高中新课程作业本数学选修2-1参考答案.doc

答案与提示第一章常用逻辑用语11命题及其关系111命题112四种命题1.C2.C3.D4.若A不是B的子集，则ABB5.6.逆7.(1)若一个数为一个实数的平方，则这个数为非负数.真命题(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等.假命题8.原命题：在平面中，若两条直线平行，则这两条直线不相交.逆命题：在平面中，若两条直线不相交，则这两条直线平行.否命题：在平面中，若两条直线不平行，则这两条直线相交.逆否命题：在平面中，若两条直线相交，则这两条直线不平行.以上均为真命题9.若ab0，则a,b都不为零.真命题10.逆否命题：已知函数f(x)在R上为增函数，a,bR，若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，则a+b0,真命题.证明略11.甲113四种命题间的相互关系1.C2.D3.B4.0个、2个或4个5原命题和逆否命题6.若a+b是奇数，则a,b至少有一个是偶数;真7.逆命题：若a2=b2，则a=b.假命题.否命题：若ab，则a2b2.假命题.逆否命题：若a2b2，则ab.真命题8.用原命题与逆否命题的等价性来证.假设a,b,c都是奇数，则a2,b2,c2也都是奇数，又a2+b2=c2，则两个奇数之和为奇数，这显然不可能，所以假设不成立，即a,b,c不可能都是奇数9.否命题：若a2+b20，则a0或b0.真命题.逆否命题：若a0,或b0，则a2+b20.真命题10.真11.三个方程都没有实数根的情况为(4a)2-4(-4a+3)0,(a-1)2-4a20,4a2+8a0-32a-1.所以实数a的取值范围a-1,或a-3212充分条件与必要条件121充分条件与必要条件1.A2.B3.A4.(1)/(2)/(3)(4)/5.充分不必要6.必要不充分7.“cd”是“ef”的充分条件8.充分条件，理由略9.一元二次方程ax2+2x+1=0(a0)有一个正根和一个负根的充要条件为a010.m911.是122充要条件1.C2.B3.D4.假；真5.C和D6.+=17.略8.a=-39.a110.略11.q=-1,证明略1.3简单的逻辑联结词131且（and）132或(or)133非(not)1.A2.C3.C4.真5.6.必要不充分7.（1）p:20,即k-2,所以其充要条件为kb0)，则c2=a2-b2，F1(-c,0)，P-c,b1-c2a2，即P-c,b2a因为ABOP，所以kAB=kOP，即-ba=-b2ac，b=c，得e=22222椭圆的简单几何性质（二）1.D2.D3.A4.1205.356.x212+y29=17.x24+y23=18.x277832+y277212=1.提示：以为x轴，的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，则a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=6371+439=6810，a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+2384=8755,解得a=77825，c=9725,所以b=a2-c2=875568107721因此，卫星的轨道方程是x277832+y277212=19.-3-22.提示：设原点为O，则tanFBO=cb，tanABO=ab，又因为e=ca=22，所以a=2c，b=c，所以tanABF=cb+ab1-cab2=1+21-2=-3-2210.94.提示：设P(x，y)，先由12(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)12=12|F1F2|y|可求得y值，再确定点P的坐标11.6-3.提示:连结，设m，则|PQ|=m，|F1Q|=2m，由椭圆定义得a|PF1|+|PQ|+|F1Q|=4a，即(2+2)m=4a，m=(4-22)a又|PF2|=2a-m=(22-2)a，在RtPF1F2中，|PF1|2+|PF2|2=(2c)2，即(4-22)2a2+(22-2)2a2=4c2，c2a2=9-62=3(2-1)2，e=ca=6-3222椭圆的简单几何性质（三）1.B2.D3.C4.835.2556.-127.58.（1）-52m52（2）x-y+1=0，或x-y-1=09.y275+x225=110.3x+4y-7=0提示：设A(x1,y1)，B(x2,y2),则x214+y213=1，x224+y223=1，-得(x1-x2)(x1+x2)4+(y1-y2)(y1+y2)3=0，y1-y2x1-x2=-34x1+x2y1+y2又M为AB中点，x1+x2=2,y1+y2=2，直线l的斜率为-34，故直线l的方程为y-1=-34(x-1)，即3x+4y-7=011.(1)所求轨迹为直线4x+y=0在椭圆内的一条线段（不含端点）提示：设l交C于点A（x1,y1），B(x2,y2)，由y=x+m,4x2+y2=1,得5x2+2mx+m2-1=0，由0，得4m2-45(m2-1)0，得-52m|PA|,x=-6805,y=6805,即P(-6805,6805),故|PO|=68010232双曲线的简单几何性质（一）1.B2.A3.C4.x2-3y2=365.606.53或547.实轴长2a=4；虚轴长2b=23；焦点坐标(-7,0),(7,0)；顶点坐标(-2,0),(2,0)；离心率e=ca=72；渐近线方程为y=32x8.（1）x29-y216=1提示：设双曲线方程为y+43xy-43x=（2）F1PF2=90提示：设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1d2=32，又由双曲线的几何性质知|d1-d2|=2a=6，d21+d22-2d1d2=36,即有d21+d22=36+2d1d2=100.又|F1F2|=2c=10,|F1F2|2=100=d21+d22=|PF1|2+|PF2|2.PF1F2是直角三角形9.x2-y22=1或y2-x22=110.y=2x11.（1）e1=ca=a2+b2a,e2=cb=a2+b2b,1e21+1e22=a2a2+b2+b2a2+b2=1（2）22提示：e1+e2=a2+b21a+1b2ab21ab=22，当且仅当a=b时，(e1+e2)min=22232双曲线的简单几何性质（二）1.B2.C3.A4.465.466.（-12，0）7.轨迹方程为y24-x23=1，点M的轨迹是以原点为中心，焦点在y轴上,且实轴、虚轴长分别4，23的双曲线8.3x+4y-5=09.22提示：设与直线l：x-y-3=0平行的双曲线的切线方程为y=x+m，根据直线与双曲线相切的充要条件可得m2=16，m=4，由题意得m=-4，将y=x-4代入双曲线方程，得x=254，从而y=x-4=94，故切点坐标为254,94，即是所求的点，dmin=2210.-2k0，故0a0),则焦点F-p2,0，准线方程为x=p2，由抛物线定义得点M到准线的距离|MN|=3+p2=5,p=4,抛物线方程为y2=-8x；又M(-3,m)在抛物线上，m=26,或m=-2611.y2=8x242抛物线的简单几何性质（一）1.A2.C3.B4.y2=6x526.727.y2=16x8.x2=8y（第9题）9.能安全通过提示：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x2=-2py(p0)A(20,-6)在抛物线上，400=-2p(-6)，解得-2p=-2003x2=-2003y.又B(2,y0)在抛物线上，4=-2003y0y0=-350，|y0|0)，灯应安装在其焦点F处在x轴上取一点C，使OC=69，过点C作x轴的垂线，交抛物线于A,B两点，AB就是灯口的直径，即AB=197，所以点A坐标为69,1972，将点A坐标代入方程y2=2px，解得p703，它的焦点坐标约为F(35,0)，因此，灯泡应安装在距顶点约35mm处11.设P(x0,y0)(x00)，则y20=2x0，d=(x0-a)2+y20=(x0-a)2+2x0=x0+(1-a)2+2a-1a0,x00.当0a0，此时有x0=0时，dmin=a当a1时，1-a0，此时有x0=a-1时，dmin=2a-1242抛物线的简单几何性质（二）1.D2.C3.B4.8586.x2=2y7.y2=43913x8.b=2提示：联立方程组y=x+b,x2=2y,消去y，得x2-2x-2b=0设A(x1,y1)，B(x2,y2),由OAOB可得x1x2+y1y2=0，即x1x2+(x1+b)(x2+b)=0，也即2x1x2+b(x1+x2)+b2=0由韦达定理，得x1+x2=2，x1x2=-2b,代入解得b=2(舍去b=0)9.-34提示：当直线的斜率存在时，设lAB:y=kx-12，代入y2=2x,得ky2-2y-k=0，y1y2=-1,x1x2=y21y224=14，所以OAOB=x1x2+y1y2=-34；当直线AB的斜率不存在时，即lAB:x=12，也可得到OAOB=-341032.提示：假设当过点（，）的直线的斜率存在，设为k，则直线方程为y=k(x-4)，代入y2=4x,得k2x2-(8k2+4)x+16k2=0，x1+x2=8k2+4k2，y21+y22=4(x1+x2)=48k2+4k2=48+4k232.当过点P(4,0)的直线的斜率不存在时，直线方程为x=4，则x1=x2=4，y21+y22=4(x1+x2)=48=32;故所求的最小值为3211.设A(x1,y1),B(x2,y2)，当的斜率存在时，设方程为y=kx-p2，代入y2=2px，得y2-2pyk-p2=0，y1y2=-p2，x1x2=y212py222p=p24,又|AF|=x1+p2=m,|BF|=x2+p2=n,x1+x2=m+n-p.x1+p2x2+p2=x1x2+p2(x1+x2)+p24=mn，p24+p2(m+n-p)+p24=mn，p2(m+n)=mn，1m+1n=2p.当直线的斜率不存在时，m=n=p,上述结论也成立242抛物线的简单几何性质（三）1.A2.C3.C435.（2，3）6.7.y=14x+1,y=1,x=08.略9.（1）y2=x-2提示：设直线OA：y=kx，则OB:y=-1kx，由y2=2x,y=kx,得A2k2,2k；由y2=2x,y=-1kx,得B(2k2,-2k)，设AB的中点坐标为(x,y)，则x=1k2+k2，y=1k-k,消去k得所求的轨迹方程为y2=x-2（2）由（1）知，直线AB的方程为y+2k=k1-k2(x-2k2)，令y=0，得它与x轴的交点为(2,0)其坐标与k无关，故为定值10.略11.（1）y2=32x（2）yA=8,xA=2.F(8,0)为ABC的重心，xA+xB+xC3=8，yA+yB+yC3=0,即有xB+xC=22,yB+yC=-8.又y2B=32xB,y2C=32xC,故(yB+yC)(yB-yC)=32(xB-xC),所以yB-yCxB-xC=-4，即直线BC的斜率为-4单元练习1.C2.C3.B4.C5.B6.C7.B8.A9.B10.B11.212.8513.y=23x14.2315.点P的轨迹方程是x-y-2=0，点Q的轨迹方程是y=-216.（1）由a=3,c=2,得b=1,椭圆的标准方程为x23+y2=1（2）由y=x+m,x23+y2=1,解方程组并整理得4x2+6mx+3m2-3=0.由0,得-2m217.32或52提示：由ABCD,设AB为y=x+b(b4)，代入y2=x，得x2+(2b-1)x+b2=0，由=1-4b0,得b|F1F2|.故点M在以F1，F2为焦点的椭圆上，其中a=32,c=2,b=12.点M在椭圆x294+y214=1，即在4x2+36y2=9上（）由x2-y2=1,4x2+36y2=9,解得M324,24.又点M在抛物线y2=2px上，代入方程，得18=2p324，解得p=224，故所求的抛物线方程为y2=212x19.由y=-12x+2，x2a2+y2b2=1，消去y整理得(a2+4b2)x2-8a2x+16a2-4a2b2=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1+x2=8a2a2+4b2，x1x2=16a2-4a2b2a2+4b2.设AB的中点为M(xM，yM)，则xM=x1+x22=4a2a2+4b2，yM=-12xM+2=8b2a2+4b2.kOM=yMxM=12，2b2a2=12,即a2=4b2.从而x1+x2=8a2a2+4b2=4，x1x2=16a2-4a2b2a2+4b2=8-2b2.又|AB|=25，1+14(x1+x2)2-4x1x2=25，即5216-4(8-2b2)=25，解得b2=4.a2=4b2=16，故所求椭圆方程为x216+y24=120.(1)Q(5,-5)提示：解方程组y=12x,y=18x2-4,得x1=-4,y1=-2或x1=8,y1=4,即A(-4,-2),B(8,4),从而AB的中点为M(2,1).由kAB=12,得直线AB的垂直平分线方程y-1=-2(x-2).令y=-5,得x=5,Q(5,-5)(2)直线OQ的方程为x+y=0,设Px,18x2-4.点P到直线OQ的距离d=x+18x2-42=182|x2+8x-32|,|OQ|=52,SOPQ=12|OQ|d=516|x2+8x-32|.点为抛物线上位于线段下方的点,且点不在直线上,-4x43-4，或4-4x8.函数y=x2+8x-32在区间-4,8上单调递增,当x=8时,OPQ的面积取到最大值30第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算311空间向量及其加减运算1.D2.C3.C4.BB,CC,DD5.AD,CA6.7.(1)CA(2)AC（3）0（4）AB8.作向量OA=a，AB=b，OC=c，则CB就是所作的向量9.A1B=-a+b-c,AB1=-a+b+c10.AB.提示：先分别用AB,AD,AA表示AC，DB，再相加11.（1）AC.提示：利用MC=BN（2）AB312空间向量的数乘运算1.A2.A3.C4.5.256.7.（1）AB1（2）NA18.MN=-12a-12b+14c9.AM=12a+12b+12c10.EF=3a+3b-5c.提示：取BC的中点G，利用EF=EG+GF求解11.提示：（1）由AC=AD+mAB,EG=EH+mEF直接得出（2）EG=EH+mEF=OH-OE+m(OF-OE)=k(OD-OA)+mk(OB-OA)=kAD+mkAB=kAC313空间向量的数量积运算1.D2.C.提示：正确3.D4.-175.657.提示：ACBD=AC(BD+DD)=ACBD+ACDD=0812.利用PC=PA+AB+BC平方求解9.14.提示：将a+b=-c两边平方，得ab=32，再利用cosa，b=ab|a|b|求解10.120.提示：利用公式cosa,b=ab|a|b|求解112或2.提示：利用BD=BA+AC+CD两边平方及BA,CD=60或120314空间向量的正交分解及其坐标表示1.D2.A3.4.-j5.(-2,3,-5)6.M1(3，-6，9)，M2(-3，-6，9)，M3(3，6，-9)7.2，-5，-88.AE=-12DA+12DC+DD;AF=-12DA+DC+12DD9.提示：证明AD=2AB+3AC10.提示：假设a+b,a-b,c不构成空间的一个基底，则存在x,yR，使得c=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,知a,b,c共面，与题设矛盾11.DM=12a+12b-c；AQ=13a+13b+13c315空间向量运算的坐标表示1.C2.C3.D4.(1,4,-1);2355.(2，4，-4)或(-2，-4，4)6.1207.(1)(8，-1，1)(2)(5，0，-13)（3）-7（4）-158.（1）x=17（2）x=-529.，.提示：|AB|=(3cos-2cos)2+(3sin-2sin)2+(1-1)2=13-12cos(-)10.65.提示：cosa，b=ab|a|b|=-27，得sina，b=357，由S=|a|b|sina，b可得结果11.(1)证明BFDE=0(2).提示：分别以DA,DC,DD为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，利用坐标运算计算得出单元练习一1.C2.A3.C4.B5.A6.37.1538.x-49.21310.-112AB-13AC+34AD11.13512.17+6313.90.提示：(a+b)(a-b)=a2-b2=014.提示：设AB=b，AC=c，AD=d，则b2=d2，(b-c)2=(d-c)2，bc=dc，而BDAC=(d-b)c=dc-bc=0，BDAC15.156.提示：不妨设正方体的棱长为，分别以，为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，利用坐标运算计算得出32立体几何中的向量方法（一）1.B2.C3.D4.相交（但不垂直）5.互余6.相等或互补7.-27，37，67或27，-37，-67.提示：所求单位法向量为：AB|AB|8.-1或49.814.提示：由题意au，解得x=34，y=910.12,-1,1.提示：设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,1)，则由nAB=0且nAC=0，解得x=12,y=-111.垂直.提示：证明nAB=0且nAC=032立体几何中的向量方法（二）1.D2.B3.C4.3，25.23或36.VOBCDOA+VOCDAOB+VODABOC+VOABCOD=07.26.提示：利用CD=CA+AB+BD，平方及CAAB，ABBD，CABD求解8.x=13+6cosa.提示：利用AC=AB+AD+AA，再平方求解9.60.利用AC=AB+AD+AA，平方求解10.a2+b2.提示：利用CD=CA+AB+BD,平方及CA,BD=120求解11.63.提示：连结AC，AC2=(AB+BC)2=3，AC=3，又AAAC=AA(AB+BC)=cos60+cos60=1.cosAAC=AAAC|AA|AC|=13所求距离=|AA|sinAAC=6332立体几何中的向量方法（三）1.B2.D3.B4相等或互补5.306.9072.提示：CD=CA+AB+BD，ACl，BDl，A，Bl，CAAB=0，ABBD=0.又CA与BD成60的角，对上式两边平方得出结论8.459.60.提示：令C(-2，0)，D(3，0)，利用AB=AC+CD+DB两边平方，及ACCD，CDDB，CA，DB=求解10.155.提示：以D为原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.可求得平面BB1D的法向量为n=(1，-1，0)，设是BE与平面BB1D所成的角，则sin=|cosBE，n|=|BEn|BE|n|=105.cos=15511.22.提示：以A为原点，直线AD，AB，AS分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则依题意可知D12，0，0，C(1，1，0)，S(0，0，1)，可知AD=12，0，0=n1是面SAB的法向量.设平面SCD的法向量n2=(x，y，z).SD=12，0，-1，DC=12，1，0，n2SD=0，n2DC=0，可推出x2-z=0，x2+y=0，令x=2，则有y=-1，z=1，n2=(2，-1，1).设所求二面角的大小为，则cos=n1n2|n1|n2|=122+0(-1)+0112222+12+12=63，tan=2232立体几何中的向量方法（四）1.C2.D3.B4.33a5.246.27.4917178.33.提示：以B为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：B(0，0，0)，C(1，0，0)，D(1，1，0)，B1(0，0，1)，则BD=(1，1，0)，B1C=(1，0，-1)，BB1=(0，0，1)，设与BD，B1C都垂直的向量为n=(x，y，z)，则由BDn=0和B1Cn=0，令x=1，得n=(1，-1，1)，异面直线BD与B1C的距离d=|BB1n|n|=339.以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，M(0，0，a)，E(a，0，a)，F(0，a，a)，Pa2，0，a2，Qa2，a2，0.设n=(x，y，z)是平面EFB的法向量，则n平面EFB，nEF，nBE，又EF=(-a，a，0)，EB=(0，a，-a)，即有-ax+ay=0，ay-az=0x=y=z，取x=1，则n=(1，1，1)，PE=a2，0，a2，设所求距离为d，则d=|PEn|n|=33a10.33a（第11题）11.(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3).设F(0，0，z).AEC1F为平行四边形，AF=EC1，即(-2，0，z)=(-2，0，2)，z=2.F(0，0，2).BF=(-2，-4，2).于是|BF|=26，即BF的长为26(2)设n1为平面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1=(x，y，1).由n1AE=0，n1AF=0，得x=1，y=-14.又CC1=(0，0，3)，设CC1与n1的夹角为，则cos=CC1n1|CC1|n1|=43333.点C到平面AEC1F的距离为d=|CC1|cos=4331132立体几何中的向量方法（五）1.B2.D3.A4.-5.6.7.不变，恒为90.提示：以A为原点，AB，AC，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易证明PNAM恒为08.2.提示：设平面ABC的法向量为n，直线PN与平面ABC所成的角为，利用sinPN，n=|PNn|PN|n|求解9.155.提示：以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由已知先得出AD=233.易知平面AA1B的一个法向量m=(0,1,0)，设n=(x,y,z)是平面BDF的一个法向量，BD=-2,233,0，由nBF,nBDn，n-x+z=0,2x-233y=0x=z,3x=y.不妨设n=(1,3,1)，所以cosm,n=mn|m|n|=15510.255.提示：点A到平面BDF的距离，即AB在平面BDF的法向量n上的投影的长度，所以距离=|ABcosAB,n|=|ABn|n|=255，所以点A到平面BDF的距离为25511.(1)60.提示：以A为原点，AB，AC，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，设AC=AB=A1A=2，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，1，0)，A1(0，0，2)，G(0，2，1)，AE=(1，1，0)，A1C=(0，2，-2)，cosAE，A1C=AEA1C|AE|A1C|=12(2)66.提示：设平面AGE的法向量为n1=(x，y，z)，则AGn1=0，AEn1=0，令x=1，得n1=(1，-1，2)，又平面AGC的法向量为n2=(1，0，0)，cosn1，n2=n1n2|n1|n2|=66(3)66.提示：平面AGE的法向量为n1=(1，-1，2)，AC=(0，2，0)，sinAC，n1=|ACn1|AC|n1|=66单元练习二1.D2.C3.C4.A5.D6.C7.D8.A9.B10.A11.229,329,-42912.21513.54,7214.-4或x=115.216.17.43,43,8318.337,-157,-319.不共面20.以点C为坐标原点，以CA，CB分别为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，设EA=a，则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，E(2a，0，a)，D(0，2a，2a)，M(a，a，0).(1)EM=(-a，a，-a)，CM=(a，a，0)，EMCM=0，故EMCM(2)设向量n=(1，y0，z0)与平面CDE垂直，则nCE，nCD，即nCE=0，nCD=0.CE=(2a,0,a),CD=(0,2a,2a),y0=2,z0=-2,即n=(1，2，-2)，cosn，CM=CMn|CM|n|=22，则所求的角是4521.（1）略（2）24(3)217（第22题）22.（1）如图，建立空间直角坐标系Dxyz设A(a,0,0)，S(0,0,b),则B(a,a,0),C(0,a,0)，a,a2,0,F0,a2,b2,EF=-a,0,b2.取SD的中点G0,0,b2，则AG=-a,0,b2.EF=AG,EFAG,又AG平面，平面，EF平面SAD（2）33.提示：不妨设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,1,0),S(0,0,2),E1,12,0,F0,12,1,EF的中点M12,12,12，MD=-12,-12,-12,EF=(-1,0,1),MDEF=0,MDEF.又EA=0,-12,0,EAEF=0,EAEF.所以向量MD和EA的夹角等于二面角AEFD的平面角cosMD,EA=MDEA|MD|EA|=33，所以二面角AEFD平面角的余弦值为33综合练习（一）1.C2.A3.B4.C5.A6.B7.D8.C9.B10.B11.若a0或b0，则a2+b20(a,bR)12.4或-5413.-4k114.-8315.925.提示：以点为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y