成都九校联考2016-2017学年高二下学期数学（理）期中试卷及答案.doc

20162017 学年度（下期）高 2015 级期中联考试卷理科数学考试时间共 120 分钟，满分 150 分 试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用 0.5 毫米黑色 签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡 皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。第卷选择题（共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1三棱柱 ABCA1B1C1 中，若CAa，CBb，CC1c，则A1B等于()AabcBabcCabcDabc2函数 f ( x) = sin x + ex ，则 f (0)的值为()第 1 题图A1B2C3D03. 已知 m，n 表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是() A若 m，n，则 mnB若 m，n，则 mn C若 m，mn，则 nD若 m，mn，则 nx4函数 f ( x) = 的单调递减区间是()ln xA (0, e)B (e,+)C (0,1), (1, e)D. (-, e)5在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中，O 是底面 ABCD 的中心，E、F 分别是CC1 、AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD1 所成的角的余弦值等于()A15B10C 4D 25553，6已知函数 f(x)xsin x，若 x1，x222 ，且 f(x1)f(x2)0，则下列不等式中正确的是()Ax1x2 Bx10Dx1x20，恒有 lnxpx1(p0)，则 p 的取值范围是()A(0,1B(1，)C(0,1)D1，)9甲、乙两人约定在下午 4:30 : 5:00 间在某地相见，且他们在 4:30 : 5:00 之间 到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人 20 分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是()38AB49711CD161210如图在一个 60 的二面角的棱上有两个点 A，B，线段分别 AC、BD 在这个二面 角的两个面内，并且都垂直于棱 AB，且 ABAC a ，BD 2a ，则 CD 的长为()CA 2a B 5aABC aD 3aD11已知函数 f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d 的图象如图所示，则b + 1 的取值范围是()a + 1第 10 题图yA (- 3 , 1 )B (- 2 ,1)122 25-10xC (- 1 , 3 )D (- 3 ,1)2 22第 11 题图x 2y 212已知 F1 ， F2 分别为双曲线C ：-a 2b 2= 1 的左、右焦点， 若存在过 F1 的直分别交双曲线C 的左、右支于 A ， B 两点，使得 BAF2 = BF2 F1 ，则双曲线C 的离心率e 的 取值范围是()A (3,+)B (1,2 + 5 )C. (3,2 + 5 )D (1,3)第卷非选择题（共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 1 x2dx = 0第 12 题图xy2 22 214已知椭圆 C1 : 2 + 2ab= 1(a b 0) 与双曲线 C2 : x - y= 4 有相同的右焦点F2 ，点 P 是 C1 和 C2 的一个公共点，若 PF2= 2 ，则椭圆 C1 的离心率等于 15四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面为平行四边形，以顶点 A 为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为 60.则线段 AC1 与平面 ABC 所成角的正弦值为 .mex16已知函数 f ( x ) = 1 -x2 + x + 1，若存在唯一的正整数 x0 ，使得 f ( x0 ) 0 ，则实数 m 的取值范围为 三、解答题（本大题共 6 小题，第 17 题满分 10 分，18-22 每题满分 12 分，共 70 分； 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AC BC ，点 D 是 AB 的中点，求证：（） AC BC1 ；（） AC1 / 平面 B1CD C1 B1A1CBD A18某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于 50 分的试卷中随机抽取 100 名学生的成绩(得分均为整数，满分 100 分)进行统计，请根据频率 分布表中所提供的数据，解答下列问题：组号分组频数频率第 1 组50，60)50.05第 2 组60，70)a0.35第 3 组70，80)30b第 4 组80，90)200.20第 5 组90，100100.10合计1001.00（）求 a、b 的值；（）若从成绩较好的第 3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取 6 人参加市汉字听 写比赛，并从中选出 2 人做种子选手，求 2 人中至少有 1 人是第 4 组的概率19已知函数 f(x)x22aln x.（）若函数 f(x)的图象在(2，f(2)处的切线斜率为 1，求实数 a 的值；（）求函数 f(x)的单调区间；2（）若函数 g(x)f(x)在1,2上是减函数，求实数 a 的取值范围x20在四棱锥 P -ABCD 中， PAB 为正三角形，四边形 ABCD 为矩形，平面PAB 平面 ABCD ， AB =2 AD ， M ,N 分别为 PB,PC 的中点.（）求证： MN /平面 PAD ；（）求二面角 BAMC 的大小；（）在 BC 上是否存在点 E ，使得 EN 平面 AMN ？BE若存在，求BC的值；若不存在，请说明理由+222221已知椭圆 C : xy= 1 (a b 0 ) 经过点 P(1,3 ) ，离心率 e = 3ab（）求椭圆 C 的标准方程；22 （）设过点 E (0 , - 2 ) 的直线l 与C 相交于 P, Q 两点，求 DOPQ 面积的最大值22已知 f ( x) = 1 x2 ， g ( x) = a ln x(a 0) .2（）求函数 F ( x) =（）若函数 G( x) =取值范围；f ( x) g ( x) 的极值；f ( x) - g ( x) + (a - 1) x 在区间 (1 , e) 内有两个零点，求的e（）函数 h( x) = g ( x ) - x + 1 ，设 x (0,1) ， x (1, +) ，若 h( x ) - h( x )x1 2 2 1存在最大值，记为 M (a) ，则当 a e + 1 时，M (a) 是否存在最大值？若存在，求出e其最大值；若不存在，请说明理由20162017学年度（下期）高2015级期中联考数学（理科）参考答案及评分建议一、 选择题：（每小题5分，共60分）1.D； 2.B； 3.B； 4.C； 5.A； 6.C；7.A； 8.D； 9.B； 10.A； 11.D； 12.C；二、 填空题（每小题5分，共20分）13. ； 14. ； 15 . ； 16 . ； 三、 解答题（共70分）A1C1B1ABCDO17证明：（1）在直三棱柱中，平面，所以，又，所以，平面，所以，. .（5分）（2）设与的交点为，连结，为平行四边形，所以为中点，又是的中点，所以是三角形的中位线， 又因为平面，平面，所以平面.（10分）18(1)a100530201035，b10.050.350.200.100.30. （4分）(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为，第3组：303人，第4组：202人，第5组：101人，所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人.（6分）设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)其中第4组被入选的有9种，所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为.（12分）19. (1)f(x)2x，由已知f(2)1，解得a3. 4分(2)函数f(x)的定义域为(0，). 5分当a0时，f(x)0，f(x)的单调递增区间为(0，)； 6分当a0时，f(x).当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)极小值由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；单调递增区间是(，). 8分(3)由g(x)x22aln x，得g(x)2x，由已知函数g(x)为1,2上的单调减函数，则g(x)0在1,2上恒成立，即2x0在1,2上恒成立即ax2在1,2上恒成立. 10分令h(x)x2，在1,2上h(x)2x(2x)0，所以h(x)在1,2上为减函数，h(x)minh(2)，所以a.故实数a的取值范围为a|a. 12分20. （）证明：M，N分别是PB，PC中点MN是ABC的中位线MNBCAD又AD平面PAD，MN平面PAD所以MN平面PAD. .4分()过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，因为平面PAB平面ABCD，所以PO平面ABCD，如图建立空间直角坐标系设AB=2，则A（-1,0，0），C（1,1，0）,M（,0，）,B（1,0，0），N（,，），则，设平面CAM法向量为，由可得，令，则，即平面法向量所以，二面角的余弦值因为二面角是锐二面角，所以二面角等于.8分（）存在.9分设，则，由可得，所以在存在点，使得平面，此时.12分21.（）由点在椭圆上得，由得，故椭圆的标准方程为.5分 .9分22.：