苏教版选修22 第2章推理与证明 章末专题整合 课件（26张）.ppt

第2章推理与证明 第2章推理与证明 1 合情推理归纳推理和类比推理是常用的合情推理 都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳类比 然后提出猜想的推理 归纳推理是由部分特殊的对象特征得到一般性的结论的推理方法 它在数学研究或数学学习中具有十分重要的意义 通过归纳推理可以发现新知识 探索新结论 探索解题思路 预测答案等 合情推理与演绎推理 类比推理是从特殊到特殊的一种推理方法 类比法有助于启迪思维 触类旁通 拓宽知识面 发现新命题等 进行类比推理时 要合理确定类比对象 要对两类对象的共同特点进行对比 著名哲学家康德说 每当理智缺乏可靠论证思路时 类比法往往能指明前进的方向 合情推理的结论不一定正确 有待于演绎推理的验证 而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的 合情推理可以为演绎推理提供方向和思路 给出一个 三角形 的数表如下图 此表构成的规则是 第一行是0 1 2 999 以后下一行的数是上一行相邻两个数的和 试求第四行的数中能被999整除的数 2 演绎推理演绎推理又叫逻辑推理 是由一般性的命题推出特殊命题的一种推理形式 其中 最普遍的一种演绎推理叫三段论 三段论的公式中包含三个命题 第一个命题称为大前提 它提供了一个一般的原理 第二个命题叫小前提 它指出了一个特殊对象 这两个判断联合起来 揭示了一般原理和特殊对象的内在联系 从而产生了第三个命题 结论 如图 正三棱柱abc a1b1c1的棱长均为a d e分别为c1c与ab的中点 a1b交ab1于点g 1 求证 a1b ad 2 求证 ce 平面ab1d 证明 1 如图 连结a1d dg bd 三棱柱abc a1b1c1是棱长均为a的正三棱柱 四边形a1abb1为正方形 a1b ab1 d是c1c的中点 a1c1d bcd a1d bd 点g为a1b与ab1的交点 点g为a1b的中点 a1b dg 又 dg ab1 g a1b 平面ab1d 1 综合法和分析法 综合法和分析法是直接证明中两种最基本的证明方法 但这两种方法证明思路完全相反 综合法是 由因导果 而分析法是 执果索因 一般情况下是用分析法寻找解题思路 然后用综合法证明问题 它们相互转换 相互渗透 要充分利用这一辨证关系 在解题中综合法和分析法联合运用 转换解题思路 增加解题途径 直接证明与间接证明 2 反证法 反证法是一种间接证明的方法 它的理论基础是互为逆否命题的两个命题为等价命题 它反映了 正难则反 的思想 反证法着眼于命题的转换 改变了研究的角度和方向 使论证的目标更为明确 由于增加了推理的前提 原结论的否定 更易于开拓思路 因此对于直接论证较为困难的时候 往往采用反证法证明 所以反证法在数学证明中有着广泛的应用 适宜用反证法证明的命题有 a 结论本身是以否定形式出现的命题 b 关于惟一性 存在性的命题 c 结论是以 至多 至少 等形式出现的命题 d 结论的反面比原结论更具体 更容易研究的命题 已知a b c 0 ab bc ca 0 abc 0 求证 a 0 b 0 c 0 证明 假设a0 知bc0 知b c a 0 于是ab bc ca a b c bc0矛盾 故a 0 同理可证b 0 c 0 数学归纳法是证明有关正整数问题的最有力的工具 它的第一步称为奠基步骤 是论证的基础保证 即通过验证落实传递的起点 这个起点必须真实可靠 它的第二步称为递推步骤 是命题具有后续传递性的保证 两步合在一起为完全归纳步骤 这两步缺一不可 第二步中证明 当n k 1时结论正确 的过程中 必须使用 归纳假设 否则证明就是错误的 就不是数学归纳法 数学归纳法 1 一般与特殊的思想一般与特殊的思想是本章中体现出的另一个比较明显的学科思想 它主要应用于归纳 猜想 证明中 常见题型是 第一步给出命题 与正整数有关 的结构 第二步要求学生计算出三个至四个初始值 第三步要求学生通过已计算出的初始值 应用不完全归纳法 发现命题的一般性规律 做出科学的猜想和判断 敢于猜想 善于猜想 最后用数学归纳法对相关问题加以证明 数学思想方法 2 转化与化归的思想转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法 数学中的一切问题的解决都离不开化归与转化 化归与转化的原则是 将不熟悉的或难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题 将抽象的问题转化为具体的直观的问题 将复杂的问题转化为简单的问题 将一般性的问题转化为直观的特殊问题 将实际应用问题转化为数学问题 本章中无论是推理过程还是用分析法 综合法 反证法 数学归纳法证明问题的过程中都用到了化归与转化思想 解 由f x 是r上的奇函数可得f 0 0 又f x 在 0 上是增函数 故f x 在r上为增函数 由题设条件