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第九章应力状态分析与强度理论 材料力学 第九章应力状态分析和强度理论 9 1应力状态的概念 9 2平面应力状态分析 解析法 9 3平面应力状态分析 图解法 9 4梁的主应力及其主应力迹线 9 5三向应力状态研究 应力圆法 9 6平面内的应变分析 9 7复杂应力状态下的应力 应变关系 广义虎克定律 9 8复杂应力状态下的变形比能 9 应力状态的概念 应力状态与应变状态 一 引言 1 铸铁与低碳钢的拉 压 扭试验现象是怎样产生的 铸铁 2 组合变形杆将怎样破坏 四 普遍状态下的应力表示 三 单元体 单元体 构件内的点的代表物 是包围被研究点的无限小的几何体 常用的是正六面体 单元体的性质 a 平行面上 应力均布 b 平行面上 应力相等 二 一点的应力状态 过一点有无数的截面 这一点的各个截面上应力情况的集合 称为这点的应力状态 StateofStressataGivenPoint x y z s x sz s y 应力状态与应变状态 x y z s x sz s y 应力状态与应变状态 五 剪应力互等定理 TheoremofConjugateShearingStress 过一点的两个正交面上 如果有与相交边垂直的剪应力分量 则两个面上的这两个剪应力分量一定等值 方向相对或相离 六 原始单元体 已知单元体 例1画出下列图中的A B C点的已知单元体 应力状态与应变状态 七 主单元体 主面 主应力 主单元体 Principalbidy 各侧面上剪应力均为零的单元体 主面 PrincipalPlane 剪应力为零的截面 主应力 PrincipalStress 主面上的正应力 主应力排列规定 按代数值大小 应力状态与应变状态 s1 s2 s3 x y z sx sy sz 单向应力状态 UnidirectionalStateofStress 一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态 PlaneStateofStress 一个主应力为零的应力状态 应力状态与应变状态 三向应力状态 Three DimensionalStateofStress 三个主应力都不为零的应力状态 9 2平面应力状态分析 解析法 应力状态与应变状态 规定 截面外法线同向为正 ta绕研究对象顺时针转为正 a逆时针为正 图1 设 斜截面面积为S 由分离体平衡得 一 任意斜截面上的应力 应力状态与应变状态 图1 应力状态与应变状态 考虑剪应力互等和三角变换 得 同理 二 极值应力 应力状态与应变状态 在剪应力相对的项限内 且偏向于 x及 y大的一侧 应力状态与应变状态 例2分析受扭构件的破坏规律 解 确定危险点并画其原始单元体 求极值应力 应力状态与应变状态 O 破坏分析 应力状态与应变状态 铸铁 9 3平面应力状态分析 图解法 对上述方程消去参数 2 得 一 应力圆 StressCircle 应力状态与应变状态 此方程曲线为圆 应力圆 或莫尔圆 由德国工程师 OttoMohr引入 建立应力坐标系 如下图所示 注意选好比例尺 二 应力圆的画法 在坐标系内画出点A x xy 和B y yx AB与sa轴的交点C便是圆心 以C为圆心 以AC为半径画圆 应力圆 应力状态与应变状态 应力状态与应变状态 三 单元体与应力圆的对应关系 四 在应力圆上标出极值应力 应力状态与应变状态 例3求图示单元体的主应力及主平面的位置 单位 MPa A B 解 主应力坐标系如图 AB的垂直平分线与sa轴的交点C便是圆心 以C为圆心 以AC为半径画圆 应力圆 应力状态与应变状态 s1 s2 在坐标系内画出点 应力状态与应变状态 s1 s2 主应力及主平面如图 A B 解法2 解析法 分析 建立坐标系如图 应力状态与应变状态 9 4梁的主应力及其主应力迹线 应力状态与应变状态 如图 已知梁发生剪切弯曲 横力弯曲 其上M Q 0 试确定截面上各点主应力大小及主平面位置 单元体 应力状态与应变状态 1 s1 s3 s3 s1 s3 4 s1 s1 s3 5 a0 45 a0 s t A1 A2 D2 D1 C O s A2 D2 D1 C A1 O t 2a0 s t D2 D1 C D1 O 2a0 90 s D2 A1 O t 2a0 C D1 A2 s t A2 D2 D1 C A1 O 主应力迹线 StressTrajectories 主应力方向线的包络线 曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位 或压主应力方位 实线表示拉主应力迹线 虚线表示压主应力迹线 应力状态与应变状态 x y 主应力迹线的画法 1 1截面 2 2截面 3 3截面 4 4截面 i i截面 n n截面 应力状态与应变状态 9 5三向应力状态研究 应力圆法 应力状态与应变状态 1 空间应力状态 2 三向应力分析 弹性理论证明 图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点 图a 图b 整个单元体内的最大剪应力为 应力状态与应变状态 例4求图示单元体的主应力和最大剪应力 MPa 解 由单元体图知 yz面为主面 建立应力坐标系如图 画应力圆和点 1 得 应力状态与应变状态 50 40 30 A B C 9 6平面内的应变分析 一 叠加法求应变分析公式 剪应变 直角的增大量 只有这样 前后才对应 应力状态与应变状态 应力状态与应变状态 应力状态与应变状态 应力状态与应变状态 2 已知一点A的应变 画应变圆 二 应变分析图解法 应变圆 StrainCircle 1 应变圆与应力圆的类比关系 建立应变坐标系如图 在坐标系内画出点A x xy 2 B y yx 2 AB与 a轴的交点C便是圆心 以C为圆心 以AC为半径画圆 应变圆 应力状态与应变状态 三 方向上的应变与应变圆的对应关系 n 应力状态与应变状态 四 主应变数值及其方位 应力状态与应变状态 例5已知一点在某一平面内的 1 2 3 方向上的应变 1 2 3 三个线应变 求该面内的主应变 解 由 i 1 2 3这三个方程求出 x y xy 然后在求主应变 应力状态与应变状态 例6用45 应变花测得一点的三个线应变后 求该点的主应变 应力状态与应变状态 9 7复杂应力状态下的应力 应变关系 广义虎克定律 一 单拉下的应力 应变关系 二 纯剪的应力 应变关系 应力状态与应变状态 三 复杂状态下的应力 应变关系 依叠加原理 得 应力状态与应变状态 sz sy sx 主应力 主应变关系 四 平面状态下的应力 应变关系 方向一致 应力状态与应变状态 主应力与主应变方向一致 应力状态与应变状态 五 体积应变与应力分量间的关系 体积应变 体积应变与应力分量间的关系 应力状态与应变状态 例7已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为 1 240 10 6 2 160 10 6 弹性模量E 210GPa 泊松比为 0 3 试求该点处的主应力及另一主应变 所以 该点处的平面应力状态 应力状态与应变状态 应力状态与应变状态 例8图a所示为承受内压的薄壁容器 为测量容器所承受的内压力值 在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t 350 l06 若已知容器平均直径D 500mm 壁厚 10mm 容器材料的E 210GPa 0 25 试求 1 导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式 2 计算容器所受的内压力 应力状态与应变状态 s1 sm p O 图a 1 轴向应力 longitudinalstress 解 容器的环向和纵向应力表达式 用横截面将容器截开 受力如图b所示 根据平衡方程 应力状态与应变状态 用纵截面将容器截开 受力如图c所示 2 环向应力 hoopstress 3 求内压 以应力应变关系求之 应力状态与应变状态 9 8复杂应力状态下的变形比能 应力状态与应变状态 称为形状改变比能或歪形能 应力状态与应变状态 例9用能量法证明三个弹性常数间的关系 纯剪单元体的比能为 纯剪单元体比能的主应力表示为 应力状态与应变状态 9 9强度理论的概念 9 10四个强度理论及其相当应力 9 11莫尔强度理论及其相当应力 9 12强度理论的应用 一 引子 9 9强度理论的概念 强度理论 1 铸铁与低碳钢的拉 压 扭试验现象是怎样产生的 铸铁 2 组合变形杆将怎样破坏 二 强度理论 是关于 构件发生强度失效 failurebyloststrength 起因 的假说 1 伽利略播下了第一强度理论的种子 三 材料的破坏形式 屈服 断裂 2 马里奥特关于变形过大引起破坏的论述 是第二强度理论的萌芽 3 杜奎特 C Duguet 提出了最大剪应力理论 4 麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论 maximumdistortionenergytheory 这是后来人们在他的书信出版后才知道的 强度理论 9 10四个强度理论及其相当应力 一 最大拉应力 第一强度 理论 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的 当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时 构件就断了 1 破坏判据 2 强度准则 3 实用范围 实用于破坏形式为脆断的构件 强度理论 二 最大伸长线应变 第二强度 理论 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的 当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时 构件就断了 1 破坏判据 2 强度准则 3 实用范围 实用于破坏形式为脆断的构件 强度理论 三 最大剪应力 第三强度 理论 认为构件的屈服是由最大剪应力引起的 当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时 构件就破坏了 1 破坏判据 3 实用范围 实用于破坏形式为屈服的构件 2 强度准则 强度理论 四 形状改变比能 第四强度 理论 认为构件的屈服是由形状改变比能引起的 当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服时形状改变比能时 构件就破坏了 1 破坏判据 2 强度准则 3 实用范围 实用于破坏形式为屈服的构件 强度理论 9 11莫尔强度理论及其相当应力 莫尔认为 最大剪应力是使物体破坏的主要因素 但滑移面上的摩擦力也不可忽略 莫尔摩擦定律 综合最大剪应力及最大正应力的因素 莫尔得出了他自己的强度理论 强度理论 近似包络线 极限应力圆的包络线 O t s 一 两个概念 1 极限应力圆 2 极限曲线 极限应力圆的包络线 envelope 强度理论 2 强度准则 1 破坏判据 二 莫尔强度理论 任意一点的应力圆若与极限曲线相接触 则材料即将屈服或剪断 强度理论 三 相当应力 强度准则的统一形式 其中 相当应力 强度理论 3 实用范围 实用于破坏形式为屈服的构件及其拉压极限强度不等的处于复杂应力状态的脆性材料的破坏 岩石 混凝土等 9 12强度理论的应用 一 强度计算的步骤 1 外力分析 确定所需的外力值 2 内力分析 画内力图 确定可能的危险面 3 应力分析 画危面应力分布图 确定危险点并画出单元体 求主应力 4 强度分析 选择适当的强度理论 计算相当应力 然后进行强度计算 强度理论 二 强度理论的选用原则 依破坏形式而定 1 脆性材料 当最小主应力大于等于零时 使用第一理论 3 简单变形时 一律用与其对应的强度准则 如扭转 都用 2 塑性材料 当最小主应力大于等于零时 使用第一理论 4 破坏形式还与温度 变形速度等有关 当最小主应力小于零而最大主应力大于零时 使用莫尔理论 当最大主应力小于等于零时 使用第三或第四理论 其它应力状态时 使用第三或第四理论 强度理论 解 危险点A的应力状态如图 例1直径为d 0 1m的圆杆受力如图 T 7kNm P 50kN 为铸铁构件 40MPa