余弦定理及其应用

1 余弦定理及其应用余弦定理及其应用 教学目标教学目标 知识与技能目标知识与技能目标 1 了解并掌握余弦定理及其推导过程 2 会利用余弦定理来求解简单的斜三角形中有关边 角方面的问题 3 能利用计算器进行简单的计算 反三角 过程与能力目标过程与能力目标 1 用向量的方法证明余弦定理 不仅可以体现向量的工具性 更能加深对向量 知识应用的认识 2 通过引导 启发 诱导学生发现并且顺利推导出余弦定理的过程 培养学生 观察与分析 归纳与猜想 抽象与概括等逻辑思维能力 情感与态度目标情感与态度目标 通过三角函数 余弦定理 向量数量积等知识间的联系 来体现事物之间的普 遍联系与辩证统一 教学重点教学重点 余弦定理的证明及应用 教学难点教学难点 1 用向量知识证明余弦定理时的思路分析与探索 2 余弦定理在解三角形时的应用思路 教学过程教学过程 一 引入一 引入 问问 在 Rt ABC 中 若 C 三边之间满足什么关系 0 90 答答 222 bac 问问 若 C 三边之间是否还满足上述关系 0 90 答答 应该不会有了 问问 何以见得 答答 假如不变 将 A B 往里压缩 则 C 且 ba 0 90 222 bac 同理 假如不变 将 A B 往外拉伸 则 C 且 ba 0 90 222 bac 师师 非常正确 那么 这样的变化有没有什么规律呢 答答 规律肯定会有 否则 您就不会拿它来说事了 问问 仔细观察 然后想想 到底会有什么规律呢 答答 有点象向量的加法或减法 或 acb cba A C B ab cA C B ab c A C B ab cA C B ab c 2 探求探求 设 ABC 的三边长分别为 cba 由于 BCABAC Baccab aBacc BCBBCABABb BCBCBCABABABAC BCABBCABACAC cos2 cos2 180cos 2 2 222 22 2 0 2 2 2 为 为 问问 仔细观察这个式子 你能否找出它的内在特点 答答 能 式子中有三边一角 具体包括如下三个方面 第一 左边是什么边 右边就是什么角 第二 左边有什么边 右边就没有什么边 第三 边是平方和平方和 乘积乘积那里是 减号减号 师师 很好 那么 你能否仿照这个形式写出类似的另外两个 答答 可以 它们是 和 Abccbacos2 222 Cabcbaccos2 222 总结总结 这就是我们今天要讲的余弦定理 现在 让我们来继续研究它的结构这就是我们今天要讲的余弦定理 现在 让我们来继续研究它的结构 特点以及其应用问题特点以及其应用问题 板书课题板书课题 余弦定理及其应用余弦定理及其应用 二 新课二 新课 一 余弦定理的文字表述 一 余弦定理的文字表述 三角形的任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的三角形的任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍余弦的积的两倍 二 余弦定理的另一种表述形式 二 余弦定理的另一种表述形式 bc acb A 2 cos 222 ac bca B 2 cos 222 ab cba C 2 cos 222 三 归纳 三 归纳 1 熟悉定理的结构 注意 平方 夹角 余弦 等 2 每个式子中都有四个量 知道其中的三个就可以求另外的一个 3 当夹角为 0 90 即三角形为直角三角形 时即为勾股定理 特例 A C B ab cA C B ab c 3 四 余弦定理的适用范围 四 余弦定理的适用范围 1 已知三边求角 2 已知两边及其夹角求第三边 三 应用三 应用 例例 1 1 在 在 ABC ABC 中 已知中 已知 求这个三角形的最大内角 求这个三角形的最大内角 3 5 7 cba 分析分析 根据大边对大角大边对大角的原则 知 A 为最大 解 解 CBAcba 为 A 2 1 352 49925 2 cos 222 bc acb A 0 120 即该三角形的最大内角等于 0 120 练习练习 1 1 已知 已知 ABC ABC 的三边长分别是的三边长分别是 求三角形的最大内 求三角形的最大内37 4 3 cba 角 角 答案 答案 0 120 思考 思考 形状 如何判断该三角形的 的三边长为已知 cbaABC 提示 求出与最大边相对应的角的余弦值 再与提示 求出与最大边相对应的角的余弦值 再与 0 进行比较 判定标准如下 进行比较 判定标准如下 若 若 0 则为锐角三角形 则为锐角三角形 若若 0 则为直角三角形 则为直角三角形 若 若 0 则为钝角三角形 则为钝角三角形 例例 2 2 在 在 ABC ABC 中 中 求求 及及 A A 4 26 32 Bcab 分析分析 已知两边夹角 可以用公式直接求出 然后Baccabcos2 222 b 用公式即可求出角A bc acb A 2 cos 222 解 解 由得 Baccabcos2 222 解得 8 4 cos 26 322 26 32 222 b22 b 又 bc acb A 2 cos 222 2 1 26 222 32 26 22 222 A A 3 4 例例 3 3 已知 已知 ABC ABC 中 中 解此三角形 解此三角形 13 6 2 cba 分析分析 知道边的比值 可以设其公约数为 k 因为 在后面的运算中又可以同 时约分将其约掉 原则上一般先求最小的角 当然 也可以先求最大的角 解法一 解法一 设其三边的公约数为 k 则 kckbka 13 6 2 由由得 bc acb A 2 cos 222 2 2 13 62 2 13 6 cos 222 kk kkk A 0 45 A 由得 ac bca B 2 cos 222 2 1 13 22 6 13 2 cos 222 kk kkk B B 因此 C 0 60 00000 75 6045 180 180 BA 解法二 解法二 设其三边的公约数为 k 则 kckbka 13 6 2 由得 ab cba C 2 cos 222 kk kkk C 622 13 6 2 cos 222 即 此时可用计算器的第二功能求的反余弦 4 26 cos C 4 26 C 000 0000 75cos 3045cos 30sin45sin30cos45cos 2 1 2 2 2 3 2 2 4 26 为为为 0 75 由得 ac bca B 2 cos 222 2 1 13 22 6 13 2 cos 222 kk kkk B B A 0 60 00000 45 7560 180 180 CB 例例 4 4 已知 已知 ABC ABC 中 中 BcbcbaA及求 8 7 1200 分析分析 这种题型一般都要归结为解方程组 解 解 由得 Abccbacos2 222 0222 120cos27bccb 即 49 22 bccb1549849 22 bcbccb 5 由 分类讨论如下 5 3 3 5 15 8 c b c b bc cb 或 当时 由得 5 b3 7 ca ac bca B 2 cos 222 14 11 372 537 cos 222 B 0 2 38 B 当时 由得 3 b5 7 ca ac bca B 2 cos 222 14 13 572 357 cos 222 B 0 8 21 B 即或 0 2 38 3 5 Bcb 0 8 21 5 3 Bcb 练习练习 2 2 在 在 ABC ABC 中 中 求 求 15 8 2 accaBCAb 提示提示 0 60 B193 cos2 2222 accaBaccab19 b 练习练习 3 在棱长为 在棱长为 1 的正方体的正方体中 中 M N 分别为分别为与与的的 1111 DCBAABCD 11B A 1 BB 中点 那么直线中点 那么直线 AM 与与 CN 所成角的余弦值是所成角的余弦值是