数值分析习题.doc

第一章 绪论习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。1 若误差限为,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）2 具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）3 已知，是经过四舍五入后得到的近似值，问，有几位有效数字？（有效数字的计算）4 设，的相对误差为，求的误差和相对误差？（误差的计算）5测得某圆柱体高度的值为，底面半径的值为，已知，求圆柱体体积的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）6 设的相对误差为,求的相对误差。（函数误差的计算）7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为，问度量半径时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）8 设，求证：（1）（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）第二章 插值法习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。1 已知，求的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）2 已知，用线性插值求的近似值。（拉格朗日线性插值）3 若为互异节点，且有试证明。（拉格朗日插值基函数的性质）4 已知，用抛物线插值计算的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值）5 用余弦函数在，三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多项式, 并近似计算及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗日二次插值）6 已知函数值，求函数的四阶均差和二阶均差。（均差的计算）7 设求之值，其中，而节点互异。（均差的计算）8 如下函数值表012419233建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造）9求一个次数小于等于三次多项式，满足如下插值条件：，。（插值多项式的构造）10 构造一个三次多项式，使它满足条件（埃尔米特插值）。11 设。(1)试求在上的三次埃尔米特插值多项式，使得，以升幂形式给出。(2)写出余项的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。12 若，试证明：（插值余项的应用）13 设求使；又设 ，则估计余项的大小。（插值误差的估计）第三章 函数逼近习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。1 设，求于上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）2 令，且设,求使得为于 上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）3证明：切比雪夫多项式序列在区间上带权正交。（正交多项式的证明）4求矛盾方程组：的最小二乘解。（最小二乘法）5 已知一组试验数据22.53455.544.5688.59试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)。（最小二乘线性逼近）6 用最小二乘原理求一个形如的经验公式,使与下列数据相拟合。19253138 441932.34973.397.8（最小二乘二次逼近）第四章 数值积分习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。1给定求积公式试确定使它的代数精度尽可能高。（代数精度的应用和计算）2 求积公式，试确定系数,及，使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。（代数精度的应用和计算）3数值积分公式，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式的代数精确度为多少？（插值型求积公式特征）4如果，证明用梯形公式计算积分所得到的结果比准确值大，并说明其几何意义。（梯形求积）5用的复化梯形公式计算积分，并估计误差。（复化梯形求积）6设,则用复化辛甫生公式计算，若有常数使 ，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。（复化辛甫生公式）7已知高斯求积公式 将区间0,1二等分，用复化高斯求积法求定积分的近似值。（高斯公式）8 试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？（代数精度的应用和计算，高斯点的特征）9设是0,1区间上带权的最高次幂项系数为1的正交多项式系（1）求。（2）构造如下的高斯型求积公式。（高斯求积）第五章 线性方程组的直接解法习题主要考察点：高斯消去法，LU分解法，平方根法和追赶法解线性方程组。1用高斯消去法解方程组。 （高斯消去法的应用）2用LU分解法求解线性方程组。（LU分解法的应用）3设，求A的LU分解。（LU分解法的应用）4试用“追赶法”解方程组，其中：，（追赶法的应用）5设，求（条件数的计算）6求证：，（范数的性质）7求证：。（范数的性质）8对矩阵，求，和。（范数，条件数的计算）9方程组，其中，是对称的且非奇异。设有误差，则原方程组变化为，其中为解的误差向量，试证明：，其中和分别为的按模最大和最小的特征值。（范数的性质，误差的分析）10证明：若为严格对角占优矩阵，则非奇异。（严格对角占优矩阵的性质）第六章 线性方程组的迭代解法习题主要考察点：雅可比、高斯-塞德尔迭代法解线性方程组，及其收敛性讨论。1证明：迭代格式收敛，其中。（迭代法收敛性判断）2若用雅可比迭代法求解方程组迭代收敛的充要条件是。（雅可比迭代法的收敛性）3 用雅可比、高斯-塞德尔迭代法，求解方程组是否收敛？为什么？若将方程组改变成为再用上述两种迭代法求解是否收敛？为什么？（雅可比、高斯-塞德尔迭代法的收敛性）4证明解线性方程组的雅可比迭代收敛，其中。（雅可比迭代收敛性判断）5已知方程组，其中，(1) 试讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解此方程组的收敛性。(2) 若有迭代公式，试确定的取值范围，使该迭代公式收敛。（雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法和一般迭代法的收敛性讨论）6给出矩阵，（为实数），试分别求出的取值范围：(1) 使得用雅可比迭代法解方程组时收敛；(2) 使得用高斯-塞德尔迭代法解方程组时收敛。（雅可比、高斯-塞德尔迭代法及收敛性讨论）7设，(1) 设是由雅可比迭代求解方程组所产生的迭代向量，且，试写出计算的精确表达式。(2) 设是的精确解，写出误差的精确表达式。(3) 如构造如下的迭代公式解方程组，试确定的范围，使迭代收敛。（雅可比迭代及其收敛判断）8对于给定的线性方程组（1）讨论雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性。（2）对收敛的方法，取初值，迭代两次，求出。（雅可比,高斯-塞德尔迭代法的计算和比较）9 证明对称矩阵当为正定矩阵，且只有当时，用雅可比迭代法求解方程组才收敛。（雅可比迭代法的收敛性）第七章 非线性方程求根习题主要考察点：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根，迭代法求根的收敛性和收敛速度的讨论。1用二分法求方程的正根，要求误差小于0.05。（二分法）2说明方程 在区间1，2内有惟一根，并选用适当的迭代法求（精确至3位有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。（迭代法）3设有解方程的迭代法 (1)证明均有（为方程的根）。(2)此迭代法的收敛阶是多少，证明你的结论。 (3) 取用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值。（和收敛性讨论）4设，试证明：由 ，得到的序列收敛于。（收敛性证明）5 设方程在0,1内的根为，若采用迭代公式，试证明：均有为方程的根)；此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。（迭代法和收敛性讨论）6 方程在附近有根，把方程写成3种不同的等价形式：(1) ，对应迭代格式：(2) ，对应迭代格式：(3) ，对应迭代格式：讨论这些迭代格式在时的收敛性。若迭代收敛，试估计其收敛速度，选一种收敛格式计算出附近的根到4位有效数字。（收敛速度的计算和比较）7设 (1) 写出解 的牛顿迭代格式；(2) 证明此迭代格式是线性收敛的。（牛顿迭代的构造与收敛速度）8 设计一个计算的牛顿迭代法，且不用除法（其中）。（牛顿迭代法）9 用牛顿法求的近似值，取或11为初始值，计算过程保留4位小数。（牛顿迭代的构造）10设是非线性方程的m重根，试证明：迭代法具有至少2阶的收敛速度。（收敛速度证明）11设是非线性方程的m重根，证明：用牛顿迭代法求只是线性收敛。（收敛速度证明）12设，在附近有直到阶的连续导数，且，试证：迭代法在附近是阶收敛的。（收敛速度证明）第九章 常微分方程数值解习题主要考察点：欧拉方法的构造，单步法的收敛性和稳定性的讨论，线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。1 用改进的欧拉公式，求以下微分方程的数值解（取步长），并与精确解作比较。（改进的尤拉公式的应用）2用四阶龙格库塔法求解初值问题，取, 求时的数值解. 要求写出由直接计算的迭代公式，计算过程保留3位小数。（龙格库塔方法的应用）3 用梯形方法解初值问题，证明其近似解为，并证明当时，它收敛于原初值问题的准确解。4对于初值问题，证明