归一问题和归总问题.教师版与学生版

归一归总问题归一归总问题 教学目标教学目标 本讲主要学习归一及归总问题 通过本节课的学习 学生应了解归一及归总问题的类型 以及解决 归一及归总问题的一般方法 掌握归一及归总问题的基本关系式 并会将这种方法应用到一些实际问题 中 知识点拨知识点拨 知识点说明 知识点说明 一 归一问题一 归一问题 归一问题是一类典型应用题 这类问题是用等分除法求出一个单位的数值 单一量 之后 再求出题 目所要求解的问题 解答归一问题的方法叫做归一法 归一问题可以分为两种 一种是求总量的 求出一个单位量之后 然后利用乘法求出结果 这种问 题叫做正归一问题 也称正归一 如 一辆汽车 3 小时行 150 千米 照这样 7 小时行驶多少千米 解 决此类问题的关键是先求出单位数量 再求几个单位数量是多少 另一种是求份数的 求出一个单位量 后 再用包含除法求出所求的结果 这类问题叫做反归一问题 也称反归一 如 修路队 6 小时修路 180 千米 照这样 修路 240 千米需几小时 解决此类问题的关键是先求出单位数量 再求一共包含多少 个单位数量 正 反归一问题的相同点是 一般情况下第一步先求出单一量 不同点在第二步 正归一问题是求 几个单一量是多少 反归一是求包含多少个单一量 解答归一问题的关键是求出单位量的数值 再根据题 中 照这样计算 用同样的速度 等句子的 含义 抓准题中数量的对应关系 列出算式 求得问题的解决 有的问题一次归一不能解决 需要两次 归一或与倍比相结合才能解决 归一问题的基本关系式 总工作量每份的工作量 单一量 份数 正归一 份数总工作量每份的工作量 单一量 反归一 每份的工作量 单一量 总工作量份数 二 归总问题二 归总问题 与归一问题类似的是归总问题 归一问题是找出 单一量 而归总问题是找出 总量 再根据其 它条件求出结果 所谓 总量 是指总路程 总产量 工作总量 物品的总价等 例题精讲例题精讲 板块一 归一问题 例例 1 某人步行 某人步行 3 3 小时行小时行 1515 千米 千米 7 7 小时行多少千米 小时行多少千米 解析 15 3 7 35 千米 答 7 小时行 35 千米 巩固巩固 一艘轮船一艘轮船 4 4 小时航行小时航行 108108 千米 照这样的速度 继续航行千米 照这样的速度 继续航行 270270 千米 共需多少小时 千米 共需多少小时 解析 先求出每小时航行多少千米 108 4 27 千米 再求出航行 270 千米需要几小时 270 27 10 小时 最后求出共需多少小时 10 4 14 小时 综合算式 270 108 4 4 14 小时 例例 2 小红骑车小红骑车 3 3 分钟行分钟行 600600 米 照这样的速度她从家到学校行了米 照这样的速度她从家到学校行了 1010 分钟 小红家到学校有多少米 分钟 小红家到学校有多少米 解析 600 3 10 200 10 2000 米 例例 3 一个打字员一个打字员 1515 分钟打了分钟打了 18001800 个字 照这样的速度 个字 照这样的速度 1 1 小时能打多少个字 小时能打多少个字 解析 先求 1 分钟能打多少个字 再求 1 小时能打多少个字 1800 15 120 个 120 60 7200 个 巩固巩固 2 台机器台机器 20 分钟造纸分钟造纸 80 吨 照这样计算 吨 照这样计算 1 台机器台机器 1 小时造纸多少吨 小时造纸多少吨 解析 解析 1 1 台机器台机器 1 1 分钟造纸 分钟造纸 80 20 280 20 2 2 2 吨吨 1 1 小时 小时 6060 分钟 也就是分钟 也就是 1 1 台机器台机器 1 1 小时造纸小时造纸 2 602 60 120 120 吨吨 例例 4 绿化队绿化队 3 天种树天种树 210 棵 还要种棵 还要种 420 棵 照这样的工作效率 完成任务共需多少天 棵 照这样的工作效率 完成任务共需多少天 解析 解析 方法一方法一 倍比思想 因为工作效率是一定的 所以可以求出种倍比思想 因为工作效率是一定的 所以可以求出种 420420 棵树需要的天数是种棵树需要的天数是种 210210 棵棵 树的倍数为 树的倍数为 420 210420 210 2 2 倍倍 所以种 所以种 420420 棵树需要的天数为棵树需要的天数为 2 32 3 6 6 天天 也就是完成任 也就是完成任 务共需要务共需要 3 3 6 6 9 9 天天 方法二方法二 归一思想 先求出一天种多少棵树 再求出共需几天完成任务 单一数 归一思想 先求出一天种多少棵树 再求出共需几天完成任务 单一数 210 3210 3 7070 棵棵 总共的天数是 总共的天数是 210 210 420 70420 70 9 9 天天 巩固巩固 绿化队绿化队 天种树天种树 200 棵 还要种棵 还要种 400 棵 照这样的工作效率 完成任务共需多少天 棵 照这样的工作效率 完成任务共需多少天 3 解析 方法同上 400 200 2 倍 3 2 6 天 3 6 9 天 巩固巩固 绿化队绿化队 4 天种树天种树 200 棵 还要种棵 还要种 400 棵 照这样的工作效率 完成任务共需多少天 棵 照这样的工作效率 完成任务共需多少天 解析 方法一 400 200 2 倍 4 2 8 天 4 8 12 天 方法二 单一数 200 4 50 棵 总共的天数是 400 200 50 12 天 例例 5 一只小蜗牛一只小蜗牛 6 分钟爬行分钟爬行 12 分米 照这样的速度 分米 照这样的速度 30 分钟爬行多少分米 分钟爬行多少分米 解析 本题属于正归一 有两种解题思想 方法一 归一思想 为了求出蜗牛 30 分钟爬多少分米 必须先求出 1 分钟爬多少分米 单一数 照这样的速度 说明小蜗牛每分钟爬行的速度是相等的 然后以这个数目为依据按要求算出结果 小蜗牛每分钟爬行 12 6 2 分米 30 分钟爬 2 30 60 分米 方法二 倍比思想 仔细观察题目中所给的条件 已知 30 分钟正好是 6 分钟的 5 倍 爬行的距 离也应是 12 的 5 倍 即 12 5 60 分米 例例 6 先根据条件提出问题 使它成为一步计算的应用题 再口头列式解答 先根据条件提出问题 使它成为一步计算的应用题 再口头列式解答 1 1孙悟空孙悟空 3 3 天吃了天吃了 4545 个桃子 个桃子 2 2学学买学学买 2 2 支钢笔花了支钢笔花了 1818 元 元 解析 建议老师可以先让学生提出问题使它成为一步计算的应用题 解析 建议老师可以先让学生提出问题使它成为一步计算的应用题 每天吃多少个每天吃多少个 每只钢笔多少元每只钢笔多少元 再让学生提出问题使它成为两步计算的应用题如 再让学生提出问题使它成为两步计算的应用题如 7 7 天吃多少个桃子天吃多少个桃子 54 54 元可以买多少只钢笔 元可以买多少只钢笔 例例 7 一个工人在森林中锯木头 他用一个工人在森林中锯木头 他用 8 分钟把一根树干锯成了分钟把一根树干锯成了 3 段 那么把树干锯成段 那么把树干锯成 8 段需要多长段需要多长 时间 时间 解析 前面我们已经学过植树问题 把一根木头据成 3 段 实际上只需要据 3 1 2 下 所以据一下 需要 8 2 4 分钟 现在要把树干据成 8 段 也就是要据 8 1 7 下 需要时间为 4 7 28 分钟 巩固巩固 一个工人在森林中锯木头 他用一个工人在森林中锯木头 他用 12 分钟把一根树干锯成了分钟把一根树干锯成了 4 段 如果保持工作速度不变 要把段 如果保持工作速度不变 要把 每段木头再锯成两段 还需要多少分钟 每段木头再锯成两段 还需要多少分钟 解析 4 1 3 下 12 3 4 分钟 要求把每段木头再据成两段 也就是还需要再据 4 下 则还需 要 4 4 16 分钟 巩固巩固 一个工人在森林中锯木头 他用一个工人在森林中锯木头 他用 40 分钟把一根树干锯成了分钟把一根树干锯成了 5 段 如果保持工作速度不变 要把段 如果保持工作速度不变 要把 每段木头再锯成两段 还需要多少分钟 每段木头再锯成两段 还需要多少分钟 解析 5 1 4 下 40 4 10 分钟 再据 5 下 10 5 50 分钟 例例 8 一个工人要磨面粉一个工人要磨面粉 200 千克 千克 3 小时磨了小时磨了 60 千克 照这样计算 磨完剩下的面粉还要几小时 千克 照这样计算 磨完剩下的面粉还要几小时 解析 方法一 通过 3 小时磨 60 千克 可以求出 1 小时磨粉数量 问题求磨完剩下的需几小时 所以 剩下的量除以 1 小时磨的数量 得到问题所求 200 60 60 3 7 小时 方法二 通过 3 小时磨 60 千克 可以求出 1 小时磨粉数量 磨完 200 千克面粉需要的时间为 200 60 3 10 小时 那么磨剩下的面粉需要时间即为 10 3 7 小时 例例 9 3 名工人名工人 5 小时加工零件小时加工零件 90 个 要在个 要在 10 小时完成小时完成 540 个零件的加工 需要工人多少名 个零件的加工 需要工人多少名 解析 方法一 3 名工人 5 小时加工零件 90 个 就是说每人每小时加工 90 3 5 6 个 那么 1 个人 10 小时可以加工 6 10 60 个 540 个零件在 10 小时完就需要 540 60 9 人 方法二 3 名工人 5 小时加工零件 90 个 假设在时间相同的情况下 3 名工人 10 小时加工零件 180 个 要完成 540 个零件用倍比思想 540 个零件是 180 的 3 倍 时间相同 完成的零件数量是 3 倍 那么工人也是 3 倍关系 3 3 9 人 巩固巩固 3 名工人名工人 5 小时加工零件小时加工零件 90 个 个 10 名工人名工人 10 小时加工零件多少个 小时加工零件多少个 解析 90 3 5 6 个 那么一个人 10 小时可以加工 6 10 60 个 10 名工人 10 小时加工零 件 60 10 600 个 巩固巩固 某车间用某车间用 4 台车床台车床 5 小时生产零件小时生产零件 600 个 照这样算 增加个 照这样算 增加 3 台同样的车床后 台同样的车床后 1 8 小时可小时可 以生产多少个零件 以生产多少个零件 2 如果要生产 如果要生产 6300 个零件几小时可完成 个零件几小时可完成 解析 此题要求的两个问题都需要知道 1 台 1 小时生产的零件数 因条件中有小时和台数两个量 需用 两次归一 即先求出 4 台 1 小时生产多少 再求 1 台 1 小时生产多少 600 5 4 4 3 8 30 7 8 1680 个 6300 600 5 4 4 3 6300 30 7 30 小时 答 8 小时可以生产 1680 个零件 如果生产 6300 个零件需 30 个小时可以完成 例例 10 7 辆辆 黄河牌黄河牌 卡车卡车 6 趟运走趟运走 336 吨沙土 现有沙土吨沙土 现有沙土 560 吨 要求吨 要求 5 趟运完 求需要增加同样趟运完 求需要增加同样 的卡车多少辆 的卡车多少辆 解析 首先应知道一辆卡车一次能运多少吨沙土 336 6 7 56 7 8 吨 560 吨沙土 5 趟运完 每趟必须运走 560 5 112 吨 需要增加同样的卡车 112 8 7 7 辆 巩固巩固 4 辆大卡车运沙土 辆大卡车运沙土 7 趟共运走沙土趟共运走沙土 336 吨 现有沙土吨 现有沙土 420 吨 增加了吨 增加了 3 辆相同的卡车 问 几辆相同的卡车 问 几 趟可以运完 趟可以运完 解析 1 辆卡车 1 趟运沙土 336 4 7 12 吨 现在有 4 3 7 辆 卡车 需要 420 7 12 5 趟 例例 11 孙悟空组织小猴子摘桃子 开始时 孙悟空组织小猴子摘桃子 开始时 16 只小猴子只小猴子 2 小时摘桃子小时摘桃子 640 个 照这样计算 孙悟空要个 照这样计算 孙悟空要 求它们在求它们在 3 小时内继续摘桃子小时内继续摘桃子 1200 个 那么需要增加多少只小猴子一起来摘桃子呢 个 那么需要增加多少只小猴子一起来摘桃子呢 解析 先求出 1 小时共摘桃的个数即 1200 3 400 个 再根据每只猴子每小时摘的个数即 640 16 2 20 个 求需要小猴子的数量即 400 20 20 只 最后求出增加 20 16 4 只 例例 12 用一个杯子盛满水向一个空罐里倒水 如果倒进用一个杯子盛满水向一个空罐里倒水 如果倒进 2 杯水 连罐共重杯水 连罐共重 6 千克 如果倒进千克 如果倒进 5 杯水 杯水 连罐共重连罐共重 9 千克 这个空罐重多少千克 千克 这个空罐重多少千克 解析 根据倒进 2 杯水 连罐共重 6 千克 如果倒进 5 杯水 连罐共重 9 千克 可知重量由 6 千克增加 到 9 千克是因为多倒进了 5 2 杯水 因此可求出 1 杯水重量 最后再减去水的重量即空罐的 重量 1每杯水的重量 9 6 5 2 1 千克 空罐的重量 6 1 2 4 千克 或 9 1 5 4 千克 例例 13 10 辆小车和辆小车和 3 辆卡车一次运货辆卡车一次运货 32 吨 吨 15 辆小车和辆小车和 3 辆卡车一次运货辆卡车一次运货 42 吨 每辆卡车和每辆吨 每辆卡车和每辆 小车每次各运货多少吨小车每次各运货多少吨 解析 摘录条件 解析 摘录条件 10 10 辆小车 辆小车 3 3 辆卡车 辆卡车 3232 吨 吨 15 15 辆小车 辆小车 3 3 辆卡车 辆卡车 4242 吨 比较条件 看看什么吨 比较条件 看看什么 量变了 什么量没变 两个变化量之间的关系是什么 从对应量的变化可以看出 量变了 什么量没变 两个变化量之间的关系是什么 从对应量的变化可以看出 42 42 32 32 吨吨 正好与正好与 15 15 10 10 辆小车的载重量相对应 因此每辆小车每次可运货 辆小车的载重量相对应 因此每辆小车每次可运货 42 42 32 1532 15 10 10 2 2 吨吨 那么每辆卡车每次可运货 那么每辆卡车每次可运货 4 4 吨 其实这就是二元一次方程的思路 吨 其实这就是二元一次方程的思路 巩固巩固 30 辆小车和辆小车和 3 辆卡车一次运货辆卡车一次运货 75 吨 吨 45 辆小车和辆小车和 6 辆卡车一次运货辆卡车一次运货 120 吨吨 每辆卡车和每辆每辆卡车和每辆 小车每次各运货多少吨 小车每次各运货多少吨 解析 摘录条件 30 辆小车 3 辆卡车 75 吨 45 辆小车 6 辆卡车 120 吨 比较条件 转 化为 60 辆小车 6 辆卡车 150 吨 45 辆小车 6 辆卡车 120 吨 从对应量的变化可以看 出 150 120 吨正好与 60 45 辆小车的载重量相对应 因此每辆小车每次可以运货 150 120 60 45 2 吨 那么每辆卡车每次可以运货 75 30 2 3 5 吨 巩固巩固 阿呆去商店买了阿呆去商店买了 2 2 个笔袋 个笔袋 3 3 支圆珠笔 用去支圆珠笔 用去 2525 元 小新去商店买了元 小新去商店买了 1 1 个笔袋 个笔袋 2 2 支圆珠笔 支圆珠笔 用去用去 1414 元 那么买元 那么买 1 1 个笔袋 个笔袋 1 1 支圆珠笔 分别需要多少元 支圆珠笔 分别需要多少元 解析 摘录条件 2 个笔袋 3 支圆珠笔 25 元 1 个笔袋 2 支圆珠笔 14 元 由 知道 2 个笔 袋 4 支圆珠笔 28 元 由 与 可知 1 支圆珠笔 3 元 那么再由 可知 1 个笔袋 8 元 巩固巩固 有有 A B C 三种货物 甲购三种货物 甲购 A 物物 3 件 件 B 物物 5 件 件 C 物物 1 件付款件付款 20 元 乙购元 乙购 A 物物 4 件 件 B 物物 7 件 件 C 物物 1 件付款件付款 25 元 丙购元 丙购 A B C 三种货物各三种货物各 1 件 应付多少元 件 应付多少元 解析 摘录条件 3A 5B 1C 20 4A 7B 1C 25 由 可得 1A 2B 5 式 2 可得 2A 4B 10 由 可得 1A 1B 1C 10 元 例例 14 王奶奶家养了王奶奶家养了 5 头奶牛 头奶牛 7 天产牛奶天产牛奶 630 千克 照这样计算 千克 照这样计算 8 头奶牛头奶牛 15 天可生产牛奶多少千天可生产牛奶多少千 克 克 解析 以 1 头奶牛 1 天产的牛奶为单一量 630 5 7 18 千克 8 头奶牛 1 天生产牛奶 18 8 144 千克 8 头奶牛 15 天产奶 144 15 2160 千克 巩固巩固 王奶奶家养了王奶奶家养了 5 头奶牛 头奶牛 7 天产牛奶天产牛奶 630 千克 照这样计算 千克 照这样计算 8 头奶牛头奶牛 12 天可生产牛奶多少千天可生产牛奶多少千 克 克 解析 同上 630 5 7 18 千克 18 8 144 千克 144 12 1728 千克 例例 15 花果山上桃树多 花果山上桃树多 5 只小猴分只小猴分 200 棵棵 现有小猴现有小猴 60 只 按刚才的分法分后还余只 按刚才的分法分后还余 90 棵 请算出桃棵 请算出桃 树有几棵 树有几棵 解析 每只小猴子分 200 5 40 棵 现在一共分 410 60 2400 棵 一共有桃树 2400 90 2490 棵 例例 16 学校买来一些足球和篮球学校买来一些足球和篮球 已知买已知买 3 个足球和个足球和 5 个篮球共花了个篮球共花了 281 元 买元 买 3 个足球和个足球和 7 个篮球个篮球 共花了共花了 355 元元 现在要买现在要买 5 个足球 个足球 4 个篮球共花多少元 个篮球共花多少元 解析 要求 5 个足球和 4 个篮球共花多少元 关键在于先求出每个足球和每个篮球各多少元 根据已知 条件分析出第一次和第二次买的足球个数相等 而篮球相差 7 5 2 个 总价差 355 281 74 元 74 元正好是两个篮球的价钱 从而可以求出一个篮球的价钱 一个足球的 价钱也可以随之求出了 列式为 一个篮球的价钱 355 281 7 5 37 元 一 个足球的价钱 281 37 5 3 32 元 一共花多少元 32 5 37 4 308 元 巩固巩固 妈妈买了妈妈买了 2 斤苹果 斤苹果 4 斤菠萝 花去斤菠萝 花去 14 元 爸爸买了元 爸爸买了 3 斤苹果 斤苹果 2 斤菠萝 花去斤菠萝 花去 13 元 那么元 那么 1 斤苹果 斤苹果 1 斤菠萝各多少钱 斤菠萝各多少钱 解析 1 斤苹果 3 元 1 斤菠萝 2 元 巩固巩固 2 2 个篮球的价钱可以买个篮球的价钱可以买 6 6 个排球 个排球 6 6 个足球的价钱可以买个足球的价钱可以买 3 3 个篮球 买排球 足球 网球各一个个篮球 买排球 足球 网球各一个 的价钱可以买的价钱可以买 1 1 个篮球 那么 买个篮球 那么 买 1 1 个篮球的价格可以买多少个网球 个篮球的价格可以买多少个网球 解析 6 个篮球的钱可以买排球 足球 网球各 6 个 即可买 5 2 3 个篮球及 6 个网球 因此买 1 个篮球的价格可以买 6 个网球 例例 17 一列火车从甲地开往乙地 开出一列火车从甲地开往乙地 开出 2 5 小时 行了小时 行了 150 千米 照这样的速度 再行驶千米 照这样的速度 再行驶 3 小时到达小时到达 乙地 甲 乙两地相距多少千米 乙地 甲 乙两地相距多少千米 解析 火车每小时行多少千米 150 2 5 60 千米 火车共行了多少小时 2 5 3 5 5 小时 甲乙两地相距多少千米 60 5 5 330 千米 板块二 归总问题 例例 18 8 8 个人个人 1010 天修路天修路 840840 米米 照这样算照这样算 20 20 人修人修 42004200 米米 要要 天天 解析 综合算式 4200 840 10 8 20 20 天 巩固巩固 5 5 个人个人 2 2 小时植树小时植树 2020 棵 棵 6 6 个人个人 3 3 小时植树多少棵小时植树多少棵 解析 20 5 2 6 3 2 6 3 36 棵 例例 19 一辆汽车从甲地开往乙地 每小时行一辆汽车从甲地开往乙地 每小时行 60 千米 千米 5 小时到达 若要小时到达 若要 4 小时到达 则每小时需要多小时到达 则每小时需要多 行多少千米 行多少千米 解析 甲地到乙地是多少千米 60 5 300 千米 4 小时到达每小时需行多少千米 300 4 75 千米 每小时多行多少千米 75 60 15 千米 巩固巩固 学校买学校买 4 套课桌椅 共用去套课桌椅 共用去 480 元 如果买同样的课桌椅元 如果买同样的课桌椅 7 套 共需多少钱 如果有套 共需多少钱 如果有 3000 元 元 可以买进这样的课桌椅多少套 可以买进这样的课桌椅多少套 解析 480 4 120 个 120 7 840 个 3000 120 25 套 例例 20 一项工程 一项工程 8 个人工作个人工作小时可以完成 如果小时可以完成 如果 12 个人工作 多少小时可以完成 个人工作 多少小时可以完成 15 解析 工程总量相当于 1 个工人工作多少小时 15 8 120 小时 12 个人完成这项工作需多少小 时 120 12 10 小时 巩固巩固 5 个人挖个人挖 3 米长的沟需要用米长的沟需要用 3 个小时 那么用个小时 那么用 50 个小时挖个小时挖 50 米的沟需要多少名工人 米的沟需要多少名工人 解析 因为 5 个人挖 3 米长的沟需要用 3 小时 那么 5 个人用 1 小时就可以挖 1 米的长沟 所以 5 个人 用 50 个小时也就挖 50 米的长沟 巩固巩固 王师傅王师傅 2 小时加工了小时加工了 62 个零件 照这样计算 他每天工作个零件 照这样计算 他每天工作 8 小时可以加工多少个零件 如果要小时可以加工多少个零件 如果要 加工加工 372 个零件 需要几小时 个零件 需要几小时 解析 1 小时加工零件 62 2 31 个 8 小时可以加工零件 31 8 248 个 加工 372 个零件需 要时间 372 31 12 小时 例例 21 有有 20 人修筑一条公路 计划人修筑一条公路 计划 15 天完成 动工天完成 动工 3 天后抽出天后抽出 5 人植树 留下的人继续修路 如果人植树 留下的人继续修路 如果 每个人的工作效率不变 那么修完这段公路实际用多少天 每个人的工作效率不变 那么修完这段公路实际用多少天 解析 这条公路的总工作量有 20 15 300 人次 动工 3 天后抽出 5 人 20 人修 3 天完成了 20 3 60 人次 那么剩下 300 60 240 人次 这些剩下的工作给 15 个人做 每人就还需要工作 240 15 16 天 这样 实际工作就有 3 16 19 天 巩固巩固 修一条公路 原计划修一条公路 原计划 60 人工作 人工作 80 天完成 现在工作天完成 现在工作 20 天后 又增加了天后 又增加了 30 人 这样剩下的人 这样剩下的 工作再用多少天可以完成 工作再用多少天可以完成 解析 修完这条公路共需要 60 80 4800 个 劳动日 60 人工作 20 天 还剩下 4800 60 20 3600 个 劳动日 剩下的工作又增加了 30 人 共 90 人需要再用 3600 60 30 40 天 例例 22 学校买来一批粉笔 原计划学校买来一批粉笔 原计划 18 个班可用个班可用 60 天 实际用天 实际用 45 天后 有天后 有 3 个班外出了 剩下的粉个班外出了 剩下的粉 笔够用多少天 笔够用多少天 解析 剩下的粉笔 18 个班可用 60 45 15 天 现在有 18 3 15 个 班 可用的天数为 18 15 15 18 天 巩固巩固 某厂运来一批煤 计划每天用某厂运来一批煤 计划每天用 5 吨 吨 40 天用完 如果改进锅炉 每天节约天用完 如果改进锅炉 每天节约 1 吨 这批煤可以用吨 这批煤可以用 多少天 多少天 解析 求出煤的总吨数 5 40 200 吨 改进后每天用煤量 5 1 4 吨 天数为 200 4 50 天 例例 23 某工程队预计某工程队预计 30 天修完一条水渠 先由天修完一条水渠 先由 18 人修了人修了 12 天后完成工程的一半 如果要提前天后完成工程的一半 如果要提前 9 天天 完成 还要增加多少人 完成 还要增加多少人 解析 18 12 216 个 劳动日 故总工作量为 216 2 432 个劳动日 还剩 216 个劳动日 现需 30 12 9 9 天完成 故需 216 9 24 人 所以还需补 24 18 6 人 例例 24 小红生病住院了 为了祝她早日康复 三小红生病住院了 为了祝她早日康复 三 一一 班和三班和三 二二 班一起为她叠千纸鹤 两个班的同学班一起为她叠千纸鹤 两个班的同学 3 天一共叠了天一共叠了 2400 只千纸鹤 现在两个班级的同学同时开始叠 在相同的时间内 三只千纸鹤 现在两个班级的同学同时开始叠 在相同的时间内 三 一一 班叠班叠 了了 2430 只千纸鹤 三只千纸鹤 三 二二 班叠了班叠了 2370 只千纸鹤 那么三只千纸鹤 那么三 一一 班和三班和三 二二 班每天各叠多少只千班每天各叠多少只千 纸鹤 纸鹤 解析 求两班每天共叠 2400 3 800 只 相同时间 是 2430 2370 800 6 天 三 班每天叠 2430 6 405 只 三 班每天叠 2370 6 395 只 例例 25 甲 乙 丙三人在外出时买了甲 乙 丙三人在外出时买了 8 个面包 平均分给三个人吃 甲没有带钱 乙付了个面包 平均分给三个人吃 甲没有带钱 乙付了 5 个面包的个面包的 钱 丙付了钱 丙付了 3 个面包的钱 后来 甲带来了他应付的四元八角钱 请问 应还给乙 丙各多少个面包的钱 后来 甲带来了他应付的四元八角钱 请问 应还给乙 丙各多少 钱 钱 解析 8 个面包的总价是 48 3 144 角 面包的单价是 144 8 18 角 乙应收回 18 5 48 42 角 4 元 2 角 丙应收回 18 3 48 6 角 例例 26 某车间需要加工某车间需要加工 3960 个零件 个零件 3 个工人个工人 10 小时加工了小时加工了 1320 个 其余的要求在个 其余的要求在 15 小时内完成 小时内完成 需要增加多少个工人 需要增加多少个工人 解析 每个工人每小时加工 1320 3 10 44 个 现在剩下 3960 1320 2640 个 零件 15 小 时内完成需要工人 2640 44 15 4 个 即需增加 1 个工人 巩固巩固 5 台拖拉机台拖拉机 24 天耕地天耕地 12000 公亩 要公亩 要 18 天耕完天耕完 54000 公亩土地 需要增加同样拖拉机多少台 公亩土地 需要增加同样拖拉机多少台 解析 1 台拖拉机 1 天耕地 12000 24 5 100 公亩 18 天耕完 54000 公亩地需要拖拉机 54000 18 100 30 台 需要增加 30 5 25 台 拖拉机 巩固巩固 家具厂生产一批桌椅 原计划每天生产家具厂生产一批桌椅 原计划每天生产 30 套 套 12 天完成 实际只用原来时间的一半就完成了天完成 实际只用原来时间的一半就完成了 任务 那么实际每天比计划多生产多少套 任务 那么实际每天比计划多生产多少套 解析 这批桌椅一共有 30 12 360 套 实际上用了 12 2 6 天 实际每天生产 360 6 60 套 实际每天比计划多生产 60 30 30 套 例例 27 某工厂一个车间 原计划某工厂一个车间 原计划 2020 人人 4 4 天做天做 12801280 个零件 刚要开始生产 又增加了新任务 在工作个零件 刚要开始生产 又增加了新任务 在工作 效率相同的情况下 需要效率相同的情况下 需要 1515 个人个人 7 7 天才能全部完成 问增加了多少个零件 天才能全部完成 问增加了多少个零件 解析 先求出每人每天生产的零件数 1280 20 4 16 个 15 人 7 天生产的零件数 16 15 7 1680 个 增加的零件数 1680 1280 400 个 巩固巩固 光华机械厂一个车间 原计划光华机械厂一个车间 原计划 15 人人 3 天做天做 900 个零件 生产开始后 又增加一批任务 在工作个零件 生产开始后 又增加一批任务 在工作 效率相同下 要效率相同下 要 10 个人个人 8 天完成 问增加了几个零件天完成 问增加了几个零件 解析 先求出每人每天做的个数 900 15 3 20 个 再求出共做的个数 20 10 8 1600 个 2最后求出增加的个数 1600 900 700 个 巩固巩固 8 个工人个工人 3 小时制作机器零件小时制作机器零件 360 个 如果人数缩小了个 如果人数缩小了 2 倍 时间增加了倍 时间增加了 5 小时 可制作机器小时 可制作机器 零件多少个 零件多少个 解析 此题中人数缩小了 2 倍指现在的人数是 8 2 4 人 时间增加了 5 小时指现在的时间是 3 5 8 小时 360 8 3 8 2 3 5 15 4 8 480 个 例例 28 甲 乙两个打字员甲 乙两个打字员 4 小时共打字小时共打字 3600 个 现在二人同时工作 在相同时间内 甲打字个 现在二人同时工作 在相同时间内 甲打字 2450 个 个 乙打字乙打字 2050 个 求甲 乙二人每小时各打字多少个 个 求甲 乙二人每小时各打字多少个 解析 甲乙二人每小时共打字 3600 4 900 个 相同时间 是 2450 2050 900 5 小 时 甲打字员每小时打字的个数 2450 5 490 个 乙打字员每小时打字的个数 2050 5 410 个 例例 29 某运输公司用某运输公司用 6 辆汽车运水泥 每天可运辆汽车运水泥 每天可运 96 吨 根据运输情况 现在增加吨 根据运输情况 现在增加 4 辆同样的汽车 辆同样的汽车 每天一共运水泥多少吨 每天一共运水泥多少吨 解析 增加 4 辆同样的汽车 每天一共运水泥多少吨 应是增加的汽车运输量与增加前的运输量的和 即 10 辆汽车的运输量 96 6 6 4 16 10 160 吨 例例 30 姐妹二人在同一环境中学习 妹妹勤学 学一知三 姐姐懒惰 学三忘二 请你算算妹妹在姐妹二人在同一环境中学习 妹妹勤学 学一知三 姐姐懒惰 学三忘二 请你算算妹妹在 6 年间所学懂的知识 姐姐需要多少年才能学懂 年间所学懂的知识 姐姐需要多少年才能学懂 解析 已知妹妹学一知三 她用 6 年所学懂的知识由学一知一的人来学 需要 6 3 18 年 姐姐学 三忘二 也就是学三知一 学一知一的人一年所学懂的知识姐姐来学 需要 1 3 3 年 所以学一知 一的人 18 年所学懂的知识姐姐来学需要 18 3 54 年 也就是妹妹 6 年学懂的知识 姐姐需要 54 年 才能学懂 巩固巩固 光明小学有光明小学有 50 个学生帮学校搬砖 要搬个学生帮学校搬砖 要搬 2000 块 块 4 次搬了一半 照这样算 再增加次搬了一半 照这样算 再增加 50 个学生 个学生 还要几次运完 还要几次运完 解析 解析 先求出每个学生每次运的砖数 先求出每个学生每次运的砖数 2000 2000 4 50 4 50 5 5 块块 再求出现在的学生一次运的砖数 再求出现在的学生一次运的砖数 50 50 50 550 5 500 500 块块 最后求出还要运的次数 2000 500 2 次 简便方法 4 50 50 50 2 次 人教六年级奥数 第十四讲 归一问题和归总问题 教学目标教学目标 本讲主要学习归一及归总问题 通过本节课的学习 学生应了解归一及归总问题的类型 以及解决 归一及归总问题的一般方法 掌握归一及归总问题的基本关系式 并会将这种方法应用到一些实际问题 中 知识点拨知识点拨 知识点说明 知识点说明 一 归一问题一 归一问题 归一问题是用等分除法求出一个单位的数值 单一量 之后 再求出题目所要求解的问题 解答归一 问题的方法叫做归一法 归一问题可以分为两种 一种是求总量的 求出一个单位量之后 然后利用乘法求出结果 这种问 题叫做正归一问题 也称正归一 如 一辆汽车 3 小时行 150 千米 照这样 7 小时行驶多少千米 解 决此类问题的关键是先求出单位数量 再求几个单位数量是多少 另一种是求份数的 求出一个单位量 后 再用包含除法求出所求的结果 这类问题叫做反归一问题 也称反归一 如 修路队 6 小时修路 180 千米 照这样 修路 240 千米需几小时 解决此类问题的关键是先求出单位数量 再求一共包含多少 个单位数量 正 反归一问题的相同点是 一般情况下第一步先求出单一量 不同点在第二步 正归一问题是求 几个单一量是多少 反归一是求包含多少个单一量 解答归一问题的关键是求出单位量的数值 再根据题 中 照这样计算 用同样的速度 等句子的 含义 抓准题中数量的对应关系 列出算式 求得问题的解决 有的问题一次归一不能解决 需要两次 归一或与倍比相结合才能解决 归一问题的基本关系式 总工作量每份的工作量 单一量 份数 正归一 份数总工作量每份的工作量 单一量 反归一 每份的工作量 单一量 总工作量份数 二 归总问题二 归总问题 与归一问题类似的是归总问题 归一问题是找出 单一量 而归总问题是找出 总量 再根据其 它条件求出结果 所谓 总量 是指总路程 总产量 工作总量 物品的总价等 例题精讲例题精讲 板块一 归一问题 例例 31 某人步行 某人步行 3 3 小时行小时行 1515 千米 千米 7 7 小时行多少千米 小时行多少千米 巩固巩固 一艘轮船一艘轮船 4 4 小时航行小时航行 108108 千米 照这样的速度 继续航行千米 照这样的速度 继续航行 270270 千米 共需多少小时 千米 共需多少小时 例例 32 小红骑车小红骑车 3 3 分钟行分钟行 600600 米 照这样的速度她从家到学校行了米 照这样的速度她从家到学校行了 1010 分钟 小红家到学校有多少米 分钟 小红家到学校有多少米 例例 33 一个打字员一个打字员 1515 分钟打了分钟打了 18001800 个字 照这样的速度 个字 照这样的速度 1 1 小时能打多少个字 小时能打多少个字 巩固巩固 2 台机器台机器 20 分钟造纸分钟造纸 80 吨 照这样计算 吨 照这样计算 1 台机器台机器 1 小时造纸多少吨 小时造纸多少吨 例例 34 绿化队绿化队 3 天种树天种树 210 棵 还要种棵 还要种 420 棵 照这样的工作效率 完成任务共需多少天 棵 照这样的工作效率 完成任务共需多少天 巩固巩固 绿化队绿化队 天种树天种树 200 棵 还要种棵 还要种 400 棵 照这样的工作效率 完成任务共需多少天 棵 照这样的工作效率 完成任务共需多少天 3 巩固巩固 绿化队绿化队 4 天种树天种树 200 棵 还要种棵 还要种 400 棵 照这样的工作效率 完成任务共需多少天 棵 照这样的工作效率 完成任务共需多少天 例例 35 一只小蜗牛一只小蜗牛 6 分钟爬行分钟爬行 12 分米 照这样的速度 分米 照这样的速度 30 分钟爬行多少分米 分钟爬行多少分米 例例 36 先根据条件提出问题 使它成为一步计算的应用题 再口头列式解答 先根据条件提出问题 使它成为一步计算的应用题 再口头列式解答 1 1孙悟空孙悟空 3 3 天吃了天吃了 4545 个桃子 个桃子 2 2学学买学学买 2 2 支钢笔花了支钢笔花了 1818 元 元 例例 37 一个工人在森林中锯木头 他用一个工人在森林中锯木头 他用 8 分钟把一根树干锯成了分钟把一根树干锯成了 3 段 那么把树干锯成段 那么把树干锯成 8 段需要多长段需要多长 时间 时间 巩固巩固 一个工人在森林中锯木头 他用一个工人在森林中锯木头 他用 12 分钟把一根树干锯成了分钟把一根树干锯成了 4 段 如果保持工作速度不变 要把段 如果保持工作速度不变 要把 每段木头再锯成两段 还需要多少分钟 每段木头再锯成两段 还需要多少分钟 巩固巩固 一个工人在森林中锯木头 他用一个工人在森林中锯木头 他用 40 分钟把一根树干锯成了分钟把一根树干锯成了 5 段 如果保持工作速度不变 要把段 如果保持工作速度不变 要把 每段木头再锯成两段 还需要多少分钟 每段木头再锯成两段 还需要多少分钟 例例 38 一个工人要磨面粉一个工人要磨面粉 200 千克 千克 3 小时磨了小时磨了 60 千克 照这样计算 磨完剩下的面粉还要几小时 千克 照这样计算 磨完剩下的面粉还要几小时 例例 39 3 名工人名工人 5 小时加工零件小时加工零件 90 个 要在个 要在 10 小时完成小时完成 540 个零件的加工 需要工人多少名 个零件的加工 需要工人多少名 巩固巩固 3 名工人名工人 5 小时加工零件小时加工零件 90 个 个 10 名工人名工人 10 小时加工零件多少个 小时加工零件多少个 巩固巩固 某车间用某车间用 4 台车床台车床 5 小时生产零件小时生产零件 600 个 照这样算 增加个 照这样算 增加 3 台同样的车床后 台同样的车床后 1 8 小时可小时可 以生产多少个零件 以生产多少个零件 2 如果要生产 如果要生产 6300 个零件几小时可完成 个零件几小时可完成 例例 40 7 辆辆 黄河牌黄河牌 卡车卡车 6 趟运走趟运走 336 吨沙土 现有沙土吨沙土 现有沙土 560 吨 要求吨 要求 5 趟运完 求需要增加同样趟运完 求需要增加同样 的卡车多少辆 的卡车多少辆 巩固巩固 4 辆大卡车运沙土 辆大卡车运沙土 7 趟共运走沙土趟共运走沙土 336 吨 现有沙土吨 现有沙土 420 吨 增加了吨 增加了 3 辆相同的卡车 问 几辆相同的卡车 问 几 趟可以运完 趟可以运完 例例 41 孙悟空组织小猴子摘桃子 开始时 孙悟空组织小猴子摘桃子 开始时 16 只小猴子只小猴子 2 小时摘桃子小时摘桃子 640 个 照这样计算 孙悟空要个 照这样计算 孙悟空要 求它们在求它们在 3 小时内继续摘桃子小时内继续摘桃子 1200 个 那么需要增加多少只小猴子一起来摘桃子呢 个 那么需要增加多少只小猴子一起来摘桃子呢 例例 42 用一个杯子盛满水向一个空罐里倒水 如果倒进用一个杯子盛满水向一个空罐里倒水 如果倒进 2 杯水 连罐共重杯水 连罐共重 6 千克 如果倒进千克 如果倒进 5 杯水 杯水 连罐共重连罐共重 9 千克 这个空罐重多少千克 千克 这个空罐重多少千克 例例 43 10 辆小车和辆小车和 3 辆卡车一次运货辆卡车一次运货 32 吨 吨 15 辆小车和辆小车和 3 辆卡车一次运货辆卡车一次运货 42 吨 每辆卡车和每辆吨 每辆卡车和每辆 小车每次各运货多少吨小车每次各运货多少吨 巩固巩固 30 辆小车和辆小车和 3 辆卡车一次运货辆卡车一次运货 75 吨 吨 45 辆小车和辆小车和 6 辆卡车一次运货辆卡车一次运货 120 吨吨 每辆卡车和每辆每辆卡车和每辆 小车每次各运货多少吨 小车每次各运货多少吨 巩固巩固 阿呆去商店买了阿呆去商店买了 2 2 个笔袋 个笔袋 3 3 支圆珠笔 用去支圆珠笔 用去 2525 元 小新去商店买了元 小新去商店买了 1 1 个笔袋 个笔袋 2 2 支圆珠笔 支圆珠笔 用去用去 1414 元 那么买元 那么买 1 1 个笔袋 个笔袋 1 1 支圆珠笔 分别需要多少元 支圆珠笔 分别需要多少元 巩固巩固 有有 A B C 三种货物 甲购三种货物 甲购 A 物物 3 件 件 B 物物 5 件 件 C 物物 1 件付款件付款 20 元 乙购元 乙购 A 物物 4 件 件 B 物物 7 件 件 C 物物 1 件付款件付款 25 元 丙购元 丙购 A B C 三种货物各三种货物各 1 件 应付多少元 件 应付多少元 例例 44 王奶奶家养了王奶奶家养了 5 头奶牛 头奶牛 7 天产牛奶天产牛奶 630 千克 照这样计算 千克 照这样计算 8 头奶牛头奶牛 15 天可生产牛奶多少千天可生产牛奶多少千 克 克 巩固巩固 王奶奶家养了王奶奶家养了 5 头奶牛 头奶牛 7 天产牛奶天产牛奶 630 千克 照这样计算 千克 照这样计算 8 头奶牛头奶牛 12 天可生产牛奶多少千天可生产牛奶多少千 克 克 例例 45 花果山上桃树多 花果山上桃树多 5 只小猴分只小猴分 200 棵棵 现有小猴现有小猴 60 只 按刚才的分法分后还余只 按刚才的分法分后还余 90 棵 请算出桃棵 请算出桃 树有几棵 树有几棵 例例 46 学校买来一些足球和篮球学校买来一些足球和篮球 已知买已知买 3 个足球和个足球和 5 个篮球共花了个篮球共花了 281 元 买元 买 3 个足球和个足球和 7 个篮球个篮球 共花了共花了 355 元元 现在要买现在要买 5 个足球 个足球 4 个篮球共花多少元 个篮球共花多少元 巩固巩固 妈妈买了妈妈买了 2 斤苹果 斤苹果 4 斤菠萝 花去斤菠萝 花去 14 元 爸爸买了元 爸爸买了 3 斤苹果 斤苹果 2 斤菠萝 花去斤菠萝 花去 13 元 那么元 那么 1 斤苹果 斤苹果 1 斤菠萝各多少钱 斤菠萝各多少钱 巩固巩固 2 2 个篮球的价钱可以买个篮球的价钱可以买 6 6 个排球 个排球 6 6 个足球的价钱可以买个足球的价钱可以买 3 3 个篮球 买排球 足球 网球各一个个篮球 买排球 足球 网球各一个 的价钱可以买的价钱可以买 1 1 个篮球 那么 买个篮球 那么 买 1 1 个篮球的价格可以买多少个网球 个篮球的价格可以买多少个网球 例例 47 一列火车从甲地开往乙地 开出一列火车从甲地开往乙地 开出 2 5 小时 行了小时 行了 150 千米 照这样的速度 再行驶千米 照这样的速度 再行驶 3 小时到达小时到达 乙地 甲 乙两地相距多少千米 乙地 甲 乙两地相距多少千米 板块二 归总问题 例例 48 8 8 个人个人 1010 天修路天修路 840840 米米 照这样算照这样算 20 20 人修人修 42004200 米米 要要 天天 巩固巩固 5 5 个人个人 2 2 小时植树小时植树 2020 棵 棵 6 6 个人个人 3 3 小时植树多少棵小时植树多少棵 例例 49 一辆汽车从甲地开往乙地 每小时行一辆汽车从甲地开往乙地 每小时行 60 千米 千米 5 小时到达 若要小时到达 若要 4 小时到达 则每小时需要多小时到达 则每小时需要多 行多少千米 行多少千米 巩固巩固 学校买学校买 4 套课桌椅 共用去套课桌椅 共用去 480 元 如果买同样的课桌椅元 如果买同样的课桌椅 7 套 共需多少钱 如果有套 共需多少钱 如果有 3000 元 元 可以买进这样的课桌椅多少套 可以买进这样的课桌椅多少套 例例 50 一项工程 一项工程 8 个人工作个人工作小时可以完成 如果小时可以完成 如果 12 个人工作 多少小时可以完成 个人工作 多少小时可以完成 15 巩固巩固 5 个人挖个人挖 3 米长的沟需要用米长的沟需要用 3 个小时 那么用个小时 那么用 50 个小时挖个小时挖 50 米的沟需要多少名工人 米的沟需要多少名工