维纳过程和伊藤引理.pptx

Chapter13WienerProcessesandIt sLemma维纳过程和伊藤引理 Options Futures andOtherDerivatives 8thEdition Copyright JohnC Hull2012 随机过程 stochastic sto k st k process 的含义 每时每刻都是一个随机变量 按时间顺序排列的随机变量集 随机变量服从于某分布 随机过程遵循某种过程 随机过程的分类 按时间 参数空间 离散时间 discretetime 连续时间 continuoustime 按变量 状态空间 离散变量 discretevariable 连续变量 continuousvariable 按具有的性质 本章将建立关于股票价格的连续变量 连续时间的随机过程模型 定价中的一个重要原理 伊藤引理 Ito sLemma StochasticProcesses Describesthewayinwhichavariablesuchasastockprice exchangerateorinterestratechangesthroughtimeIncorporatesuncertainties 5 Example1 Eachdayastockpriceincreasesby 1withprobability30 staysthesamewithprobability50 reducesby 1withprobability20 6 Example2 Eachdayastockpricechangeisdrawnfromanormaldistributionwithmean 0 2andstandarddeviation 1 7 8 13 1马尔科夫过程MarkovProcesses InaMarkovprocessfuturemovementsinavariabledependonlyonwhereweare notthehistoryofhowwegottowhereweareIstheprocessfollowedbythetemperatureatacertainplaceMarkov WeassumethatstockpricesfollowMarkovprocesses 人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程 在已知它所处的状态的条件下 它未来的演变不依赖于它以往的演变 这种已知 现在 的条件下 将来 与 过去 独立的特性称为马尔可夫性 具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程 荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子 青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上 因为青蛙是没有记忆的 当所处的位置已知时 它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关 如果将荷叶编号并用X0 X1 X2 分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次 第二次 跳跃后所处的荷叶号码 那么 Xn n 0 就是马尔可夫过程 10 Weak FormMarketEfficiency Thisassertsthatitisimpossibletoproduceconsistentlysuperiorreturnswithatradingrulebasedonthepasthistoryofstockprices Inotherwordstechnicalanalysisdoesnotwork AMarkovprocessforstockpricesisconsistentwithweak formmarketefficiency 13 2连续时间随机过程 12 Example Avariableiscurrently40ItfollowsaMarkovprocessProcessisstationary i e theparametersoftheprocessdonotchangeaswemovethroughtime Attheendof1yearthevariablewillhaveanormalprobabilitydistributionwithmean40andstandarddeviation10 13 Questions Whatistheprobabilitydistributionofthestockpriceattheendof2years years years Dtyears Takinglimitswehavedefinedacontinuousstochasticprocess 14 Variances StandardDeviations InMarkovprocesseschangesinsuccessiveperiodsoftimeareindependentThismeansthatvariancesareadditiveStandarddeviationsarenotadditive 15 Variances StandardDeviations continued Inourexampleitiscorrecttosaythatthevarianceis100peryear Itisstrictlyspeakingnotcorrecttosaythatthestandarddeviationis10peryear 16 13 2 1标准维纳过程AWienerProcess Definef m v asanormaldistributionwithmeanmandvariancevAvariablezfollowsaWienerprocessifDt内的变化ThechangeinzinasmallintervaloftimeDtisDzThevaluesofDzforany2different non overlapping periodsoftimeareindependent 马尔科夫性质 17 PropertiesofaWienerProcess T内的变化Meanof z T z 0 is0Varianceof z T z 0 isTStandarddeviationof z T z 0 is 在Excel中的模拟 重要的一点 例13 1假定随机变量遵循维纳过程 其初始值为25 时间以年为单位 在1年末 变量值服从正态分布 其期望值为25 标准差为1 在5年末 变量服从正态分布 其期望值为25 标准差为 变量在将来某一确定时刻由标准差来定义不确定性 并且与未来时间长度的平方根成正比 21 13 2 2广义维纳过程GeneralizedWienerProcesses 漂移率方差率AWienerprocesshasadriftrate i e averagechangeperunittime of0andavariancerateof1InageneralizedWienerprocessthedriftrateandthevarianceratecanbesetequaltoanychosenconstants 22 GeneralizedWienerProcesses continued MeanchangeinxperunittimeisaVarianceofchangeinxperunittimeisb2 23 TakingLimits Whatdoesanexpressioninvolvingdzanddtmean ItshouldbeinterpretedasmeaningthatthecorrespondingexpressioninvolvingDzandDtistrueinthelimitasDttendstozeroInthisrespect stochasticcalculusisanalogoustoordinarycalculus 24 TheExampleRevisited Astockpricestartsat40andhasaprobabilitydistributionoff 40 100 attheendoftheyearIfweassumethestochasticprocessisMarkovwithnodriftthentheprocessisdS 10dzIfthestockpricewereexpectedtogrowby 8onaverageduringtheyear sothattheyear enddistributionisf 48 100 theprocesswouldbedS 8dt 10dz 例13 2考虑这样一种情况 某公司的现金头寸 以千美元计 满足广义维纳过程 漂移率为每年20 方差率为每年900 最初的现金头寸为50 在1年后 现金头寸服从正态分布 期望值为70 方差为900 标准差为30 在6个月时 现金头寸服从正态分布 期望值为60 方差为450 标准差为21 21 26 13 2 3伊藤过程It Process InanIt processthedriftrateandthevarianceratearefunctionsoftimedx a x t dt b x t dzThediscretetimeequivalentistrueinthelimitasDttendstozero 27 WhyaGeneralizedWienerProcessIsNotAppropriateforStocks Forastockpricewecanconjecturethatitsexpectedpercentagechangeinashortperiodoftimeremainsconstant notitsexpectedactualchange Wecanalsoconjecturethatouruncertaintyastothesizeoffuturestockpricemovementsisproportionaltothelevelofthestockprice 13 3描述股票价格的过程 没有不确定性 那么这个模型变为当时 其极限形式为积分 29 AnItoProcessforStockPrices wheremistheexpectedreturnsisthevolatility ThediscretetimeequivalentisTheprocessisknownasgeometricBrownianmotion 股价的百分比变化服从正态分布 例13 3考虑无股息股票 其波动率为每年30 连续复利期望收益率为15 这时 假定时间间隔为1星期 即0 0192年 因此 InterestRates Whatwouldbeareasonablestochasticprocesstoassumefortheshort terminterestrate 32 33 MonteCarloSimulation WecansamplerandompathsforthestockpricebysamplingvaluesforeSupposem 0 15 s 0 30 andDt 1week 1 52or0 192years then 34 MonteCarloSimulation SamplingonePath 运用Excel 已知的过程及其特征 标准维纳过程 标准布朗运动 广义维纳过程 广义布朗运动 伊藤过程几何维纳过程 几何布朗运动 扩散过程时间上是某种过程 截面上是某种分布 期望 方差的变化特征 13 4参数 参数miu为投资者在很短一段时间内获取的收益率的期望值 大多数投资者在承担更大风险时会要求更高的预期收益 因此miu依赖于股票收益的风险 更准确地讲 miu取决于投资者不能通过分散化来消除的那部分风险 miu的取值应该与经济体系中的利率水平有关 利率水平越高 投资者对给定股票的预期收益也会越高 衍生产品价格与miu无关 而sigma至关重要 13 5相关过程CorrelatedProcesses Supposedz1anddz2areWienerprocesseswithcorrelationrThen 38 运用Excel画二元函数图像 二元函数z xy的图像 41 13 6伊藤引理It sLemma Ifweknowthestochasticprocessfollowedbyx It slemmatellsusthestochasticprocessfollowedbysomefunctionG x t Sinceaderivativeisafunctionofthepriceoftheunderlyingassetandtime It slemmaplaysanimportantpartintheanalysisofderivatives TaylorSeriesExpansion ATaylor sseriesexpansionofG x t gives 42 IgnoringTermsofHigherOrderThanDt 43 SubstitutingforDx 44 Thee2DtTerm 45 TakingLimits 46 伊藤引理的推导 在这里 我们可以看到 伊藤引理是泰勒公式的自然扩展 ApplicationofIto sLemmatoaStockPriceProcess 51 Examples 52 远期价格F也遵循几何布朗运动 G遵循一个广义维纳过程 这意味着 如果按照以前的做法 就会得到错误的结果 例 y仍是一个几何布朗运动 例 y仍是一个几何布朗运动 例 例 例 几何布朗运动 小结 随机过程描述了变量值的变化随时间的发展变化 马尔科夫过程中只有变量的现值与预测将来值有关 变量的以往历史以及如何演变成现值的方式则都与预测将来值不相关 维纳过程dz是一个描述正态分布变量变化的过程 该过程的漂移