人教A版选修22 2.2.2反证法 课件（41张）.ppt

第二章 推理与证明 2 2直接证明与间接证明 2 2 2反证法 自主预习学案 1 反证法的定义一般地 假设原命题不成立 经过正确的推理 最后得出 因此说明假设 从而证明了原命题 这样的证明方法叫做反证法 反证法是间接证明的一种基本方法 2 反证法证题的原理 1 反证法的原理是 否定之否定等于肯定 2 用反证法解题的实质就是否定结论 导出矛盾 从而说明原结论正确 矛盾 错误 成立 c d c 存在一个三角形 其外角最多有一个钝角 互动探究学案 命题方向1 用反证法证明否 肯 定性命题 c 2 2017 德州高二检测 用反证法证明命题 一个三角形中不能有两个直角 的过程归纳为以下三个步骤 a b c 90 90 c 180 这与三角形内角和为180 相矛盾 则 a b 90 不成立 所以一个三角形中不能有两个直角 假设 a b c中有两个角是直角 不妨设 a b 90 正确顺序的序号排列为 解析 1 假设的内容应为结论 a3 b3 的否定 a3 b3 故选c 2 根据反证法证题的三步骤 否定结论 导出矛盾 得出结论 规律总结 1 用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有 不 不是 不可能 不存在 等词语的命题称为否定性命题 此类问题的正面比较模糊 而反面比较具体 适合使用反证法 2 用反证法证明数学命题的步骤特别提醒 1 用反证法证题时 首先要搞清反证法证题的思路步骤 其次注意反证法是在条件较少 直接证明不易入手时常用的方法 2 结论中含有 不 不是 不可能 不存在 没有 等词语的否定性命题 结论的反面比较具体 适于应用反证法 3 注意否定结论时 要准确无误 命题方向2 反证法证明 至多 至少 问题 规律总结 1 当命题中出现 至少 至多 不都 都不 没有 唯一 等指示性词语时 宜用反证法 2 用反证法证题 必须准确写出命题的否定 把命题所包含的所有可能情形找全 范围既不缩小 也不扩大 常用反设词如下 命题方向3 用反证法证明存在性 唯一性命题 证明 根据点a和平面 的位置关系 分两种情况证明 1 如图 点a在平面 内 假设经过点a至少有平面 的两条垂线ab ac 那么ab ac是两条相交直线 它们确定一个平面 平面 和平面 相交于经过点a的一条直线 因为ab 平面 ac 平面 a 所以ab a ac a 在平面 内经过点a有两条直线都和直线a垂直 这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾 2 如图 点a在平面 外 假设经过点a至少有平面 的两条垂线ab和ac b c为垂足 那么ab ac是两条相交直线 它们确定一个平面 平面 和平面 相交于直线bc 因为ab 平面 ac 平面 bc ab bc ac bc 在平面 内经过点a有两条直线都和bc垂直 这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾 综上 经过一点a只能有平面 的一条垂线 规律总结 1 证明 有且只有一个 的问题 需要证明两个命题 即存在性和唯一性 当证明结论以 有且只有 只有一个 唯一存在 等形式出现的命题时 由于反设结论易于导出矛盾 所以宜用反证法证明 2 若结论的反面情况有多种 则必须将所有的反面情况一一驳倒 才能推断结论成立 适宜运用反证法证明的命题 同向不等式求和得 4b2 4c2 4a2 4ac 4ab 4bc 0 所以2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 0 所以 a b 2 b c 2 a c 2 0 所以a b c 这与题设a b c互不相等矛盾 因此假设不成立 从而命题得证 规律总结 1 反证法的 归谬 是反证法的核心 其含义是从假设 即把 反设 作为一个新的已知条件 及原命题的条件出发 引用一系列论据进行正确推理 推出与已知条件 定义 定理 公理等相矛盾的结果 2 反证法中引出矛盾的结论 不是推理本身的错误 而是开始假定的 结论的反面 是错误的 从而肯定原结论是正确的 结论反设不当致误 辨析 错解没有弄清原题待证的结论是什么 导致反设错误 求证 a 0 b 0 c 0 的含义是 求证a b c三数都是正数 故反设应为 假设a b c中至少有一个不大于0 正解 证法1 假设a b c中至少有一个不大于0 不妨设a 0 若a0 得bc0得 b c a 0 ab bc ac a b c bc0矛盾 又若a 0 则abc 0与abc 0矛盾 故 a 0 不成立 a 0 同理可证b 0 c 0 证法2 假设a b c是不全为正的实数 由于abc 0 所以a b c中只能是两负一正 不妨设a0 ab bc ac 0 a b c bc 0 bc0 a0矛盾 故假设不成立 原结论成立 即a