关于几何证明题的一点看法

1 自治区基础教育教学理论和实践研究文本类成果参评自治区基础教育教学理论和实践研究文本类成果参评 关于解几何证明题的一点看法关于解几何证明题的一点看法 2 关于解几何证明题的一点看法 内容摘要 内容摘要 一直以来 关于几何证明题对于教师的教和学生的 学都是一个比较困惑的问题 许多教师费尽心机地总结出了一些所 谓的 证明法宝 作为固定的方法 这种强化记忆的方法 局限了 学生的思维 使学生的思维固化 本文根据教学实际总结出了一些 切实有效的方法 如充分利用已知条件 善于联想提高解题能力 要会从不同角度观察图形 要学会做辅助线等方法在同仁中交流以 求取长补短 关键词 关键词 利用条件 善于联想 观察图形 做辅助线 一直以来 关于几何证明题对于教师的教和学生的学都是一个 比较困惑的问题 似乎只能是教师在讲台上一步步讲解 学生一遍 遍听讲 没有更好的办法 还有许多教师费尽心机地总结出了一些 所谓的 证明法宝 作为固定的方法 比如 证明线段相等的方法 一是可以利用三角形全等证明 二是同一三角形中等角对等边 三 是角平分线上任意一点到角的两边距离相等 等等 还有很多能够 证明线段相等的方法 我个人以为这种方法的记忆量大 同时还局 限了学生的思维 使学生的思维固化 或许在短时间内可以收到比 较明显的效果 但随着时间的推移 学生的思想僵化 没有自我的 思考和想法 只是变成了做题的机器 随着题型的变化 学生的解 题能力也会慢慢退化 在教学实践中 对刚开始接触证明题的学生 来说 我们是不是忽略了一些基础方面的技巧 这些基本技巧学生 3 反而没有掌握好 本人在教学实际中总结出了一些方法 在教学中 和对学生的辅导中使用 感觉有明显效果 现抛砖引玉 大家共勉 欢迎批评指正 一 充分利用已知条件 做一个几何证明题时 我们要先弄清楚已知条件 然后把已知 条件在图上用适当的符号标记出来 如果几何问题中没有相应的图 形 那么我们首先要做的事情就是画一张符合条件的图形 然后思 考条件的作用 由某些条件会推出些什么样的结论 最后 我们从 结论入手 进行分析 分析要证结论成立 需要证什么 证明几何 题 关键要会分析 分析得当 则证明会顺势利导 善于利用条件又包括这几方面 1 是要把题目给的条件全部利用上 这排除有极少的题目会 给出多余条件的情况 如图 已知在 ABC 中 B 60 ABC 的角平分 线 AD CE 相交于点 O 求 证 AE CD AC 此题要先作辅助线 OF OF 可以平分 AOC 也可以截取 AF 使 AF 等于 AE 再连接 OF 之后 部分学生证明 时 对两条角平分线都能考虑到 但对 B 60 这个条件不能很好 的利用 这时就要针对这个条件进行思考 当学生考虑到这点时 E O F D A B C 4 由于这时是有针对的思考 比较容易想到利用三角形的内角和与两 条角平分线进行解答 2 把某些条件发挥出它的最大作用 有些条件由一个条件可以 得到几个结论如等腰三角形的底边上的高 可以得到它是顶角的角 平分线 底边上的中线 如果遇到这样的情况就要求学生把所有的 结论都能想到 少想到一点结论 就可能解决不了问题 还有 有 些条件在一道题的解答中可能会用到两次甚至是多次 而有些学生 一个条件用过以后 似乎觉得这个条件在后面的解题过程中用不到 了 就不再考虑这个条件了 这也是应该注意的一个问题 如图 在 ABC 中 点 E 在 AB 上 点 D 在 BC 上 BD BE BAD BCE AD 与 CE 相交于点 F 试判断 AFC 的形状 并说明理由 此题首先利用 BD BE 作 为条件之一来证明 ABD 和 CBE 全等 然后得到 AB CB 这时需要再次利用 BD BE 来得 到 AE CD 为后面的证明打下 基础 而这部分解答过程就有 学生想不到使用 BD BE 这个条件 也就不能得到 AE CD 后面的过 程当然更无从谈起了 这部分学生就有上述所说的想法 或许学生 自己也不是很清楚 但这种情况是真实存在的 让学生认识到自己 这种错误的想法 对学生的学习不无益处 5 3 综合利用条件 有些条件单一的使用并不能充分发挥它的作 用 要与其它的条件综合起来使用才会发挥它的真正作用 二 善于联想提高解题能力 几何证明中的联想是指看到一个条件要能联想到与这个条件有 关的性质与定理 并且能够继续联想下去 在几何命题证明中展开 联想 会较快地找到证题的切入点 善于联想可培养同学们的思维 提高解题的能力 比如 现在有一个直角符号 如果不加以其它的 限制 就可以联想到直角三角形 并进一步可以想到直角三角形其 它的性质 如 勾股定理等 或者可以联想到矩形 并进一步联想 到矩形的其它性质 从而为解题提供最终的帮助 要做到这一点 要求学生对各种性质和定理必须非常熟悉 只有熟悉了 在运用的 时候 才能保证在运用的时候思路流畅 提高解题的效率 例如 将一张对边平行的纸条如图 1 所示那样折叠 求重合部分是一个等腰 三角形 图 1 已知 如图 1 所示 AD BC 1 2 求证 FBD 是等腰 三角形 分析 由已知条件 AD BC 联想到 3 1 两直线平行 内错 角相等 又由已知 1 2 得到 2 3 即 FBD 是等腰三角形 等角 对等边 证明 略 在证明某些几何命 题时 如果能引导学生对其几何图形的变化展开变形联想 探究其 6 图形的变化规律 就可以激发学生学习数学 探究数学的兴趣 更 能培养学生的变形联想思维能力 达到举一反三 触类旁通的效果 三 要会从不同角度观察图形 观察图形是解几何题的根本 但是不少学生并不太会观察图形 观察图形要从不同的角度来观察 比如 在几何图形里用的最多 最基本 发挥作用也最多的是线段 而我们解几何题时 常见的不 会是一个单一的图形 这时就会有一些线段既在这个图形里 或是 它的一条边 或是一条对角线 也会在另一个图形里 这时我们就 要从这两个图形的角度来观察 来考虑 例题 已知如图 已知如图 E F 在 BD 上 且 AB CD BF DE AE CF 求证 AC 与 BD 互相平分 这道题对于部分学生来说 观察图形有些困难 三角形套三角 形 图形之间的互相组合给学生看图带来了阻挠 这就要求学生静 下心来仔细看图 从不同角度来观察这些线段 也就是这些线段分 别在哪个三角里 当学生能注意到线段 AB 是 ABE 的一条边 并且 还是 ABO 的一条边 同样的 CD 是 CDF 的一条边并且也是 CDO 并且重视这一点进而有针对的分析思考 解决出这道题的希望就非 常大了 四 要学会做辅助线 7 证明几何题一般需添加辅助线 所以我们在分析思考一道几何 题的证明方法时 也就要考虑添加什么样的辅助线的问题 辅助线的 类型分为直线型和圆型两种 我们知道 添加有用的辅助线 能使 命题的条件与结论有机联系起来 便于由此及彼 或改造原题图形 以应用某一定理 或造成新的等量 借以得到欲证的等量 在实际 教学中 不少学生在解题的时候光知道闷头想 不能主动的想起运 用辅助线来帮助自己来解决问题 这一点就要提醒学生在解决不了 问题的时候可以主动的 有意的思考一下