余弦定理应用举例练习题(2015年高考总复习).pdf

1 第七节正弦定理 余弦定理应用举例 时间 45 分钟分值 75 分 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 1 如图所示 已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等 于 a km 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20 灯塔 B 在观察站 C 的南 偏东 40 则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 A a kmB 3a km C 2a kmD 2a km 解析利用余弦定理解 ABC 易知 ACB 120 在 ACB 中 由余弦定理得 AB2 AC2 BC2 2AC BCcos120 2a2 2a2 1 2 3a2 AB 3a 答案B 2 张晓华同学骑电动自行车以 24 km h 的速度沿着正北方向的 公路行驶 在点 A 处望见电视塔 S 在电动车的北偏东 30 方向上 15 min 后到点 B 处望见电视塔在电动车的北偏东 75 方向上 则电动车 在点 B 时与电视塔 S 的距离是 A 2 2 kmB 3 2 km 2 C 3 3 kmD 2 3 km 解析如图 由条件知 AB 24 15 60 6 在 ABS 中 BAS 30 AB 6 ABS 180 75 105 所以 ASB 45 由正弦定 理知 BS sin30 AB sin45 所以 BS AB sin45 sin30 3 2 答案B 3 轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时离开海港 C 两艘轮船航行方向 的夹角为 120 轮船 A 的航行速度是 25 海里 小时 轮船 B 的航行速 度是 15 海里 小时 下午 2 时两船之间的距离是 A 35 海里B 352海里 C 353海里D 70 海里 解析设轮船 A B 航行到下午 2 时时所在的位置分别是 E F 则依题意有 CE 25 2 50 CF 15 2 30 且 ECF 120 EF CE2 CF2 2CE CFcos120 502 302 2 50 30cos120 70 答案D 4 2014 济南调研 为测量某塔 AB 的高度 在一幢与塔 AB 相距 20 m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30 测得塔基 B 的俯角为 45 那么塔 AB 的高度是 3 A 20 1 3 3mB 20 1 3 2m C 20 1 3 mD 30 m 解析如图所示 由已知可知 四边形 CBMD 为正方形 CB 20 m 所以 BM 20 m 又在 Rt AMD 中 DM 20 m ADM 30 AM DMtan30 20 3 3 m AB AM MB 20 3 3 20 20 1 3 3 m 答案A 5 2013 天津卷 在 ABC 中 ABC 4 AB 2 BC 3 则 sin BAC A 10 10 B 10 5 C 3 10 10 D 5 5 4 解析由余弦定理 AC2 AB2 BC2 2AB BCcos ABC 2 2 32 2 2 3 2 2 5 所以 AC 5 再由正弦定理 sin BAC sin ABC AC BC 3 2 2 5 3 10 10 答案C 6 2014 滁州调研 线段 AB 外有一点 C ABC 60 AB 200 km 汽车以 80 km h 的速度由 A 向 B 行驶 同时摩托车以 50 km h 的速度由 B 向 C 行驶 则运动开始多少 h 后 两车的距离最小 A 69 43 B 1 C 70 43 D 2 解析如图所示 设 t h 后 汽车由 A 行驶到 D 摩托车由 B 行 驶到 E 则 AD 80t BE 50t 因为 AB 200 所以 BD 200 80t 问题就是求 DE 最小时 t 的值 由余弦定理 得 DE2 BD2 BE2 2BD BEcos60 200 80t 2 2 500t2 200 80t 50t 12 900t2 42 000t 40 000 5 当 t 70 43时 DE 最小 答案C 二 填空题 本大题共 3 小题 每小题 5 分 共 15 分 7 已知 A B 两地的距离为 10 km B C 两地的距离为 20 km 现测得 ABC 120 则 A C 两地的距离为 km 解析如右图所示 由余弦定理可得 AC2 100 400 2 10 20 cos120 700 AC 10 7 km 答案10 7 8 如下图 一艘船上午 9 30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30 处 之后它继续沿正北方向匀速航行 上午 10 00 到达 B 处 此 时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75 处 且与它相距 8 2n mile 此船的 航速是 n mile h 解析设航速为 v n mile h 6 在 ABS 中 AB 1 2v BS 8 2 BSA 45 由正弦定理得 8 2 sin30 1 2v sin45 v 32 n mile h 答案32 9 如图 为测得河对岸塔 AB 的高 先在河岸上选一点 C 使 C 在塔底 B 的正东方向上 测得点 A 的仰角为 60 再由点 C 沿北偏东 15 方向走10米到位置D 测得 BDC 45 则塔AB的高是 米 解析在 BCD 中 CD 10 BDC 45 BCD 15 90 105 DBC 30 BC sin45 CD sin30 BC CDsin45 sin30 10 2 米 在 Rt ABC 中 tan60 AB BC AB BCtan60 10 6 米 答案10 6 三 解答题 本大题共 3 小题 每小题 10 分 共 30 分 7 10 2014 台州模拟 某校运动会开幕式上举行升旗仪式 旗杆正 好处于坡度 15 的看台的某一列的正前方 从这一列的第一排和最后 一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60 和 30 第一排和最后一排的距 离为 106米 如图所示 旗杆底部与第一排在一个水平面上 若国 歌长度约为 50 秒 升旗手应以多大的速度匀速升旗 解在 BCD 中 BDC 45 CBD 30 CD 10 6 由 正弦定理 得 BC CDsin45 sin30 20 3 在 Rt ABC 中 AB BCsin60 20 3 3 2 30 米 所以升旗 速度 v AB t 30 50 0 6 米 秒 11 如图 A B 是海面上位于东西方向相距 5 3 3 海里的两个观 8 测点 现位于 A 点北偏东 45 B 点北偏西 60 的 D 点有一艘轮船发 出求救信号 位于 B 点南偏西 60 且与 B 点相距 203海里的 C 点的 救援船立即前往营救 其航行速度为 30 海里 时 该救援船到达 D 点 需要多长时间 解由题意 知 AB 5 3 3 海里 DBA 90 60 30 DAB 90 45 45 ADB 180 45 30 105 在 DAB 中 由正弦定理 得 DB sin DAB AB sin ADB 于是 DB AB sin DAB sin ADB 5 3 3 sin45 sin105 5 3 3 sin45 sin45 cos60 cos45 sin60 5 3 3 1 3 1 2 10 3 海里 又 DBC DBA ABC 30 90 60 60 BC 20 3 海里 在 DBC 中 由余弦定理 得 CD2 BD2 BC2 2BD BC cos DBC 300 1 200 2 10 3 20 3 1 2 900 得 CD 30 海里 故需要的时间 t 30 30 1 小时 9 即救援船到达 D 点需要 1 小时 12 2013 江苏卷 如图 游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处 有两种路径 一种是从 A 沿直线步行到 C 另一种是先从 A 沿索道乘 缆车到 B 然后从 B 沿直线步行到 C 现有甲 乙两位游客从 A 处下山 甲沿 AC 匀速步行 速度为 50 m min 在甲出发 2 min 后 乙从 A 乘缆车到 B 在 B 处停留 1 min 后 再从 B 匀速步行到 C 假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m min 山 路 AC 长为 1 260 m 经测量 cosA 12 13 cosC 3 5 1 求索道 AB 的长 2 问乙出发多少分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 3 为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟 乙步行 的速度应控制在什么范围内 解 1 在 ABC 中 因为 cosA 12 13 cosC 3 5 所以 sinA 5 13 sinC 4 5 从而 sinB sin A C sin A C sinAcosC cosAsinC 5 13 3 5 12 13 4 5 63 65 10 由正弦定理 AB sinC AC sinB 得 AB AC sinB sinC 1 260 63 65 4 5 1 040 m 所以索道 AB 的长为 1 040 m 2 假设乙出发 t 分钟后 甲 乙两游客距离为 d 此时 甲行走 了 100 50t m 乙距离 A 处 130t m 所以由余弦定理得 d2 100 50t 2 130t 2 2 130t 100 50t 12 13 200 37t 2 70t 50 因 0 t 1 040 130 即 0 t 8 故当 t 35 37 min 时 甲 乙两游客 距离最短 3 由正弦定理 BC sinA AC sinB 得 BC AC sinB