相似三角形培优学案(动点问题)(学)

相似三角形培优导学案相似三角形培优导学案 精典例题 1 已知如图 正方形已知如图 正方形 ABCD 的边长为的边长为 1 P 是是 CD 边的中点 点边的中点 点 Q 在线段在线段 BC 上 设上 设 BQ k 是否存在这样的实数 是否存在这样的实数k 使得 使得 Q C P 为顶点的三角形与为顶点的三角形与 ADP 相似 若存在 相似 若存在 求出求出k的值 若不存在 请说明理由 的值 若不存在 请说明理由 2 如图 在梯形如图 在梯形中 中 梯形的高为 梯形的高为 动点 动点从从点出发沿线段点出发沿线段以以ABCDADBC 3AD 5DC 10BC 4MBBC 每秒每秒 2 个单位长度的速度向终点个单位长度的速度向终点运动 动点运动 动点同时从同时从点出发沿线段点出发沿线段以每秒以每秒 1 个单位长度的速度向终点个单位长度的速度向终点运运CNCCDD 动 设运动的时间为动 设运动的时间为 秒 秒 t 1 当 当时 求时 求 的值 的值 MNAB t 2 试探究 试探究 为何值时 为何值时 为直角三角形 为直角三角形 tMNC 变式练习变式练习 1 如图所示 在如图所示 在 ABC ABC 中 中 BA BC 20cmBA BC 20cm AC 30cmAC 30cm 点 点 P P 从从 A A 点出发 沿着点出发 沿着 ABAB 以每秒以每秒 4cm4cm 的速度向的速度向 B B 点运点运 动 同时点动 同时点 Q Q 从从 C C 点出发 沿点出发 沿 CACA 以每秒以每秒 3cm3cm 的速度向的速度向 A A 点运动 设运动时间为点运动 设运动时间为 x x 1 1 当 当 x x 为何值时 为何值时 PQ BCPQ BC 2 2 当 当 求 求的值 的值 3 3 APQ APQ 能否与能否与 CQB CQB 相似 若能 求出相似 若能 求出 APAP 的长 若不能 请说的长 若不能 请说 3 1 ABC BCQ S S ABC BPQ S S 明理由 明理由 由 S BCQ S ABC 1 3 得知 QC 1 3 AC 10 且 S BCQ 1 3 S ABC 所以 Q P 的运动时间为 10 3 由 1 题知 此时 PQ 与 BC 恰好平行 所以 ABC APQ 所以 S APQ S ABC 20 30 2 4 9 即 S APQ 4 9 S ABC 所以 S PBQ S ABC S APQ S BQC S ABC 4 9 S ABC 1 3 S ABC 2 9 S ABC 所以 S BPQ S ABC 2 9 3 能 当 APQ CQB 时 有 AP CQ AQ BC 4 3 由于 BC 20 所以 可求得 AQ 80 3 所以 QC 30 80 3 10 3 所以 P Q 两点运动的时间为 10 3 3 10 9 问题二图 Q P D CB A D N CMB A 所以 此时 AP 4 10 9 40 9 即 AP 的长是 40 9 厘米 变式练习变式练习 2 如图 已知直线 如图 已知直线 的函数表达式为的函数表达式为 且 且 与与轴 轴 轴分别交于轴分别交于两点 动点两点 动点从从点开点开l 4 8 3 yx lxyAB QB 始在线段始在线段上以每秒上以每秒 2 个单位长度的速度向点个单位长度的速度向点移动 同时动点移动 同时动点从从点开始在线段点开始在线段上以每秒上以每秒 1 个单位长度的个单位长度的BAAPAAO 速度向点速度向点移动 设点移动 设点移动的时间为移动的时间为 秒 秒 OQP t 1 求出点 求出点的坐标 的坐标 AB 2 当 当 为何值时 为何值时 与与相似 相似 tAPQ AOB 3 求出 求出 2 中当 中当与与相似时 线段相似时 线段所在直线的所在直线的APQ AOB PQ 函数表达式 函数表达式 3 如图 抛物线经过如图 抛物线经过三点 三点 4 0 10 02 ABC 1 求出抛物线的解析式 求出抛物线的解析式 2 P 是抛物线上一动点 过是抛物线上一动点 过 P 作作轴 垂足为轴 垂足为 M 是否存在 是否存在 P 点 使得以点 使得以 A P M 为顶点的三角形与为顶点的三角形与PMx 相似 若存在 请求出符合条件的点相似 若存在 请求出符合条件的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 的坐标 若不存在 请说明理由 OAC 答案答案 解 解 1 该抛物线过点该抛物线过点 可设该抛物线的解析式为可设该抛物线的解析式为 02 C 2 2yaxbx 将将 代入 代入 4 0 A 1 0 B 得得解得解得 16420 20 ab ab 1 2 5 2 a b OPA Q B y x 此抛物线的解析式为此抛物线的解析式为 2 15 2 22 yxx 2 存在 存在 如图 设如图 设点的横坐标为点的横坐标为 则 则点的纵坐标为点的纵坐标为 当 当时 时 PmP 2 15 2 22 mm 14m 又 又 4AMm 2 15 2 22 PMmm 90COAPMA 当当时 时 即 即 2 1 AMAO PMOC APMACO 2 15 422 22 mmm 解得解得 舍去 舍去 12 24mm 21 P 当当时 时 即 即 1 2 AMOC PMOA APMCAO 2 15 2 4 2 22 mmm 解得解得 均不合题意 舍去 均不合题意 舍去 当当时 时 1 4m 2 5m 14m 2 1 P 类似地可求出当类似地可求出当时 时 当 当时 时 4m 52 P 1m 314 P 综上所述 符合条件的点综上所述 符合条件的点为为或或或或 P 2 1 52 314 3 如图 已知如图 已知 ABC 是边长为是边长为 6cm 的等边三角形 动点的等边三角形 动点 P Q 同时从同时从 A B 两点出发 分别沿两点出发 分别沿 AB BC 匀速运动 其匀速运动 其 中点中点 P 运动的速度是运动的速度是 1cm s 点 点 Q 运动的速度是运动的速度是 2cm s 当点 当点 Q 到达点到达点 C 时 时 P Q 两点都停止运动 设运动时间为两点都停止运动 设运动时间为 t s 解答下列问题 解答下列问题 1 当 当 t 2 时 判断时 判断 BPQ 的形状 并说明理由 的形状 并说明理由 2 设 设 BPQ 的面积为的面积为 S cm2 求 求 S 与与 t 的函数关系式 的函数关系式 3 作 作 QR BA 交交 AC 于点于点 R 连结 连结 PR 当 当 t 为何值时 为何值时 APR PRQ 答案答案 解 解 1 BPQ BPQ 是等边三角形是等边三角形 当当 t 2t 2 时时 AP 2 1 2 BQ 2 2 4 AP 2 1 2 BQ 2 2 4 所以所以 BP AB AP 6 2 4 BP AB AP 6 2 4 所以所以 BQ BP BQ BP 又因为又因为 B 60 B 600 0 所以所以 BPQ BPQ 是等边三角形是等边三角形 2 2 过过 Q Q 作作 QE AB QE AB 垂足为垂足为 E E 由由 QB 2y QB 2y 得得 QE 2t sin60QE 2t sin600 0 t t 由由 AP t AP t 得得 PB 6 t PB 6 t 3 所以所以 S BPQ S BPQ BP QE BP QE 6 t 6 t t t t t2 2 3 3t t 2 1 2 1 3 2 3 3 3 因为因为 QR BA R BA 所以所以 QRC A 60 QRC A 600 0 RQC B 60 RQC B 600 0 又因为 又因为 C 60 C 600 0 所以所以 QRC QRC 是等边三角形是等边三角形 所以所以 QR RC QC 6 2t QR RC QC 6 2t 因为因为 BE BQ cos60BE BQ cos600 0 2t t 2t t 2 1 所以所以 EP AB AP BE 6 t t 6 2t EP AB AP BE 6 t t 6 2t 所以所以 EP QR EP QR EP QR EP QR 所以四边形所以四边形 EPRQEPRQ 是平行四边形是平行四边形 所以所以 PR EQ PR EQ t t 又因为又因为 PE