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函数的基础知识一、函数的概念与解析式1函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某个对应关系，使对于集合A中的 （每一个元素），在集合B中都有 （惟一元素）和它对应，那么就称：为从A到B的一个 （函数），记作 。2对于函数，其中叫做自变量，的取值范围A叫做函数的 （定义域）；与的值相对应的值叫做 （函数值），函数值的集合叫做函数的 （值域）。3函数的三要素： 、 、 。定义域；对应法则；值域。4函数的三种表示： 、 、 。列表法、解析法和图象法；分段函数。5在函数的定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫 （分段函数）。6分段函数的定义域是各段定义域的 （并集），其值域是各段值域的 （并集）。7映射的概念：设A、B是两个非空数集，如果按照某个对应关系，使对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有 （惟一的元素）与之对应，那么，这样单值对应叫做从A到B的 （映射）记作 （：）。8由映射的定义可以看出，映射是 （对应）概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A、B必须是 （非空数集）。注意：（1）函数的解析式=对应法则+定义域；（2）不管用什么方法求解析式一定要注意的它的取值范围；（3）研究函数必须具有“定义域意识”即不论研究什么函数，首先要研究其定义域（解题亦如此）9求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法；（2）直接法（应用题）；（3）换元法与配方法；（4）利用函数的奇偶性。二、函数的定义域1求函数定义域一般有二种类型：（1）函数来自于一个实际问题，这时自变量有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑；（2）已知一个函数的解析式，求其定义域只要使解析式有意义即可。分式的 ；偶次方根的 ；对数的 ；指数函数和对数函数的 ；如果函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是各基本函数定义域的 。注:函数的定义域一定是非空集合,函数的值域也如此.2复合函数的定义域：（1）已知的定义域A，求函数的定义域，实际上是已知中间变量的取值范围，即，求自变量的取值范围；（2）已知函数的定义域B，求函数的定义域，实际上是已知中自变量的取值范围，求函数的值域。三、函数的值域：1关于函数值的计算： 2函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域，都应考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：（1）直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可直接由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域。（2）换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里是一次式时用代数换元，当根式里是二项式时，用三角换元。（3）反解法：通过反解，求。形为的函数值域可采用此法求得。（4）配方法：对于二次函数或与二次函数有关的函数的值域可考虑用配方法。（5）不等式法求值域：利用基本不等式可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”，有时需用到平方等技巧。（6）判别式法：把变形为关于的方程，利用“”求值域。其题型特征是解析式中含有根式或分式。其中是分式时分母恒不为零。（7）利用函数的单调性求值域：当能够确定函数在其定义域（或某个定义域的子集上）的单调性时可采用单调性法求值域。（8）数形结合法求函数值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域。四、函数的奇偶性与周期性：1奇偶性的定义：对于函数：（1）如果对于函数定义域内 ，都有 ，那么函数就叫做 ；（2）如果对于函数定义域内 ，都有 ， 那么函数就叫做 。2判断函数奇偶性的步骤： （1）确定函数的定义域，如果定义域不关于原点对称，则可下结论为非奇非偶函数；如果定义域关于原点对称； （2）看或是否成立而定。注：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件； （2）或是定义域上的恒等式； （3）奇偶性的定义是判断函数奇偶性的主要依据； （4）判断函数奇偶性的等价形式： ； 3奇偶函数的图象性质：奇函数的图象关于 成 对称图形；反之亦真；偶函数的图象关于 成 对称图形，反之亦真。4若函数为奇函数，且在处有定义，则 。5如果是偶函数，那么 。6既是奇函数又是偶函数的函数解析式为： 。7（1）若函数与均为奇函数，则为 函数，为 函数；（2）若函数与均为偶函数，则为 函数，为 函数；（3）若函数为奇函数，为偶函数，则为 函数，而函数的奇偶性则 。8周期性的定义：已知函数的定义域为D，若对于定义域内的 ，若 ，使得 成立，则称 为函数的 。9函数周期性的等价形式：（1）若函数满足，则函数是以 为一个周期的周期函数；（2）若函数满足，则函数是以 为一个周期的周期函数；（3）若函数满足，则函数是以 为一个周期的周期函数；（4）若函数满足，则函数是以 为一个周期的周期函数。五、函数的单调性1单调性的定义：一般地，对于给定区间上的函数：（1）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值，当 时，都有 ，那么，就说在这个区间上是 ；（2）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值，当 时，都有 ，那么，就说在这个区间上是 。2单调区间：如果函数在某个区间上是增函数（域减函），就说在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间就叫做的单调区间。3单调函数定义的两种等价形式：设，那么：（1） （0）在上是增函数； （0）在上是增函数； （0时为 ，时为 ； （注意：当定义域变化时，值域也发生相应的变化） 奇偶性：当 时，为 函数，当 时，为 函数； 单调性：时， 在上为 函数，在 上为 函数； 时，在 上为 函数，在 上为 函数； 特性：（1）对称轴方程为 ，（2）顶点为 3一元二次函数在给定区间上的值域（最值）：（1）时，当对称轴，时， ；当时， ；当时， 。当， ，当， 。（2）时，当对称轴，时， ；当时， ；当时， 。当， ，当， 。4一元二次方程的实根分布：（1）关于的一元二次方程。当 时，方程有 的实数根；当 时，方程有 的实数根；当 时，方程 实数根。（2）关于的一元二次方程。令，若 0，则方程必有 根在区间内。九、函数与方程：1函数零点的概念：对于函数，我们把 叫做函数的零点。2函数零点与方程根的关系：方程有实数根函数的图象与 有交点函数有 。3函数零点的判断：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 （，其中）。那么，函数在区间 （）内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。4二分法：对于在区间上连续不断，且（）的函数，通过不断地把函数的 （零点）所在区间 （一分为二），使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。5用二分法来求函数零点近似值的步骤：（1）确定区间，验证 ；（，给定精确度）（2）求区间的中点值（3）计算 ；（）若 ，（）则就是函数零点；若 ，（）则令，（此时零点若 ，（）则令，（此时零点）；（4）判断是否达到精确度即若，则得到零点近似值（或），否则重复（2）（4）。十、函数应用题：1常用的函数模型有： （一次函数），二次函数， （指数函数）， （对数函数），幂函数。2指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比较：一般地，在区间上，尽管函数，和都是增函数，但是它们的 （增长速度）不同，而且不在同一个“档次上”。随着的增大，增长速度