高二数学周测教师版

2014 2015 年度高二数学周末测试 一 填空题 1 设复数 z 3 4i 1 2i 则复数 z 的虚部为 解析 z 3 4i 1 2i 11 2i 所以复数 z 的虚部为 2 答案 2 2 从班委会 5 名成员中选出 3 名 分别担任班级学习委员 文娱委员与体育委 员 其中甲 乙二人不能担任文娱委员 则不同的选法共有 种 用 数字作答 解析 第一步 先选出文娱委员 因为甲 乙不能担任 所以从剩下的 3 人 中选 1 人当文娱委员 有 3 种选法 第二步 从剩下的 4 人中选学习委员和体育委员 又可分两步进行 先选学 习委员有 4 种选法 再选体育委员有 3 种选法 由分步乘法计数原理可得 不同的选法共有 3 4 3 36 种 答案 36 3 盒子中装有 6 件产品 其中 4 件一等品 2 件二等品 从中不放回地取产品 每次 1 件 共取 2 次 已知第二次取得一等品 则第一次取得二等品的概率 是 解析 设 第二次取得一等品 为事件 A 第一次取得二等品 为事件 B 则 P AB P A P B A C1 2C1 4 C1 6C1 5 4 15 C1 4C1 3 C1 2C1 4 C1 6C1 5 2 3 P AB P A 4 15 2 3 2 5 答案 2 5 4 求圆心为 C 半径为 3 的圆的极坐标方程 3 6 解 如图 设圆上任一点为 P 则 OP POA 6 OA 2 3 6 在 Rt OAP 中 OP OA cos POA 6cos 6 5 一名学生通过某种外语听力测试的概率为 他连续测试 3 次 那么 其中恰有一次通 1 3 过的概率是 答案 4 9 6 如果的展开式中二项式系数之和为 128 则展开式中的系数是 n x x 1 3 32 1 x3 7 从 5 张 100 元 3 张 200 元 2 张 300 元的奥运会门票中任选 3 张 则选取的 3 张中至 少有 2 张价格相同的概率为 答案 3 4 8 若将函数 f x x5表示为 f x a0 a1 1 x a2 1 x 2 a5 1 x 5 其中 a0 a1 a2 a5为实数 则 a3 解析 f x x5 1 x 1 5 它的通项为 Tr 1 C 1 x r 1 5 r T4 r 5 C 1 2 1 x 3 10 1 x 3 3 5 a3 10 9 某人随机地将编号为 1 2 3 4 的四个小球放入编号为 1 2 3 4 的四个盒子中 每个盒子 中放一个小球 球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了 否则就叫做放错了 设放对的 个数为 则 的期望 E 答案 1 解析 因为 P 0 3 3 24 9 24 P 1 C1 4 2 24 8 24 P 2 C2 4 1 24 6 24 P 4 1 24 所以 E 1 2 4 1 8 24 6 24 1 24 10 已知函数f x x2 4x 3ln x在 t t 1 上不单调 则t的取值范围是 1 2 解析 由题意知f x x 4 由f x 0 得函数f x 的 3 x x 1 x 3 x 两个极值点为 1 3 则只要这两个极值点有一个在区间 t t 1 内 函数f x 在区间 t t 1 上就不单调 由t 1 t 1 或t 3 t 1 得 0 t 1 或 2 t 3 答案 0 1 2 3 11 如图 一环形花坛分成 A B C D 四块 现有 4 种不同的花供选种 要求 在每块里种 1 种花 且相邻的 2 块种不同的花 则不同的种法总数为 解析 可依次种 A B C D 四块 当 C 与 A 种同一种花时 有 4 3 1 3 36 种种法 当 C 与 A 所种花不同时 有 4 3 2 2 48 种种 法 由分类加法计数原理 不同的种法种数为 36 48 84 答案 84 12 S C C C除以 9 的余数 7 1 272 272727 求曲线 C xy 1 在矩阵 M 1 1 1 1 13 对应的变换作用下得到的曲线 C1的方程 解 设 P x0 y0 为曲线 C xy 1 上的任意一点 它在矩阵 M 对应的变换作用下得到点 Q x y 1 1 1 1 由 得Error Error 1 1 1 1 x0 y0 x y 解得Error Error 因为 P x0 y0 在曲线 C xy 1 上 所以 x0y0 1 所以 1 即 x2 y2 4 x y 2 x y 2 所以所求曲线 C1的方程为 x2 y2 4 14 定义在 R R 上的函数f x 满足f 4 1 f x 为 f x 的导函数 已知y f x 的图象如图所示 若两个正数a b满足f 2a b 1 则的取值 b 1 a 1 范围是 解析 当x 0 时 f x 0 所以f x 在区间 0 上单调递增 于是由f 2a b f 4 得Error 它表示的平面区域如图所示 不包括边界 所以 kPA kPB 5 1 3 b 1 a 1 答案 1 3 5 2 简答题 15 已知复数 z1满足 z1 2 1 i 1 i i 为虚数单位 复数 z2的虚部为 2 且 z1 z2是实数 求 z2 解 z1 2 1 i 1 i z1 2 i 设 z2 a 2i a R 则 z1 z2 2 i a 2i 2a 2 4 a i z1 z2 R a 4 z2 4 2i 16 已知矩阵 M 其中 a R 若点 P 1 2 在矩阵 M 的变换下得 2 a 2 1 到点 P 4 0 求 1 实数 a 的值 2 矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量 解 1 由 2 a 2 1 1 2 4 0 所以 2 2a 4 所以 a 3 2 由 1 知 M 则矩阵 M 的特征多项式为 2 3 2 1 f 2 1 6 2 3 4 2 3 2 1 令 f 0 得矩阵 M 的特征值为 1 与 4 当 1 时 Error Error x y 0 所以矩阵 M 的属于特征值 1 的一个特征向量为 1 1 当 4 时 Error Error 2x 3y 0 所以矩阵 M 的属于特征值 4 的一个特征向量为 3 2 17 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合 极轴与 x 轴的正半轴重 合 若直线 l 的极坐标方程为 sin 3 4 2 1 把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程 2 已知 P 为椭圆 C 1 上一点 求 P 到直线 l 的距离的最大值 x2 16 y2 9 解 1 直线 l 的极坐标方程 sin 3 则 sin cos 3 4 2 2 2 2 22 即 sin cos 6 所以直线 l 的直角坐标方程为 x y 6 0 2 P 为椭圆 C 1 上一点 设 P 4cos 3sin 其中 0 2 x2 16 y2 9 则 P 到直线 l 的距离 d 其中 cos 所以当 cos 4cos 3sin 6 2 5cos 6 2 4 5 1 时 d 的最大值为 11 2 2 18 已知 f x 3x2 n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992 3 x2 1 求展开式中二项式系数最大的项 2 求展开式中系数最大的项 1 令 x 1 则二项式各项系数的和为 f 1 1 3 n 4n 又展开式中各项的二项式系数之和为 2n 由题意知 4n 2n 992 2n 2 2n 992 0 2n 31 2n 32 0 2n 31 舍 或 2n 32 n 5 由于 n 5 为奇数 所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项 它们分别是 T3 C 3 3x2 2 90 x6 2 5 x 2 3 T4 C 2 3x2 3 270 x 3 5 x 2 3 22 3 2 展开式的通项公式为 Tr 1 C 3r x 5 2r r 5 2 3 假设 Tr 1项系数最大 则有Error Error Error r r N r 4 7 2 9 2 故展开式中系数最大的项为 T5 405x 26 3 19 从装有大小相同的 2 个红球和 6 个白球的袋子中 每摸出 2 个球为一次试验 直到摸出的球中有红球 不放回 则试验结束 1 求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率 2 记试验次数为 X 求 X 的分布列 数学期望 E X 及方差 V X 解 1 记 第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球 为事件 A 则 P A C1 2C1 6 C2 8 3 7 2 由题知 X 的可能取值为 1 2 3 4 则 P X 1 C1 2C1 6 C2 2 C2 8 13 28 P X 2 C2 6 C2 8 C1 4C1 2 C2 2 C2 6 9 28 P X 3 C2 6 C2 8 C2 4 C2 6 C1 2C1 2 C2 2 C2 4 5 28 P X 4 C2 6 C2 8 C2 4 C2 6 C2 2 C2 4 1 28 X 的分布列为 X1234 P 13 28 9 28 5 28 1 28 E X 1 2 3 4 13 28 9 28 5 28 1 28 25 14 20 已知函数 f x x3 ax2 b a b R 1 求函数 f x 的单调递增区间 2 若对任意 a 3 4 函数 f x 在 R 上都有三个零点 求实数 b 的取值范 围 解 1 因为 f x x3 ax2 b 所以 f x 3x2 2ax 3x x 2a 3 当 a 0 时 f x 0 函数 f x 没有单调递增区间 当 a 0 时 令 f x 0 得 0 x 2a 3 故 f x 的单调递增区间为 0 2 3a 当 a 0 时 令 f x 0 得 x 0 2a 3 故 f x 的单调递增区间为 2 3a 0 综上所述 当 a 0 时 函数 f x 没有单调递增区间 当 a 0 时 函数 f x 的单调递增区间为 0 2 3a 当 a 0 时 函数 f x 的单调递增区间为 2 3a 0 2 由 1 知 a 3 4 时 f x 的单调递增区间为 单调递减区间为 0 2 3a