正切函数概念 在中 我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做Rt ABC 90C A 的余弦 记作 我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做cosAcos A A b c 的邻边 斜边 A 的正切 记作 tan Atan A A a b 的对边 邻边 三 达标测试 1 如图 在中 于点 已知 那Rt ABC 90ACB CDAB D5AC 2BC 么 sinACD 2 如图 已知是 的直径 点 在 上 且 则ABOCDO5AB 3BC sinBAC sinADC 3 在中 C 90 如果那么的值为 东 Rt ABC 4 cos 5 A tan B A 东B 东C 东D 3 5 5 4 3 4 4 3 4 如图 是的边上一点 且点的坐标为 3 4 则 P OAPcos 30 C B A A的邻边b A的对边a 斜边c C B A A的邻边b A的对边a 斜边c C B A 东 4东 东 东 2东 东 东 1东 东 P y x 4 3 O D C B A O D B C A 金川公司二中九年级数学导学案 天才就是百分之九十九的汗水加百分之一的灵感 爱迪生2 课堂小结 错题收集 课题 28 1 3 锐角三角函数 时间 2014 12 10 第 16 周 第 3 课时 学习目标 1 能推导并熟记 30 45 60 角的三角函数值 并能根据这些值说出对应锐角度数 2 能熟练计算含有 30 45 60 角的三角函数的运算式 学习重点 熟记 30 45 60 角的三角函数值 能熟练计算含有 30 45 60 角的 三角函数的运算式 学习难点 30 45 60 角的三角函数值的推导过程 学习方法 自主学习 合作交流 精讲点拨 一 自学设计 两块三角尺中有几个不同的锐角 这几个锐角的正弦值 余弦值和正切值各是多少 二 自主探究 30 45 60 角的正弦值 余弦值和正切值如下表 请你填出 30 45 60 sin cos tan 三 达标测试 1 求下列各式的值 1 cos260 sin260 2 cos45 sin45 tan45 2 求适合下列条件的锐角 1 2 2 1 cos 3 3 tan 3 4 2 2 2sin 33 16cos 6 课堂小结 错题收集 课题 28 1 4 锐角三角函数 时间 2014 12 11 第 16 周 第 4 课时 学习目标 1 借助计算器来求锐角三角函数的值 2 由已知锐角三角函数的值求相应锐角的度数 通过习题复习巩固前三节知识点 学习重点 借助计算器来求锐角三角函数的值 学习难点 由已知锐角三角函数的值求相应锐角的度数 学习方法 自主学习 合作交流 精讲点拨 一 自学设计 1 锐角的正弦 正切值随角度的增大而 可记为正变关系 余弦值则随角度的增大而 可记为反变关系 2 利用计算器可求锐角的 已知锐角三角函数值也可求 不同的计算器 操作步骤有所不同 二 自主探究 阅读课本 熟练运用计算器求一些特殊角的三角函数的值 三 达标测试 1 把各边的长度都扩大 3 倍得 那么锐角 的余弦值的关系为 Rt ABC Rt A B C A A A cosA cosA B cosA 3cosA C 3cosA cosA D 不能确定 2 在中 C 90 cosA 则 tanB 等于 Rt ABC 2 3 A B C D 3 5 5 3 2 5 5 5 2 3 若 2sin tan 1 2 0 则锐角 3 4 计算 2sin60 cos45 3tan30 sin45 30tan 2 5 计 算 cos60 sin30 tan60 tan45 cos30 2 6 如图 在 ABC 中 B 30 sinC AC 10 求 AB 的长 5 4 金川公司二中九年级数学导学案 天才就是百分之九十九的汗水加百分之一的灵感 爱迪生3 课堂小结 错题收集 课题 28 1 5 锐角三角函数 时间 2014 12 12 第 16 周 第 5 课时 锐角三角函数相关知识点总结 锐角三角函数相关知识点总结 sinA a c cosA b c tanA a b cotA b a 1 互余角的三角函数值之间的关系 若若 A A B 90 B 90 那么 那么 sinA cosBsinA cosB 或或 sinB cosAsinB cosA 2 同角的三角函数值之间的关系 sin2A cos2A 1 sin2A cos2A 1 tanA sinA cosA tanA sinA cosA tanA 1 tanB tanA 1 tanB a sinA b sinB c sinC a sinA b sinB c sinC 3 锐角三角函数随角度的变化规律 锐角 A 的 tan 值和 sin 值随着角度的增大而增大 cos 值随着角度的增大而减小 4 三角函数平方表示方式 22 sinA sin A 22 sinA sin A 一 选择题 1 已知 Rt ABC 中 C 90 cosA AB 15 则 AC 的长是 3 5 A 3 B 6 C 9 D 12 2 下列各式中不正确的是 A sin260 cos260 1 B sin30 cos30 1 C sin35 cos55 D tan45 sin45 3 计算 2sin30 2cos60 tan45 的结果是 A 2 B C D 132 4 已知 A 为锐角 且 cosA 那么 1 2 A 0 A 60 B 60 A 90 C 0 A 30 D 30 A60 时 cosa 的值 A 小于 B 大于 C 大于 D 大于 1 1 2 1 2 8 在 ABC 中 三边之比为 a b c 1 2 则 sinA tanA 等于 3 32 313 331 3 6222 BCD A 9 在 Rt ABC 中 C 为直角 A 300 则 sinA sinB A 1 B C D 2 31 2 21 4 1 10 若 tanA 3 2 2cosB 0 则 ABC 33 A 是直角三角形 B 是等边三角形 C 是含有 60 的任意三角形 D 是顶角为钝角的等腰三角形 二 填空题 11 若 00 cos600 则锐角 A 的取值范围是 14 用不等号连结右面的式子 cos400 cos200 sin370 sin420 15 若 2sin tan 1 2 0 则锐角 3 16 计算 sin450 cos600 2 2 1 17 计算 sin450 tan600 23 18 计算 sin300 tan450 cos600 19 计算 tan2300 2sin600 tan450 sin900 tan600 cos 2300 20 计算 已知 是锐角 tan 则 sin cos 7 24 三 简答题 21 如图 在 CDE 中 E 90 DE 6 CD 10 求 D 的三个三角函数值 22 如图 角的顶点在直角坐标系的原点 一边在 x 轴上 另一边经过点 P 2 2 3 求角的三个三角函数值 金川公司二中九年级数学导学案 天才就是百分之九十九的汗水加百分之一的灵感 爱迪生4 23 在 Rt ABC 中 两边的长分别为 3 和 4 求最小角的正弦值 课题 28 2 1 解直角三角形 时间 2014 12 15 第 17 周 第 1 课时 学习目标 1 使学生理解直角三角形中五个元素的关系 会运用勾股定理 直角三角形的两个锐角互余 及锐角三角函数解直角三角形 2 通过综合运用勾股定理 直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 逐步 培养学生分析问题 解决问题的能力 学习重点 直角三角形的解法 学习难点 三角函数在解直角三角形中的灵活运用 一 自学设计 1 在直角三角形中 除直角外共有几个元素 2 直角三角形 ABC 中 C 90 a b c A B 这五个元素间有哪些等量关系呢 知 道五个元素中的几个 就可以求其与元素 二二 自主探究 1 边角之间关系边角之间关系 a b A b a A c b A c a A cot tan cos sin b a B a b B c a B c b B cot tan cos sin 2 三边之间关系三边之间关系 勾股定理 3 锐角之间关系锐角之间关系 直角三角形中的两锐角互余 以上三点正是解直角三角形的依据 以上三点正是解直角三角形的依据 三 达标测试 1 根据直角三角形的 元素 至少有一个边 求出 其它所有元素的过程 即解直角三角形 2 在 Rt ABC 中 C 90 A B 解这个直角三角形 30 30bc 3 在 ABC 中 C 为直角 AC 6 的平分线 AD 4 解此直角三角形 BAC 3 4 Rt ABC 中 若 sinA 4 5 AB 10 那么 BC tanB 5 在 ABC 中 C 90 AC 6 BC 8 那么 sinA 6 在 ABC 中 C 90 sinA 3 5 则 cosA 的值是 课堂小结 错题收集 课题 28 2 2 解直角三角形 时间 2014 12 16 第 17 周 第 2 课时 学习目标 1 使学生了解仰角 俯角的概念 使学生根据直角三角形的知识解决实际问题 2 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点 培养学生用数学的意识 学习重点 将某些实际问题中的数量关系 归结为直角三角形元素之间的关系 从而利用所学 知识把实际问题解决 学习难点 实际问题转化成数学模型 一 自学设计 边角之间的关系 sin cos tan AAA AAA A 的对边的邻边的对边 斜边斜边的邻边 二二 自主探究 1 解题步骤 1 审题 根据题中的术语 名词 题意画出几何图形 2 将实际问题的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系 若 无直角三角形可适当添加辅助线 3 解直角三角形求出相应的量 2 仰角 俯角 当我们进行测量时 在视线与水平线所成的角中 视线在水平线上方的 角叫做仰角 在水平线下方的角叫做俯角 三 达标测试 1 为倡导 低碳生活 人们现在常选择以自行 车作为代步工具 如图 1 所示是一辆自行车的实 物图 车架档 AC 与 CD 的长分别为 45cm 60cm 且它们互相垂直 座杆 CE 的长为 20cm 点 A C E 在同一条直线上 且 CAB 75 如图 2 1 求车架档 AD 的长 2 求车座点 E 到车架档 AB 的距离 结果精确 到 1cm 参考数据 sin75 0 9659 cos75 0 2588 tan75 3 7321 2 已知 如图 河旁有一座小山 从山顶 A 处测得河对岸点 C 的俯角为 30 测得岸边点 D 的俯角为 45 又知河宽 CD 为 50m 现需从山顶 A 到河对岸点 C 拉一条笔直的缆绳 AC 求 山的高度及缆绳 AC 的长 答案可带根号 c b a C B A 金川公司二中九年级数学导学案 天才就是百分之九十九的汗水加百分之一的灵感 爱迪生5 课堂小结 错题收集 课题 28 2 3 解直角三角形 时间 2014 12 17 第 17 周 第 3 课时 学习目标 1 使学生了解方位角的命名特点 能准确把握所指的方位角是指哪一个角 2 逐步培养学生分析问题 解决问题的能力 渗透数形结合的数学思想和方法 学习重点 用三角函数有关知识解决方位角问题 学习难点 学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 一 自学设计 1 坡度与坡角 坡面的铅直高度和水平宽度 的比叫做坡度坡度 或叫做坡比坡比 一般用 表示 hli 常写成的形式如 把坡面与水平面的夹角叫做坡角 1 im 1 2 5i 2 方位角与方向角 方位角定义 从标准方向的北端起 顺时针方向到直线的水平角称为该直 线的方位角 方位角的取值范围为 0 360 方向角一般是指以观测者的位置为中心 将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线 所成的角 一般指锐角 通常表达成北 南 偏东 西 度 二 自主探究 1 结合图形思考 坡度 与坡角之间具有什么关系 i 2 东南方向是指南偏东 度 西北方向是指 东北方向是指 西南方向是指 三 达标测试 1 同学们 如果你是修建三峡大坝的工程师 现在有这样一个问题请你解决 水库大坝的横 断面是梯形 坝顶宽 6m 坝高 23m 斜坡 AB 的坡度 i 1 3 斜坡 CD 的坡度 i 1 2 5 求斜 坡 AB 的坡面角 坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长 精确到 0 1m 23m 6m i 1 2 5i 1 3 FE D C B A 2 已知 如图 一艘货轮向正北方向航行 在点 A 处测得灯塔 M 在北偏西 30 货轮以每小 时 20 海里的速度航行 1 小时后到达 B 处 测得灯塔 M 在北偏西 45 问该货轮继续向 北航行时 与灯塔 M 之间的最短距离是多少 精确到 0 1 海里 课堂小结 错题收集 课题 28 2 4 解直角三角形 时间 2014 12 18 第 17 周 第 4 课时 学习目标 1 综合复习解直角三角形与解决实际问题 2 逐步培养学生分析问题 解决问题的能力 渗透数形结合的数学思想和方法 学习重点 渗透数形结合的数学思想和方法 丰富解题的经验 学习难点 学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 一 自学设计 关于直角三角形的可解条件 在直角三角形的六个元素中 除直角外 只要再知道 其中至少 这个三角形的形状 大小就可以确定下来 解直角三角形的 基本类型可分为已知两条边 两条 或斜边和 及已知一边和一个锐角 和一个锐角或 和一个锐角 二 自主探究 在解直角三角形的过程中 一般要用的主要关系如下 如图所示 在 Rt ABC 中 C 90 AC b BC a AB c 1 边与角之间的关系 BAcossin BAsincos B A tan 1 tan B A tan tan 1 2 射影定理 在 Rt ABC 中 C 90 CD AB 于 D CD2 AC2 BC2 AC BC 3 直角三角形的主要线段 如图所示 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 斜边的中点是 若 r 是 Rt ABC C 90 的内切圆半径 则 r 三 达标测试 已知 如图 在 1998 年特大洪水时期 要加固全长为 10000m 的 河堤 大堤高 5m 坝顶宽 4m 迎水坡和背水坡都是坡 度为 1 1 的等腰梯形 现要将大堤加高 1m 背水坡坡 度改为 1 1 5 已知坝顶宽不变 求大坝横截面面积增 东 东 B A M c b a C B A D C B A F E D O C B A G F E D C B A 金川公司二中九年级数学导学案 天才就是百分之九十九的汗水加百分之一的灵感 爱迪生6 加了多少平方米 完成工程需多少立方米的土石 课堂小结 错题收集 课题 28 2 5 解直角三角形 时间 2014 12 19 第 17 周 第 5 课时 一 选择题 1 在 Rt ABC 中 C 90 CD AB 于点 D 已知 AC BC 2 那么 sin ACD 5 A B C D 3 5 3 2 5 52 2 5 2 如图 1 某飞机于空中 A 处探测到地平面目标 B 此时从飞机上看目标 B 的俯角 30 飞行高度 AC 1200 米 则飞机到目标 B 的距离 AB 为 A 1200m B 2400m C 400m D 1200m33 3 在正方形网格中 ABC 的位置如图所示 则 cos B 的值为 A B C D 1 2 2 2 3 2 3 3 第 2 题图 第 3 题图 第 8 题图 4 在 Rt ABC 中 C 90 若 tanA 则 sinA 4 3 A B C D 3 4 4 3 3 5 5 3 5 在 ABC 中 A B 都是锐角 且 sinA cosB 则 ABC 三个角的大小关系 2 1 2 2 是 A C A B B B C A C A B C D C B A 6 若关于 x 的方程 x2 x cos 0 有两个相等的实数根 则锐角 为 2 A 30 B 45 C 60 D