高等数学(专科)复习题及答案

中南大学现代远程教育课程考试 专科 复习题及参考答中南大学现代远程教育课程考试 专科 复习题及参考答 案案 高等数学高等数学 专科 专科 一 填空题一 填空题 1 函数的定义域是 1 1 4 2 x xy 解 2 2 2 若函数 则 52 1 2 xxxf xf 解 6 2 x 3 sin lim x xx x 答案 1 正确解法 101 sin lim1lim sin 1 lim sin lim x x x x x xx xxxx 4 已知 则 2 2 lim 2 2 2 xx baxx x a b 由所给极限存在知 得 又由024 ba42 ab 知2 3 4 1 2 lim 2 lim 2 2 2 2 a x ax xx baxx xx 8 2 ba 5 已知 则 1 lim 0 xax bex x a b 即 1 lim 0 xax be x x 0 1 1 lim 0 b a be xax x x 1 0 ba 6 函数的间断点是x 01 0 1 sin xx x x x xf 解 由是分段函数 是的分段点 考虑函数在处的连续性 xf0 x xf0 x 因为 1 0 1 1 lim0 1 sinlim 00 fx x x xx 所以函数在处是间断的 xf0 x 又在和都是连续的 故函数的间断点是 xf 0 0 xf0 x 7 设 则 nxxxxy 21 1n y 1 n 8 则 2 xxf 1 x ff 答案 或 2 12 x144 2 xx 9 函数的定义域为 1ln 4 22 2 yx yx z 解 函数 z 的定义域为满足下列不等式的点集 10 4 0 1 4 11 01 04 22 2 22 22 2 22 22 2 yx xy yx yx xy yx yx yx 的定义域为 且 z 10 22 yxyxxy4 2 10 已知 则 22 xyyxyxyxf yxf 解 令 则 xyu xyv 22 uvuv xy f xy xyxy xy 4222 22 vu uuvuvu vuf 22 4 x f x yxy 11 设 则 22 yx x xyyxf 1 0 x f 1 0 y f 0 1 000f 2 00 0 1 0 1 1 0 1 limlim2 x xx x x fxf x f xx 00 0 1 0 1 00 0 1 limlim0 y yy fyf f yy 12 设则 cos sin 32 tytxyxz t z d d 解 2 2 sin3cos dz xtty dt 13 dxxfdd dx d 解 由导数与积分互为逆运算得 xfdxxfdd dx d 14 设是连续函数 且 则 xfxdttf x 1 0 3 7 f 解 两边对求导得 令 得 所以x1 1 3 32 xfx71 3 x2 x 12 1 3 1 7 2 2 x x f 15 若 则 2 1 de 0 x kx k 答案 d e 1 limde 2 1 00 kx k x b kx b kx kkkk kb b b kx b 1 e 1 lim 1 e 1 lim 0 2 k 16 设函数 f x y 连续 且满足 其中则 D ydyxfxyxf 2 222 ayxD f x y 解 4 4 4 2 x a y 记 则 两端在 D 上积分有 D dyxfA 2 yAxyxf 其中 由对称性 DD dyAxdA 2 D xdA0 a D a dddy 0 4 23 2 0 2 4 sin 即 所以 4 4 a A 4 4 2 x a yyxf 17 求曲线所围成图形的面积为 a 0 2 4 22 ay xaxy 解 2 2 3 a 18 1 22 2 12 n n n x n 解 令 则原幂级数成为不缺项的幂级数 记其各项系数为 因 2 xy 1 1 2 12 n n n y n n b 为 则 2 12 12 lim2 12 2 2 12 limlim 1 1 n n n n b b R n n n n n n n 2022 2 xy 故 22 x 当时 幂级数成为数项级数 此级数发散 故原幂级数的收敛区2 x 1 12 2 1 n n 间为 2 2 19 的满足初始条件的特解为 0 2 yy 4 1 1 12 1 1 yy 3 2 1 12 1 xy 20 微分方程的通解为 03 yy x eccy 3 21 21 微分方程的通解为 0136 yyy xcxcey x 2sin2cos 21 3 22 设 n 阶方阵 A 满足 A 3 则 AA 答案 3 1 1 n 23 是关于 x 的一次多项式 则该多项式的一次项系数是 111 11 111 x 答案 2 24 f x 是 次多项式 其一次项的系数是 31 25 14 x x x 解 由对角线法则知 f x 为二次多项式 一次项系数为 4 25 A B C 代表三事件 事件 A B C 至少有二个发生 可表示为 AB BC AC 26 事件 A B 相互独立 且知则 0 2 0 5P AP B P AB 解 A B 相互独立 P AB P A P B P A B P A P B P AB 0 2 0 5 0 1 0 6 27 A B 二个事件互不相容 则 0 8 0 1 P AP B P AB 解 A B 互不相容 则 P AB 0 P A B P A P AB 0 8 28 对同一目标进行三次独立地射击 第一 二 三次射击的命中率分别为 0 4 0 5 0 7 则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 解 设 A B C 分别表示事件 第一 二 三次射击时击中目标 则三次射击中恰 有一次击中目标可表示为 即有CBACBACBA P CBACBACBA P A 0 36 CPBPAPCPBPAPCPBP 29 已知事件 A B 的概率分别为 P A 0 7 P B 0 6 且 P AB 0 4 则 P P AB AB 解 P A B P A P B P AB 0 9 P A B P A P AB 0 7 0 4 0 3 30 若随机事件 A 和 B 都不发生的概率为 p 则 A 和 B 至少有一个发生的概率为 解 P A B 1 PpBAPBA 1 1 二 单项选择题二 单项选择题 1 函数 1 0 1 1 aa a a xxf x x A 是奇函数 B 是偶函数 C 既奇函数又是偶函数 D 是非奇非偶函数 解 利用奇偶函数的定义进行验证 1 1 1 1 1 1 xf a a x aa aa x a a xxf x x xx xx x x 所以 B 正确 2 若函数 则 2 2 1 1 x x x xf xf A B C D 2 x2 2 x 2 1 x1 2 x 解 因为 所以2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 x x x x x x2 1 1 2 x x x xf 则 故选项 B 正确 2 2 xxf 3 设 则 1 xxf 1 xff A x B x 1 C x 2 D x 3 解 由于 得 1 xxf 1 xff1 1 xf2 xf 将代入 得 1 xxf 1 xff32 1 xx 正确答案 D 4 已知 其中 是常数 则 0 1 lim 2 bax x x x ab A B 1 1 ba1 1 ba C D 1 1 ba1 1 ba 解 0 1 1 lim 1 lim 22 x bxbaxa bax x x xx 答案 C1 1 0 01 babaa 5 下列函数在指定的变化过程中 是无穷小量 A e 1 x x B sin x x x C ln 11 xx D x x x 11 0 解 无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量 所以 0 sin lim x x x 而 A C D 三个选项中的极限都不为 0 故选项 B 正确 6 下列函数中 在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是 A B 1 sin x x xy 1 nny n C D 0 ln xxy 0 1 cos 1 x xx y 解 故不选 A 取 则1 11 sinlim 1 sinlim xxx x xx 12 km 故不选 B 取 则 故不选 0 12 1 limlim 1 k n kn n 2 1 n xn0 1 cos 1 lim nn n xx D 答案 C 7 设 则在处 0 0 1 sin xx x x x xf xf0 x A 连续且可导B 连续但不可导 C 不连续但可导D 既不连续又不可导 解 B 0lim lim 00 xxf xx 0 1 sinlim lim 00 x xxf xx 0 0 f 因此在处连续 xf0 x 此极限不存在 xx x x x fxf f xxx 1 sinlim 0 0 1 sin lim 0 0 lim 0 000 从而不存在 故不存在 0 f 0 f 8 曲线在点 1 0 处的切线是 xxy 3 A B 22 xy22 xy C D 22 xy22 xy 解 由导数的定义和它的几何意义可知 1 3 1 x xxy2 13 1 2 x x 是曲线在点 1 0 处的切线斜率 故切线方程是xxy 3 即 1 20 xy22 xy 正确答案 A 9 已知 则 4 4 1 xy y A B C D 6 3 x 2 3xx6 解 直接利用导数的公式计算 34 4 1 xxy 23 3 xxy 正确答案 B 10 若 则 x x f 1 xf A B C D x 1 2 1 xx 1 2 1 x 答案 D 先求出 再求其导数 xf 11 22 lnyxz 的定义域为 A 1 22 yx B 0 22 yx C 1 22 yx D 0 22 yx 解 z 的定义域为 个 选 D 0 22 yxyx 12 下列极限存在的是 A B C D yx x y x 0 0 lim yx y x 1 lim 0 0 yx x y x 2 0 0 lim yx x y x 1 sinlim 0 0 解 A 当 P 沿时 当 P 沿直线时 故0 x0 0 lim 0 yf y 0 y1 0 lim 0 xf x 0 0 lim y x 不存在 B 不存在 C 如判断题中 1 题可知不存在 yx x yx y x 1 lim 0 0yx x y x 2 0 0 lim D 因为 所以 选 D0lim 1 sin lim 0 0 0 0 x yx x y x y x 0 1 sinlim 0 0 yx x y x 13 若 在内 xxfxf 0 0 0 0 则在内xfxf A B 0 0 xfxf0 0 xfxf C D 0 0 xfxf0 0 xfxf 解 Cxfxfxf故应选为偶函数为奇函数则为偶函数因 14 设为奇函数 且时 则在上的最大值为 xf0 x0 x f xf 1 10 A B C D 10 f 1 f 10 f 1 f 解 B 因为是奇函数 故 两边求导 从而 xf xfxf xfxf 设 则 从而 所以在 10 1 上 xfxf 0 x0 x0 xfxf xf 单调增加 故最大值为 1 f 15 函数 22 4 yxyxzyxf A 有极大值 8 B 有极小值 8 C 无极值 D 有无极值不确定 解 42 x fx 42 y fy 02 02 x y fx fy 为极大值 A 20 02 H 0 20H 2 2 8f 15 设 的值则为周期的连续函数是以 Ta a dxxfITxf A 依赖于 B 依赖于Ta xTa和 C 依赖于 不依赖于 D 依赖于 不依赖于xT aTa 解 根据周期函数定积分的性质有 0 Ddxxfdxxf TTl l 故应选 17 曲线与轴围成的图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为 0 sin2 3 xxyxx A B C D 3 4 3 4 2 3 2 3 2 解 所求旋转体的体积为 3 4 3 cos coscos cos1 sin 0 3 0 2 0 3 0 2 x xxdxxdxdxyV 故应选 B 18 设 2 2 4 2 cos 1 sin xdx x x M 2 2 43 cos sin dxxxN 则有 2 2 432 cossin dxxxxP A B MPN NPM C D PMN NMP 解 利用定积分的奇偶性质知 0 M 所以 故选 D 0cos2 2 0 4 xdxN0cos2 2 0 4 xdxPNMP 19 下列不定积分中 常用分部积分法的是 A B xxxdsin 2 xxxd 12sin C D x x xdln x x x d 1 答案 B 20 设 则必有 dxdyyxI yx 3 1 2 4 2 1 22 A I 0 B I 0 C I 0 D I0 的符号位不能确定 解 D 02 02r 2 14 22 22 33 00 0 3 d 1 d 1 0 4 Irr rr 21 设 f t 是可微函数 且 f 0 1 则极限 dxdyyxf t tyx t 1 lim 222 22 3 0 A 等于 0 B 等于 0 3 2 f C 等于 D 不存在且非 C 解 由极坐标 原极限 2 0 3300 000 2 12 lim limlim 3 t t ttt rf r dr f t drf r dr ttt 22 设函数项级数 下列结论中正确的是 1 n n xu A 若函数列定义在区间上 则区间为此级数的收敛区间 xunII B 若为此级数的和函数 则余项 xS xSxSxr nn 0 lim xrn n C 若使收敛 则所有都使收敛Ix 0 1 0 n n xu 0 xx x 1 n n xu D 若为此级数的和函数 则必收敛于 xS 1 0 n n xu 0 xS 解 选 B 23 设为常数 则级数 0 a cos1 1 1 n a n n A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 敛散性与有关a 解 因为 而收敛 因此原级数绝对收敛 故 2 2 2 22 sin2 cos1 1 n a n a n a n 1 2 2 2 n n a 选 A 24 若级数在时发散 在处收敛 则常数 1 1 n n n n ax 0 x0 x a A 1 B 1 C 2 D 2 解 由于收敛 由此知 当时 由于的 1 1 n n n n a 1 a11 a 1 1 n n n n ax 收敛半径为 1 因此该幂级数在区间内收敛 特别地 在内收敛 此 1 1 aa 1 0 a 与幂级数在时发散矛盾 因此 故选 B 0 x1 a 25 的特解可设为 xeyyy x 2cos52 A B 2cos xAey x 2cos xAxey x C D 2sin2cos xBxAxey x 2sin2cos xBxAey x 解 C 26 微分方程的阶数是指 A 方程中未知函数的最高阶数 B 方程中未知函数导数或微分的最高阶数 C 方程中未知函数的最高次数 D 方程中函数的次数 解 B 27 下面函数 可以看作某个二阶微分方程的通解 A B 22 cyx 32 2 1 cxcxcy C D cossin 2 2 2 1 xcxcy coslnln 21 xcxcy 解 C 28 A B 均为 n 阶可逆矩阵 则 A B 的伴随矩阵 AB A B C D B A BAAB AB A B 解答 D 29 设 A B 均为 n 阶方阵 则必有 A A B A B B AB BA C AB BA D A B 1 A 1 B 1 解 正确答案为 C 30 A B 都是 n 阶矩阵 则下列各式成立的是 A B TT T BAAB TT T BABA C D 11 1 BAAB 11 1 BABA 解答 B 31 在随机事件 A B C 中 A 和 B 两事件至少有一个发生而 C 事件不发生的随机事件可 表示为 A B C D ACBC ABCABCABCABC ABC 解 由事件间的关系及运算知 可选 A 32 袋中有 5 个黑球 3 个白球 大小相同 一次随机地摸出 4 个球 其中恰有 3 个白球 的概率为 A B C D 3 8 5 31 88 3 4 8 31 C 88 4 8 5 C 解 基本事件总数为 设 A 表示 恰有 3 个白球 的事件 A 所包含的基本事件数 4 8 C 为 5 故 P A 故应选 D 1 5 C 4 8 5 C 33 已知 且 0P1 B 1 0P1 A 2 0P A1 12 PA AB 则下列选项成立的是 1 A PB 2 P AB A 1212 PA A ABPBP AB B 1212 PA AABPP A C 121122 P AA A BA BPP BP AP B A D 1122 PA A BPP BP AP B A 解 由题可知 A1 A2互斥 又 0 P B 1 0 P A1 1 0 P A2 1 所以 P A1B A2B P A1B P A2B P A1A2B P A1 P B A1 P A2 P B A2 故应选 C 三 解答题 1 设函数 0 sin 0 0 1 sin x x x xa xb x x xf 问 1 为何值时 在处有极限存在 ba xf0 x 2 为何值时 在处连续 ba xf0 x 解 1 要在处有极限存在 即要成立 xf0 x lim lim 00 xfxf xx 因为bb x xxf xx 1 sin lim lim 00 所以 当时 有成立 即时 函数在处有极限1 b lim lim 00 xfxf xx 1 b0 x 存在 又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关 所以此时可以取任意值 a 2 依函数连续的定义知 函数在某点处连续的充要条件是 lim lim 0 00 xfxfxf xxxx 于是有 即时函数在处连续 afb 0 11 ba0 x 2 已知 试确定和的值8 2 lim 23 2 x baxx x ab 解 即8 2 lim 23 2 x baxx x 048lim 23 2 babaxx x ab48 8124422lim 2 84 lim 2 lim 2 2 23 2 23 2 aaxax x aaxx x baxx xxx 1 sin lim lim 00 x x xf xx 故 1 a4 b 3 设 求的间断点 并说明间断点的所属类型 01 1ln 0 1 1 xx xe xf x xf 解 在内连续 因此 xf 1 1 0 0 1 1 1 1 lim x x e0lim 1 1 1 x x e 00 f 是的第二类无穷间断点 1 x xf limlim 1 1 1 00 eexf x xx 因此是的第一类跳跃间断点 01lnlimlim 00 xxf xx 0 x xf 4 求方程中是的隐函数的导数yx 1 1ee yx xy y 解 方程两边对自变量求导 视为中间变量 即xy 1 e e yx xy 0ee yyxy yx yyx xy e e 整理得 y x x y y e e 2 设 求 sin yxy dx dy 2 2 dx yd 解 1 cos yyxy cos 1 cos yx yx y yyxyyxy cos 1 sin 2 33 cos 1 cos 1 sin yx y yx yx y 5 设由方程所确定 求 yxzz yz xz e xy z 2 解 设 xzzyxF yz e 1 x F yz y F e1e yz z F 1e 1 yz x z zyyz yz y z e1 1 1e e 3 2 2 2 e1 e e1 e e1 1 zy zy zy zy zy x z xxy z 6 设函数在 0 1 上可导 且 对于 0 1 内所有 x 有证明 xf1 0 xf 1 xf 在 0 1 内有且只有一个数 x 使 xxf 1 0 1 01 0 1 0 0 1 0 1 0 21 212121 xxfx ffFccRolle cccFcFccxF xFxxfxF 一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一 一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一 一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一 一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一一 一 7 求函数的单调区间和极值 12 1 xxy 解解 函数的定义域是 12 1 xxy 1 1 221 1 1 1 2 xxxxy 2 2 1 1 2 x xxx 2 1 2 x xx 令 得驻点 0 1 2 2 x xx y2 1 x0 2 x 2 2 1 2 0 1 0 0 x f 0 0 xf 极大值极小值 故函数的单调增加区间是和 单调减少区间是及 当 2 0 1 2 0 1 2 时 极大值 当0 时 极小值 x4 2 f x0 0 f 8 在过点的所有平面中 求一平面 使之与三个坐标平面所围四面体的 6 3 1 P 体积最小 解 设平面方程为 其中均为正 则它与三坐标平面围成1 CzByAxCBA 四面体的体积为 且 令 ABC V 1 6 1 163 CBA 则由 163 CBAABCCBAF 求得 由于问题存在最小值 因此所求平面方程为 163 06 03 0 CBA AB A F AC A F BC A F 18 1 9 1 3 1 C B A 且 1 1893 zyx 811893 6 1 min V 9 求下列积分 1 x x d 1 1 3 1 解 1 2 3 lim 1 3 1 1 limd 1 limd 1 3 2 1 3 2 1 3 1 1 3 1 bxx x x x b b b b b 极限不存在 则积分发散 2 222 222 ayx dyxa 解 是 D 上的半球面 由的几何意义知 I V半球 222 f x yaxy 222d D Iaxy 3 2 3 a 3 D 由 的围成 D yd 1 1 0 xyxyx 解 关于 x 轴对称 且是关于 y 的奇函数 f x yy 由 I 几何意义知 d0 D y 4 判别级数 常数 的敛散性 如果收敛 是绝对收敛还是条 1 cos1 1 n n n a 0 a 件收敛 解 由 而 n a n a n cos1 cos1 1 0 2 1 2 2 lim 1 2 sin2 lim 1 cos1 lim 2 2 2 2 2 2 a n n a n n a n n a nnn 由正项级数的比较判别法知 与同时敛散 1 cos1 n n a 1 2 1 n n 而收敛 故收敛 从而原级数绝对收敛 1 2 1 n n 1 cos1 n n a 4 判别级数的敛散性 如果收敛 是绝对收敛还是条件收敛 n n n ln 1 1 2 解 记 则 1ln 1 1 1 n u n nnn v n u 1 1 显见去掉首项后所得级数仍是发散的 由比较法知发散 从而 1 1 n n 1n n v 1n n u 发散 又显见是 Leibniz 型级数 它收敛 即收 2n n u 1ln 1 1 1 1 n n n n n n ln 1 1 2 敛 从而原级数条件收敛 4 求幂级数在收敛区间上的和函数 1 1 n n nn x xS 解 所以 1 2 1 1 limlim 1 nn nn a a n n n n 1 R 又当时 级数成为 都收敛 故级数的收敛域为 1 x 1 1 1 n n nn 1 1 设级数的和函数为 即 xS 1 1 n n nn x xS 再令 1 1 1 n n nn x xxSxf 逐项微分得 1 n n n x xf x xxf n n 1 1 1 1 1ln 1 1 0 0 xdx x dxxf xx 0 0 1ln 0 fxxffxf x x xx dx x x xxdxxdxxf 0 0 0 0 1 1ln 1ln xxxxxxx 1ln 1 1ln 1ln 故 又显然有 故 1ln 1 xxxxf 1 1 S 1 1 0 0 1 0 1ln 1 1 x x xx x x xS 5 求解微分方程 1 的所有解 012 2 ydydxyx 解 原方程可化为 当 两边积分得 即xdx y ydy 2 1 2 1 2 ycxy 22 1 为通解 当时 即 显然满足原方程 所以原方程的全部cyx 22 11 2 y1 y 解为及 cyx 22 11 y 2 22 yxyyx 解 当时 原方程可化为 令 得 原方程化为0 x 2 1 x y x y yu x y xuy 解之得 2 1uux cxu lnarcsin 当时 原方程可化为 类似地可解得 0 x 2 1 x y x y ycxu lnarcsin 综合上述 有 0ln 0ln arcsin xcx xcx x y 3 2sin 2