盈亏问题简介

1 盈亏问题简介盈亏问题简介 一般解法 一般解法 盈数 盈数 亏数 亏数 两次每份分配之差两次每份分配之差 份数 份数 大盈 大盈 小盈 小盈 两次分配之差两次分配之差 份数 份数 大亏 大亏 小亏 小亏 两次分配之差两次分配之差 份数 份数 一盈一平或一亏一平一盈一平或一亏一平 盈数或亏数盈数或亏数 两次分配的差两次分配的差 份数 份数 再求总数量 再求总数量 每次分的数量每次分的数量 份数份数 盈盈 总数量总数量 每次分的数量每次分的数量 份数份数 亏亏 总数量 总数量 物品数可由其中一种分法的份数和盈亏数求出 有些则不物品数可由其中一种分法的份数和盈亏数求出 有些则不 能用公式求出 需要用其他公式 能用公式求出 需要用其他公式 其它其它 高级高级 盈亏临界点盈亏临界点 交易所股票交易量的基数点 交易所股票交易量的基数点 超过这一点就会实现盈利 反之则亏损 超过这一点就会实现盈利 反之则亏损 盈亏临界点计算的基本模型盈亏临界点计算的基本模型 设以设以 P 代表利润 代表利润 V 代表销量 代表销量 SP 代表单价 代表单价 VC 代表单代表单 位变动成本 位变动成本 FC 代表固定成本 代表固定成本 BE 代表盈亏临界点 根代表盈亏临界点 根 据利润计算公式可求得盈亏临界点的基本模型为 据利润计算公式可求得盈亏临界点的基本模型为 盈亏临界点的计算 可以采用实物和金额两种计算形式 盈亏临界点的计算 可以采用实物和金额两种计算形式 1 按实物单位计算 按实物单位计算 其中 单位产其中 单位产 设某产品单位售价为设某产品单位售价为 10 元 单位变动成本元 单位变动成本 为为 6 元 相关固定成本为元 相关固定成本为 8 000 元 则盈亏临界点的销售量元 则盈亏临界点的销售量 实物单位实物单位 8 000 10 6 2 000 件 件 品贡献毛益 品贡献毛益 单位单位 2 产品销售收入 单位变动成本产品销售收入 单位变动成本 2 按金额综合计算 盈亏临界点的销售量 用金额表现 按金额综合计算 盈亏临界点的销售量 用金额表现 固定成本固定成本 贡献毛益率贡献毛益率 其中 贡献毛益率其中 贡献毛益率 贡献毛益贡献毛益 销售收入销售收入 2 数量关系中的盈亏问题数量关系中的盈亏问题 已知两个分配方案 一次分配有余 一次分配不足 求参已知两个分配方案 一次分配有余 一次分配不足 求参 加分配的人数及被分配的总量 这样的问题通常叫做盈亏加分配的人数及被分配的总量 这样的问题通常叫做盈亏 问题 问题 知识背景知识背景 盈亏的问题曾记载在我国古代数学名著盈亏的问题曾记载在我国古代数学名著 九章算术九章算术 中的第六章中的第六章 盈不足章盈不足章 中 盈 就是有余 亏 就中 盈 就是有余 亏 就 是不足的意思 是不足的意思 典型的盈亏问题一般以下列的形式表述 典型的盈亏问题一般以下列的形式表述 把若干个苹果把若干个苹果 未知数未知数 分给若干个人分给若干个人 未知数未知数 如果每人 如果每人 分分 2 个还多个还多 20 个 如果每人分个 如果每人分 3 个则少个则少 5 个 问总共有多个 问总共有多 少人 有多少个苹果 少人 有多少个苹果 题目中的不变量是人数和苹果数 比较两种不同的分配方题目中的不变量是人数和苹果数 比较两种不同的分配方 法 可知苹果相差 法 可知苹果相差 20 5 25 个个 相差 相差 25 个苹果 亳无疑问是由于每人相个苹果 亳无疑问是由于每人相 差苹果差苹果 3 2 1 个个 而做成的 而做成的 3 事实上 只有唯一一种情况才会导至上述情形 那就是有事实上 只有唯一一种情况才会导至上述情形 那就是有 25 人分苹果 人分苹果 求得人数后 进而可以根据题意 用两种方法求得苹果的求得人数后 进而可以根据题意 用两种方法求得苹果的 数目 数目 2 25 20 70 个个 或或 3 25 5 70 个个 解盈亏问题的公式解盈亏问题的公式 一盈一亏的解法一盈一亏的解法 盈数盈数 亏数亏数 两次每人分配数的差两次每人分配数的差 双盈的解法双盈的解法 大盈大盈 小盈小盈 两次每人分配数的差两次每人分配数的差 双亏的解法双亏的解法 大亏大亏 小亏小亏 两次每人分配数的差两次每人分配数的差 重点难点重点难点 有些应用题 从表面看起来似乎不是盈亏问题 但认真分有些应用题 从表面看起来似乎不是盈亏问题 但认真分 析 将条件适当地转化后 竟然可变成盈亏问题进行解答 析 将条件适当地转化后 竟然可变成盈亏问题进行解答 学法指导学法指导 由解盈亏问题的公式可以看出 求解此类问题的关键是小由解盈亏问题的公式可以看出 求解此类问题的关键是小 心确定两次分配数量的差和盈亏的总额 如果两次分配是心确定两次分配数量的差和盈亏的总额 如果两次分配是 4 一次是有余 另一次是不足时 则依上面的公式先求得人一次是有余 另一次是不足时 则依上面的公式先求得人 数数 不是物数不是物数 再求出物数 如果两次分配都是有余 则公 再求出物数 如果两次分配都是有余 则公 式变成盈额差除以两次分配数之差 如果两次分配都是不式变成盈额差除以两次分配数之差 如果两次分配都是不 足时 则公式变成亏额差除以两次分配数之差 如果足时 则公式变成亏额差除以两次分配数之差 如果 有时候 必须转化题目中条件 才能从复杂的数量关系中有时候 必须转化题目中条件 才能从复杂的数量关系中 寻找解答 有时候 直接从寻找解答 有时候 直接从 包含包含 入手比较困难 可以入手比较困难 可以 间接从其反面间接从其反面 不包含不包含 去想就会比较容易去想就会比较容易 1 一天 聪聪幼儿园的老师给大班小朋友分苹果 如果每一天 聪聪幼儿园的老师给大班小朋友分苹果 如果每 人分人分 4 个 则多个 则多 10 个 如果每人分个 如果每人分 5 个 则少个 则少 8 个 你知个 你知 道这个班有多少个小朋友 他们分多少个苹果吗 道这个班有多少个小朋友 他们分多少个苹果吗 2 用一根绳子测量井的深度 如果把绳子用一根绳子测量井的深度 如果把绳子 3 折 井外多折 井外多 2 米 如果把绳子米 如果把绳子 4 折 还差折 还差 1 米不到井口 井深多少米 米不到井口 井深多少米 绳子长多少米 绳子长多少米 4 市二实验小学组织学生参加科技展 如果每车坐市二实验小学组织学生参加科技展 如果每车坐 75 人 人 则有则有 5 人不能乘车 如果每车多坐人不能乘车 如果每车多坐 5 分 恰多余了一辆车 分 恰多余了一辆车 这次参观一共有几辆汽车 有多少位学生 这次参观一共有几辆汽车 有多少位学生 3 学校进行大扫除 分配学生擦玻璃 其中两人各擦学校进行大扫除 分配学生擦玻璃 其中两人各擦 4 块 块 其余各擦其余各擦 5 块 则余块 则余 12 块 若每人擦块 若每人擦 6 块 则正好擦完 块 则正好擦完 5 你能帮助劳动委员算一算擦多少块玻璃 擦玻璃需要多少你能帮助劳动委员算一算擦多少块玻璃 擦玻璃需要多少 人吗 人吗 10 6 5 6 10 6 60 块块 4 亮亮每天早晨亮亮每天早晨 7 时准时从家出发去上学 如果每分钟走时准时从家出发去上学 如果每分钟走 60 米 上课就要迟到米 上课就要迟到 3 分钟 如果每分钟走分钟 如果每分钟走 70 米 就可以米 就可以 提前提前 2 分钟到校 亮亮家离校多少米 分钟到校 亮亮家离校多少米 x 60 3 x 70 2 x 60 x 70 5 x 2100 5 雷锋小组为学校搬砖 如果每人搬雷锋小组为学校搬砖 如果每人搬 18 块 还剩块 还剩 2 块 如块 如 果每人搬果每人搬 20 块 就有一位同学没砖可搬 共有多少块砖 块 就有一位同学没砖可搬 共有多少块砖 20 2 1 11 人人 11 18 2 200 块块 6 安排学生宿舍 如果每间安排学生宿舍 如果每间 5 人 则有人 则有 14 人没有床位 如人没有床位 如 果每间果每间 7 人 则多人 则多 4 个床位 该校有宿舍多少间 学生多个床位 该校有宿舍多少间 学生多 少人 少人 14 4 18 7 5 2 18 2 9 9 5 14 59 人人 6 7 一辆汽车从甲地到乙地 若以每小时一辆汽车从甲地到乙地 若以每小时 10 千米的速度 则千米的速度 则 提前提前 2 小时到达 若以每小时小时到达 若以每小时 8 千米的速度 则迟到千米的速度 则迟到 3 小小 时 甲地和乙地相距多少千米 时 甲地和乙地相距多少千米 10 2 8 3 10 8 22 小时小时 22 2 10 200 千米千米 7 阿姨给幼儿园小朋友分一堆糖 若每人分阿姨给幼儿园小朋友分一堆糖 若每人分 10 块 则多块 则多 8 块 块 若每人分 若每人分 12 块 则刚好有一个小朋友没分到糖 要块 则刚好有一个小朋友没分到糖 要 想使每个小朋友都分到想使每个小朋友都分到 11 块糖 还需要增加几块 块糖 还需要增加几块 8 课间活动跳绳比赛 其中课间活动跳绳比赛 其中 2 组各借绳组各借绳 4 根 其余的组借根 其余的组借 5 根 这样分配最后余下根 这样分配最后余下 12 根 如果每组借根 如果每组借 7 根 这样恰根 这样恰 好借完 一共有绳多少根 好借完 一共有绳多少根 12 5 4 2 6 5 10 组组 6 10 60 根根 9 有红白球若干个 若每次拿出有红白球若干个 若每次拿出 1 个红球和个红球和 1 个白球 拿个白球 拿 到没有红球时 还剩下到没有红球时 还剩下 50 个白球 若每次拿走个白球 若每次拿走 1 个红球和个红球和 3 个白球 则拿到没有白球时 红球还剩下个白球 则拿到没有白球时 红球还剩下 50 个 那么这个 那么这 堆红球和白球各有多少个 堆红球和白球各有多少个 X X 100 3 100 X 100 7 答案分享到 答案分享到 1 设这个班有 设这个班有 X 个小朋友 个小朋友 2 设井深设井深 x 米 米 4 设有设有 x 辆车 辆车 7 设有 设有 x 个小朋友 个小朋友 4x 10 5x 8 3x 2x3 4x 4 75x 5 80 x 1 10 x 8 12x x 1 x 18 x 10 米 米 x 17 辆 辆 x 10 4x18 10 82 4x10 4 36 米 米 80 x16 1280 位 位 10 x11 10 x10 8 2 块块 8 1 同学去划船 如果每只船坐 同学去划船 如果每只船坐 4 人 则少人 则少 3 只船 如果每只船 如果每 只船坐只船坐 6 人 则少人 则少 2 人 问同学们共多少人 租了几只船 人 问同学们共多少人 租了几只船 每船坐每船坐 4 人 则多人 则多 12 人人 每船坐每船坐 6 人 则少人 则少 2 人人 船数 船数 12 2 6 4 7 只只 人数 人数 4 10 40 人人 2 用绳子测井深 把绳子二折来量 井外余 用绳子测井深 把绳子二折来量 井外余 5 米 把绳子米 把绳子 三折来量 还差三折来量 还差 1 米 求井深和绳子长 米 求井深和绳子长 绳长 绳长 5 1 1 2 1 3 36 米米 井深 井深 36 2 5 13 米米 3 苹果的个数是梨的 苹果的个数是梨的 2 倍 梨每人分倍 梨每人分 3 个 余个 余 2 个 苹果个 苹果 每人分每人分 7 个 少个 少 6 个 问多少人 多少苹果和多少个梨 个 问多少人 多少苹果和多少个梨 梨每人分梨每人分 3 个 余个 余 2 个个 苹果每人分苹果每人分 6 个 余个 余 4 个个 苹果每人分苹果每人分 7 个 少个 少 6 个个 人人 数 数 6 4 7 6 10 人人 9 苹果数 苹果数 10 7 6 64 个个 梨子数 梨子数 10 3 2 32 个个 4 几个同学买了一些练习本 如果 几个同学买了一些练习本 如果 4 个同学 各分个同学 各分 6 本 本 其余的同学分其余的同学分 3 本 恰好分完 如果每人分本 恰好分完 如果每人分 5 本 那么有本 那么有 一个人只得到一个人只得到 3 本 问一共有几个同学 买了多少本练习本 问一共有几个同学 买了多少本练习 本 本 每人每人 3 本 余本 余 12 本本 每人每人 5 本 少本 少 2 本本 人数 人数 12 2 5 3 7 人人 本数 本数 7 3 12 33 本本 5 张勇从家到县城去上学 他以每分钟 张勇从家到县城去上学 他以每分钟 50 米的速度走了米的速度走了 2 分钟 发现按这个速度走下去就要迟到分钟 发现按这个速度走下去就要迟到 8 分钟 于是他立分钟 于是他立 即加快了速度 每分钟多走即加快了速度 每分钟多走 10 米 结果到学校时 离上课米 结果到学校时 离上课 还有还有 5 分钟 张勇到学校的路程是多少 分钟 张勇到学校的路程是多少 时间 时间 50 8 60 5 10 70 分钟分钟 路程 路程 60 65 50 2 4000 米米 或者 或者 路程路程 8 5 1 50 1 60 50 2 4000 米米 10 6 有一批正方形的砖 排成一个大正方形 余下 有一批正方形的砖 排成一个大正方形 余下 32 块 块 如果将它排成每边比原来多一块的正方形 就要差如果将它排成每边比原来多一块的正方形 就要差 49 块 块 这批砖原来有多少块 这批砖原来有多少块 32 49 81 81 1 2 40 40 2 32 1632 7 一个商贩估计 假如 一个商贩估计 假如 1 千克苹果卖千克苹果卖 2 4 元 他就得赔元 他就得赔 4 元 假如一千克苹果卖元 假如一千克苹果卖 3 元 就可以赚元 就可以赚 8 元 现在想快些元 现在想快些 出手 以不赔不赚的价格出卖 问每千克苹果应卖多少元 出手 以不赔不赚的价格出卖 问每千克苹果应卖多少元 卖卖 2 4 元 赔元 赔 4 元元 卖卖 3 元 赚元 赚 8 元元 重量 重量 4 8 3 2 4 20 千克千克 成本 成本 2 4 4 20 2 6 元元 8 把若干块糖给一些小朋友 如果每个小朋友得 把若干块糖给一些小朋友 如果每个小朋友得 3 块 则块 则 余下余下 8 块 如果每个小朋友分得块 如果每个小朋友分得 5 块 那么最后一个小朋块 那么最后一个小朋 友的不到友的不到 5 块 问小朋友至少有几个 块 问小朋友至少有几个 每个小朋友分每个小朋友分 3 块 则余下块 则余下 8 块块 11 每个小朋友分每个小朋友分 5 块 则少块 则少 1 至至 4 块块 5 3 2 为偶数 因此每个小朋友分为偶数 因此每个小朋友分 5 块的时候 最后一个最块的时候 最后一个最 少拿少拿 2 块块 则人数至少有 则人数至少有 8 2 5 3 5 人人 9 幼儿园有梨数是桃子数的 幼儿园有梨数是桃子数的 2 倍 分给幼儿园小朋友 每倍 分给幼儿园小朋友 每 人分桃人分桃 5 个 最后余下个 最后余下 15 个 每人份梨个 每人份梨 14 个 则梨数最个 则梨数最 后不足后不足 30 个 求幼儿园里有桃 梨各多少 个 求幼儿园里有桃 梨各多少 桃子每人分桃子每人分 5 个 余下个 余下 15 个个 梨子每人分梨子每人分 10 个 余下个 余下 30 个个 梨子每人分梨子每人分 14 个 还少个 还少 30 个个 人数 人数 30 30 14 10 15 人人 梨子数 梨子数 15 10 30 180 个个 桃子数 桃子数 15 5 15 90 个个 10 农民锄草 其中 农民锄草 其中 5 人各锄人各锄 4 亩 余下的各锄亩 余下的各锄 3 亩 亩 这这 样分配最后余下样分配最后余下 26 亩亩 如果其中如果其中 3 人每人各锄人每人各锄 3 亩亩 余下的余下的 人各锄人各锄 5 亩亩 最后余下最后余下 3 亩亩 求草地面积和锄草人数各是多少求草地面积和锄草人数各是多少 每人锄每人锄 3 亩 则余亩 则余 31 亩亩 每人锄每人锄 5 亩 则少亩 则少 3 亩亩 12 人数 人数 31 3 5 3 17 人人 亩数 亩数 17 3 31 82 亩亩 老猴子给小猴子分梨 每只小猴子分老猴子给小猴子分梨 每只小猴子分 6 个梨 就多出个梨 就多出 12 个个 梨 每只小猴子分梨 每只小猴子分 7 个梨 就少个梨 就少 11 个梨 有几只小猴子和个梨 有几只小猴子和 多少个梨 多少个梨 这道应用题是已知两种分配的方法 一次分配有余 一次这道应用题是已知两种分配的方法 一次分配有余 一次 分配不足 求参加分配的数量及被分配的总量 这样的应分配不足 求参加分配的数量及被分配的总量 这样的应 用题 通常叫做盈亏问题 有余时称盈 不足时称亏 用题 通常叫做盈亏问题 有余时称盈 不足时称亏 解盈亏问题 常常采用比较的方法 解盈亏问题 常常采用比较的方法 典型例题典型例题 例例 1 老猴子给小猴子分梨 每只小猴子分老猴子给小猴子分梨 每只小猴子分 6 个梨 就个梨 就 多出多出 12 个梨 每只小猴子分个梨 每只小猴子分 7 个梨 就少个梨 就少 11 个梨 有几个梨 有几 只小猴子和多少个梨 只小猴子和多少个梨 分析分析 每只小猴子分每只小猴子分 6 个梨则多个梨则多 12 个梨 每个梨 每 只小猴子分只小猴子分 7 个梨就少个梨就少 11 个梨 这说明小猴子的总只数为 个梨 这说明小猴子的总只数为 12 11 23 只 只 也就是说 不足的个数 多余的个数 也就是说 不足的个数 多余的个数 小猴子的只数小猴子的只数 解解 小猴子的只数为 小猴子的只数为 12 11 23 只 只 梨子的个数为 梨子的个数为 23 6 12 150 个 或 个 或 23 7 11 150 个 个 答 有答 有 23 只小猴子 只小猴子 150 个梨 个梨 13 例例 2 丽丽阿姨给幼儿园小朋友分苹果 如果每人分丽丽阿姨给幼儿园小朋友分苹果 如果每人分 3 个 多个 多 16 个 如果每人分个 如果每人分 5 个 那么就差个 那么就差 4 个 有多少个个 有多少个 小朋友 有多少个苹果 小朋友 有多少个苹果 分析分析 先比较两种分法中各个量之间的关系 每人分先比较两种分法中各个量之间的关系 每人分 3 个 余个 余 16 个苹果 每人分个苹果 每人分 5 个 还差个 还差 4 个苹果 这两次个苹果 这两次 分苹果 每人相差的个数为 分苹果 每人相差的个数为 5 3 2 个 个 第 第 1 次余次余 16 个 第个 第 2 次少次少 4 个 那么第个 那么第 2 次与第次与第 1 次总共相差苹果的次总共相差苹果的 个数为 个数为 4 16 20 个 个 每人相差 每人相差 2 个 结果总数就相个 结果总数就相 差差 20 个 个 解解 有小朋友的人数为 有小朋友的人数为 20 2 10 人 人 有苹果的个数为 有苹果的个数为 3 10 16 46 个 或 个 或 5 10 4 46 个 个 综合算式 综合算式 4 16 5 3 10 人 人 3 10 16 46 个 个 答 这个幼儿园有答 这个幼儿园有 10 位小朋友 苹果的总数是位小朋友 苹果的总数是 46 个 个 例例 3 北京东路小学学生乘汽车到中山陵去春游 北京东路小学学生乘汽车到中山陵去春游 如果没车坐如果没车坐 65 人 则有人 则有 15 人不能乘车 如果每车多坐人不能乘车 如果每车多坐 5 人 恰好多余了一辆车 一共有几辆汽车 有多少学生 人 恰好多余了一辆车 一共有几辆汽车 有多少学生 分析分析 每车多坐每车多坐 5 人 也就是每车坐人 也就是每车坐 70 人 人 14 恰好多余了一辆车 也就是还差一辆车的人 即恰好多余了一辆车 也就是还差一辆车的人 即 70 人 因人 因 此 问题转化为 如果每车坐此 问题转化为 如果每车坐 65 人 则有人 则有 15 人不能乘车 人不能乘车 如果每车坐如果每车坐 70 人 则还差人 则还差 70 人 求有多少人和多少辆汽人 求有多少人和多少辆汽 车 车 解解 15 70 70 65 17 辆 辆 65 17 15 1120 人 人 答 一共有答 一共有 17 辆汽车 辆汽车 1120 位学生 位学生 例例 4 小明的爷爷买回一筐梨 分给全家人 如果小明的爷爷买回一筐梨 分给全家人 如果 小明和小妹每人分小明和小妹每人分 4 个梨 其余每人分个梨 其余每人分 2 个梨 还多出个梨 还多出 4 个梨 如果小明个梨 如果小明 1 人分人分 6 个梨 其余每人分个梨 其余每人分 4 个梨 又差个梨 又差 12 个梨 小明家有多少人 这筐梨子有多少个 个梨 小明家有多少人 这筐梨子有多少个 分析 分析 第一种分法是小明 小妹各第一种分法是小明 小妹各 4 个梨 其余每个梨 其余每 人人 2 个梨 多余个梨 多余 4 个梨 假设小明 小妹也分个梨 假设小明 小妹也分 2 个梨 那个梨 那 么会多多少个梨呢 很容易想 多出 么会多多少个梨呢 很容易想 多出 2 2 4 8 各 各 第二种分法是小明一人得第二种分法是小明一人得 6 个梨 其余每人个梨 其余每人 4 个梨 差个梨 差 12 个梨 假设小明也只分个梨 假设小明也只分 4 个 那么就只差 个 那么就只差 12 2 10 个 个 解解 小明家的人数为 小明家的人数为 2 2 4 12 2 18 个 个 18 2 9 人 人 梨子的个数为 梨子的个数为 4 2 2 9 2 4 26 个 个 或 或 6 4 9 1 12 26 个 个 15 答 小明家有答 小明家有 9 个人 这筐梨有个人 这筐梨有 26 个 个 例例 5 同学们暑假前到图书馆借书 如果每人借同学们暑假前到图书馆借书 如果每人借 4 本 本 则最后少则最后少 2 本 如果前本 如果前 2 人每人先借人每人先借 8 本 余下的人每人本 余下的人每人 借借 3 本 这些图书恰好借完 书的总数是多少 本 这些图书恰好借完 书的总数是多少 解解 第二种借法中如果每人借第二种借法中如果每人借 3 本 则余下 本 则余下 8 3 2 10 本 本 两种借法每人相差 两种借法每人相差 4 3 1 本 本 两种借法相差本数 两种借法相差本数 10 2 12 本 本 借书的总人数 借书的总人数 12 1 12 人 人 书的总数 书的总数 4 12 2 46 本 本 小结 小结 通过以上例题的分析解答 我们不难看出 一通过以上例题的分析解答 我们不难看出 一 般地 在盈亏问题中 般地 在盈亏问题中 盈数 亏数 盈数 亏数 两次差 参加分配的数两次差 参加分配的数 一框苹果分给幼儿园的小朋友 如果每人分一框苹果分给幼儿园的小朋友 如果每人分 5 个苹果 还个苹果 还 剩剩 32 个个 如果每人分如果每人分 8 个苹果 还有个苹果 还有 5 个小朋友分不到苹个小朋友分不到苹 果 这批苹果有多少个果 这批苹果有多少个 这批苹果有 这批苹果有 152 个 个 分析 本题是一道稍有变化的盈亏问题 已知条件分析 本题是一道稍有变化的盈亏问题 已知条件 如果每如果每 16 人分人分 8 个苹果 还有个苹果 还有 5 个小朋友分不到个小朋友分不到 可转化为可转化为 如果每如果每 人分人分 8 个 还差个 还差 8 5 40 个个 苹果 苹果 转化后的条件 每人转化后的条件 每人 5 个个 剩剩 32 个个 盈盈 每人每人 8 个个 差差 40 个个 亏亏 盈亏的总额是盈亏的总额是 32 40 个 每人两次分配的差是个 每人两次分配的差是 8 5 个 个 解答 解答 32 8 5 8 5 24 人人 小朋友的人数小朋友的人数 5 24 32 152 个个 苹果总数苹果总数 小结小结 1 盈亏问题的基本公式是 盈亏问题的基本公式是 盈亏总额盈亏总额 总差额总差额 每人两次分配数的差每人两次分配数的差 人数人数 2 盈亏总额盈亏总额 总差额总差额 在题目中往往没有直接给出 一般可按在题目中往往没有直接给出 一般可按 以下方法求出 以下方法求出 一盈一亏 盈亏总额一盈一亏 盈亏总额 盈数盈数 亏数亏数 两盈 盈亏总额两盈 盈亏总额 大盈数大盈数 小盈数小盈数 两亏 盈亏总额两亏 盈亏总额 大亏数大亏数 小亏数小亏数 1 一次有余 盈 一次有余 盈 一次不够 亏 一次不够 亏 可用公式 可用公式 盈 盈 亏 亏 两次每人分配数的差 两次每人分配数的差 人数 人数 例如 例如 小朋友分桃子 每人小朋友分桃子 每人 10 个少个少 9 个 每人个 每人 8 个多个多 7 个 问 个 问 有多少个小朋友和多少个桃子 有多少个小朋友和多少个桃子 17 解 解 7 9 10 8 16 2 8 个 个 人数人数 10 8 9 80 9 71 个 个 桃子桃子 或或 8 8 7 64 7 71 个 个 答略 答略 2 两次都有余 盈 两次都有余 盈 可用公式 可用公式 大盈 大盈 小盈 小盈 两次每人分配数的差 两次每人分配数的差 人数 人数 例如 例如 士兵背子弹作行军训练 每人背士兵背子弹作行军训练 每人背 45 发 多发 多 680 发 若每人背发 若每人背 50 发 则还多发 则还多 200 发 问 有士兵多少人 发 问 有士兵多少人 有子弹多少发 有子弹多少发 解 解 680 200 50 45 480 5 96 人 人 45 96 680 5000 发 发 或或 50 96 200 5000 发 发 答略 答略 3 两次都不够 亏 两次都不够 亏 可用公式 可用公式 大亏 大亏 小亏 小亏 两次每人分配数的差 两次每人分配数的差 人数 人数 例如 例如 将一批本子发给学生 每人发将一批本子发给学生 每人发 10 本 差本 差 90 本 本 若每人发若每人发 8 本 则仍差本 则仍差 8 本 有多少学生和多少本本子 本 有多少学生和多少本本子 解 解 90 8 10 8 82 2 41 人 人 10 41 90 320 本 本 答略 答略 4 一次不够 亏 一次不够 亏 另一次刚好分完 可用公式 另一次刚好分完 可用公式 18 亏亏 两次每人分配数的差 两次每人分配数的差 人数 人数 例略 例略 5 一次有余 盈 一次有余 盈 另一次刚好分完 可用公式 另一次刚好分完 可用公式 盈盈 两次每人分配数的差 两次每人分配数的差 人数人数 有一类应用题 是已知两个分案 一次分配有余 有余有一类应用题 是已知两个分案 一次分配有余 有余 简称简称 盈盈 一次分配方案不足叫做 一次分配方案不足叫做 亏亏 求参加分配的 求参加分配的 人数及被分配的数量 这类解答分配过程中出现的剩余人数及被分配的数量 这类解答分配过程中出现的剩余 盈 或不足 亏 问题的应用题叫做盈亏问题 盈 或不足 亏 问题的应用题叫做盈亏问题 盈亏问盈亏问 题题 与与 鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题 一样 也是一类古老的数学问题一样 也是一类古老的数学问题 本 本讲讨论的问题是 在分配物品时 人数一定 在两本 本讲讨论的问题是 在分配物品时 人数一定 在两 次分配中 一次用余 一次不足 两次有余 两次不足这次分配中 一次用余 一次不足 两次有余 两次不足这 三种类型 由它们之间的关系求出物品数和人数 三种类型 由它们之间的关系求出物品数和人数 解决这类问题 常用比较或方程的方法 解决这类问题 常用比较或方程的方法 本讲重点学习 本讲重点学习 比较法 比较法 现在有现在有 15 只桃子 分给只桃子 分给 4 只小猴 按下面的方案分配 只小猴 按下面的方案分配 你想到了什么 你想到了什么 每只小猴分每只小猴分 1 只 还余只 还余 11 只 只 每只小猴分每只小猴分 2 只 还余只 还余 7 只 只 每只小猴分每只小猴分 3 只 还余只 还余 3 只 只 每只小猴分每只小猴分 4 只 还少只 还少 1 只 只 19 例例 1 老猴给小猴分桃 每只小猴分 老猴给小猴分桃 每只小猴分 2 只 就多出只 就多出 7 只 只 每只小猴分每只小猴分 4 只 就少只 就少 1 只 有几只小猴和多少只桃子 只 有几只小猴和多少只桃子 1 今有共买物 人出八 盈三 人出七 不足四 问人 今有共买物 人出八 盈三 人出七 不足四 问人 数 物价各几何 九章算术数 物价各几何 九章算术 盈不足盈不足 中第中第 1 题 题 2 希望小学将一笔奖学金分给获奖学生 若每人分 希望小学将一笔奖学金分给获奖学生 若每人分 11 元 则差元 则差 8 元 若每人分到元 若每人分到 16 元 差元 差 48 元 求学生人数元 求学生人数 和奖金金额 和奖金金额 3 红太阳艺术学校招收一批学生 若编成每 红太阳艺术学校招收一批学生 若编成每 55 一个班 一个班 则多出则多出 10 人 若编成每人 若编成每 50 个人一个班 则多出个人一个班 则多出 30 人 人 问 这次共招收了多少名学生 问 这次共招收了多少名学生 例例 2 解放路小学学生乘汽车去中山陵春游 如果每车坐解放路小学学生乘汽车去中山陵春游 如果每车坐 65 人 人 则有则有 15 人不能乘车 如果每车多坐人不能乘车 如果每车多坐 5 人 则有一辆车多余 人 则有一辆车多余 问 一共有多少辆汽车 有多少名