数学物理方程第六章Green函数法.pdf

0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 1 第六章 第六章 Green函数法函数法 Green函数则代表一个点源所产生的场 知道了一个点源的场 就可以用叠加的方法算出任意源的 函数则代表一个点源所产生的场 知道了一个点源的场 就可以用叠加的方法算出任意源的 场 场 线性系统理论线性系统理论 脉冲响应与系统输入脉冲响应与系统输入 卷积卷积 Green函数意义函数意义 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 2 单位正点电荷在无界空间中的点产生的电势是单位正点电荷在无界空间中的点产生的电势是 0 0 1 4 G r r rr 可得任意电荷分布所产生的电势 可得任意电荷分布所产生的电势 0000 0 0 drrrrGdr rr r ru 静电场的电势满足静电场的电势满足Poisson方程方程 4u u 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 3 Laplace方程的基本解方程的基本解 Laplace方程方程 0 zzyyxx uuuu Poisson方程方程 zyxfuuuu zzyyxx 本章主要讨论的问题 调和函数 本章主要讨论的问题 调和函数 0 zzyyxx uuuu 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 4 Dirichlet问题 第一类边值问题 问题 第一类边值问题 S uf x y zx y zV ux y z Neumann问题 第二类边值问题 问题 第二类边值问题 S uf x y zx y zV u x y z n Robin问题 第三类边值问题 问题 第三类边值问题 SS uf x y zx y zV u ux y zx y z n 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 5 Green公式及调和函数的性质公式及调和函数的性质 cos cos cos xyz SV S PdydzQdzdxRdxdyPQRdV Pn xQn yRn td Gauss公式公式 VS AdvA d 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 6 vuA 第一第一Green公式公式 vdVuvdVudVvudvu udVvudVvdVuvduv dVuvvuduvvu 第二第二Green公式公式 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 7 第三第三Green公式公式 0 11111 44 u u Mudu dV rnn rr 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 8 0 11111 44 u u Mudu dV rnn rr SS uf x y zx y zV u ux y zx y z n 0 111 4 11 4 u Mx y zx y zd rn r f x y zdV r 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 9 0 SS ux y zV u ux y zx y z n 0 111 4 u u Mud rnn r 0 111 4 u Mx y zx y zd rn r 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 10 dVuvvuduvvu 第二第二Green公式 第三 公式 第三Green公式公式 0 11111 44 u u Mudu dV rnn rr z x O y S K M0V S 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 11 0 1 MM v Mr 证明 球面 证明 球面 以以 M0 为中心 为 半径为中心 为 半径 00 00 00 11 11 11 M MMMMK M MMMM M MMMM u Mu MdV rr u M u Md n rrn u M u Md n rrn 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 12 d r ud rr ud rn u 2 111 0 111 4 u u dVudu M rn rrn 0 11111 44 u u Mudu dV rnn rr 0 1 MM MMK u M dV r 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 13 平面中的平面中的Robin问题问题 Green积分公式积分公式 d d dd xy L D QPx yP xQ y 是的正向量是的正向量n 平面平面Poisson方程方程Robin问题问题 LL uf x yx yD u ux yx y n 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 14 在在Green积分公式中 令积分公式中 令 yx uvv A d d d d yx L xy D xxyyxxyy D D uvv uvuv u vu vu vv uvu v S 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 15 d d yx L D uvvuvu v S d d L D u vuvu v S 同理得同理得 d d L D v uuvv u S 平面第一平面第一Green公式公式 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 16 x O y K L M0 d d L D u vv uu vv u S 平面第二平面第二Green公式公式 22 00 00 2222 0000 0 0 11 2 2 xy vxxyy xxyy vv xxyyxxyy 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 17 0 11 d dlnd 2 MM D KLLD K u vv uu vv uu r S 0 ln d d 2 111 lndd 2 2 11 lndd 2 2 LL LL MM LL u vv uu vu uuS r uu S SS S S 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 18 0 1 lim lnd0 2 L u S 0 0 1 limd 2 L u Su M 0 0 11 lnd d 2 MM DL uv uu vu M r S 0 0 11 dlnd 2 MM LD u Mv uu vu r S 平面第三平面第三Green公式公式 000 0 111111 lnlndlnd 2 2 2 MMMMMM LD u u MuSu rnrr n 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 19 定理定理3 平面平面Poisson方程方程Robin问题问题 LL uf x yx yD u ux yx y n 的解为的解为 00 0 0 1111 ln lnd 2 2 11 ln d 2 MMMM L MM D u Mx yx yS rr f x y r n 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 20 调和函数性质调和函数性质 1 v 取取 0 1 0 1 0 n u 性质性质1 设设u x y z 是区域 上的调和函数 则有是区域 上的调和函数 则有 0 u d n n 为 外法线方向 证明 第二 为 外法线方向 证明 第二Green公式公式 dVuvvuduvvu 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 21 推论推论 n u uuuu zzyyxx 0 有解的必要条件为有解的必要条件为 0u M d 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 22 性质性质2 设设u x y z 是区域 上的调和函数 则有是区域 上的调和函数 则有 0 111 4 u u Mud rnn r NOTE 第三第三Green公式公式 0 u 0 11111 44 u u Mudu dV rnn rr 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 23 性质性质3 设设u x y z 是区域 上的调和函数 则在球心的值等于它在 球面上的算术平均值 即 是区域 上的调和函数 则在球心的值等于它在 球面上的算术平均值 即 0 2 1 4 R u Mu M d R R 以以M0 为球心 为球心 R为半径的球面为半径的球面 0 111 4 R u u Mud rnn r 证明证明 22 111 444 RRR u dudud RnRR 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 24 性质性质4 设设u x y z 是区域 上的调和函数 是区域 上的调和函数 上连续 上连续 则 则 u x y z 的最大值和最小值都可以在边界面上达到 最大值原理 证明 设 上的最大值为 的最大值和最小值都可以在边界面上达到 最大值原理 证明 设 上的最大值为M M0 u x0 y0 z0 表示表示u x y z 在 内的最大值 反证法 在 内的最大值 反证法 222 0 000 2 8 MM v x y zu x y zxxyyzz R M M0 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 25 222 0 000 2 8 MM v x y zu x y zxxyyzz R 0000000 v x y zu x y zM 00 0 22 MMMM v x y zMM 0 0 0 xxyyzz vvv 0 xxyyzz vvv 矛盾矛盾 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 26 推论推论1 设在有界区域 内的调和函数 在闭区域 设在有界区域 内的调和函数 在闭区域 上为连 续 如果还在的边界面 上为常数 上为连 续 如果还在的边界面 上为常数K 则它在内各点的值也等 于常数 则它在内各点的值也等 于常数K 推论 推论2 设在有界区域 内的调和函数 在闭区域 设在有界区域 内的调和函数 在闭区域 上为连 续 如果还在的边界面 上恒为零 则它在内各点处的值都等 于零 推论 上为连 续 如果还在的边界面 上恒为零 则它在内各点处的值都等 于零 推论3 设在有界区域 内的两个调和函数 在闭区域上 设在有界区域 内的两个调和函数 在闭区域上 为连续 如果它们还在区域的边界面 上取相等的值 则它们 在内所取的值也彼此相等 为连续 如果它们还在区域的边界面 上取相等的值 则它们 在内所取的值也彼此相等 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 27 Laplace方程方程Dirichlet问题解的唯一性和稳定性 定理 问题解的唯一性和稳定性 定理1 Dirichlet内问题的解如果存在 必是唯一的 内问题的解如果存在 必是唯一的 fu u 1 1 0内在 fu u 2 2 0内在 21 uuv 0 21 ffuuv 0 21 uuv 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 28 定理定理2 Dirichlet内问题的解连续地依赖于所给的边界条件 内问题的解连续地依赖于所给的边界条件 11 1 0 fu u内在 22 2 0 fu u内在 21 uuv 21 0 ffv v内在 21 ff maxmin vvv 21 uu 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 29 定理定理3 Laplace方程的方程的Neumann问题的解若不考虑任意常 数的差别 具有唯一性 问题的解若不考虑任意常 数的差别 具有唯一性 S n u u 1 1 0 S n u u 2 2 0 21 uuu 0 0 21 21 SS n uu n u uuu 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 30 0 S Gxyzx y zV G Green函数函数 定义 满足以下定解问题的解称边界面为定义 满足以下定解问题的解称边界面为S的的Dirichlet问题 的 问题 的Green函数函数 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 31 0 S Gxyzx y zV G Gxyzx y zV 想象想象S为一个金属壳 并设金属壳接地 放置在坐标原点的 点电荷的场的势函数满足齐次边界条件的 解称为 为一个金属壳 并设金属壳接地 放置在坐标原点的 点电荷的场的势函数满足齐次边界条件的 解称为Green函数函数 0 21 uuG 4 1 0 1 MMr u 2 22 00 zyxMMMMr 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 32 2 21 0 0 1 4 SSM S u uGu r M M 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 33 定理 定理 Green函数具有对称性函数具有对称性 物理上称为互易性物理上称为互易性 即即 1221 MMGMMG 证 证 0 1 11 SMMMG VMMMMMG 0 2 22 SMMMG VMMMMMG 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 34 VV dVMMMMGdVMMMMG 1221 2112 MMGMMG 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 35 定理定理1 S uf x y zx y zV ux y z 的解的积分表达式为的解的积分表达式为 VS dMMGfdS n G MMu 000 证 证 0 S Gxyzx y zV G 0 0 S GMMMV G 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 36 v uu vdv uu v dV 000 V u Mu MMMdM 000 SV G u MMdSGf MdM n 0 00 0 SMS uMG M M 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 37 0 u 0 00 0 SMS uMG M M S dS n G MMu 0 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 38 00 0 0 111 ln ln 2 11 ln 2 L MMMM D MM u Mx yx yds rnr f x yd r LL uf x yx yD u ux yx y n 定理定理3 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 39 定理定理5 L uf x yx yD ux y 的解的积分表达式为的解的积分表达式为 0 000 LD G M M u MMdSG M Mf Md n 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 40 用镜像法求用镜像法求Green函数 两个基本性质 函数 两个基本性质 4 q u r 1 ln 2 q u r 0 0ur 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 41 1 半空间的半空间的Green函数函数 0 0 0z G zzyxG 4 1 0 1 MMr u 4 1 1 2 MMr u 1 1 4 1 10 21 MMrMMr uuG 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 42 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 43 0 01 0 111 4 z z G r M Mr M M 0 1 1 4 1 2 22 22 2 yxyx 4 1 1 3 0 3 MMr z MMr z z G n G 2 3 2 22 0 2 yx n G z 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 44 定理定理1 S uf x y zx y zV ux y z 的解的积分表达式为的解的积分表达式为 0 0000 SV G M M u MMdSG M Mf MdM n 定理定理5 L uf x yx yD ux y 的解的积分表达式为的解的积分表达式为 0 000 LD G M M u MMdSG M Mf Md n 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 45 0 0 z uf Mz ux y z 4 1 1 3 0 3 MMr z MMr z z G n G 2 3 2 22 0 2 yx n G z 0 SV G u MMdSGf M dM n 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 46 0 3 22 22 1 2 z G udS n x y dxdy xy 0 0 0 z uz ux y z 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 47 2 2 球形域上的球形域上的球形域上的球形域上的GreenGreen函数函数函数函数 0 2222 S G RzyxzyxG 1100 OMOM 2 10 R M z O y x 0 0 q 01 11 4 q u M r M Mr M M 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 48 01 01 0 11 4 q u M r M Mr M M MMqMM MM 00 1 R MMr MMr 01 OMMOM M 01 11 0 4 M S q u M r M Mr M M 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 49 1 1 4 1 100 MMr R MMr MG 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 50 利用利用利用利用GreenGreen函数求球内函数求球内函数求球内函数求球内DirichletDirichlet问题问题问题问题 0 2222 zyxu Rzyxu S cos2 0 22 00 rrMMr cos2 1 22 11 rrMMr 0 2 1 R cos2cos2 1 4 1 0 242 0 2 0 22 0 0 rRRr R rr MMG 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 51 22 00 0 33 222242 22 0000 22 0 3 22 2 00 cos 1cos 4 2cos2cos 42cos SS r R GG nr rRR r rrrRRr R R RR 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 52 定理定理1 S uf x y zx y zV ux y z 的解的积分表 达式为 的解的积分表 达式为 VS dMMGfdS n G MMu 000 定理定理5 L uf x yx yD ux y 的解的积分表达式为的解的积分表达式为 0 000 LD G M M u MMdSG M Mf Md n 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 53 22 2 0 000 3 00 22 2 00 sin 4 2cos RR uRd d RR 0 0 22 0 3 22 2 00 1 4 2cos SV SV G M M u MM dSGf M dM n R M dSGf M dM R RR 定理 的解的积分表 达式为 定理 的解的积分表 达式为 2222 S uf MxyzR uM 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 54 3 圆域上的圆域上的Green函数函数 222 0 0 L GMMxyR G 1 010 1111 22 MM MMMMMM r vlnlnln rrr 1 0 0 11 22 MM LL MM r R vlnln rr 01 0 0 111 2 MMMM R G M Mlnlnln rrr 01 0 111 2 MMMM R lnln rr r L 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 55 定理定理1 S uf x y zx y zV ux y z 的解的积分表 达式为 的解的积分表 达式为 VS dMMGfdS n G MMu 000 定理定理5 L uf x yx yD ux y 的解的积分表达式为的解的积分表达式为 0 000 LD G M M u MMdSG M Mf Md n 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 56 cos2 11 0 22 0 0 rrrr rMM 222 0 L uxyR ux y cos2 11 1 22 1 1 rrrr r MM 222224 0000 11 2 2cos2cos Lr R r R GGR lnln nrr rrr rr rR r rR Rr RrrRrr rRrr rrrr rr 4 0 222 0 0 22 0