高考数学一轮复习 2.8 二次函数和二次方程 理 课件.ppt

第8讲二次函数和二次方程 学习目标 1 理解并掌握二次函数的概念 图象 性质 2 能灵活地进行二次函数与一元二次方程 一元二次不等式三者之间的转化 基础检测 1 二次函数y x2 bx c图象的最高点为 1 3 则b与c的值是 a b 2 c 4b b 2 c 4c b 2 c 4d b 2 c 4 d 2 已知函数y x2 2x 3在闭区间 0 m 上有最大值3 最小值2 则m的取值范围是 a 1 b 0 2 c 1 2 d 2 c 解析 如图 可知应选c d 4 设函数f x mx2 mx 1 若f x 0的解集为r 则实数m的范围是 4 0 知识要点 1 叫做二次函数 它的定义域是 这是二次函数的一般形式 另外 还有顶点式 其中 h k 是抛物线顶点的坐标 两根式 a 0 其中x1 x2是抛物线与x轴交点的横坐标 函数y ax2 bx c a 0 r y a x h 2 k a 0 y a x x1 x x2 抛物线 其图象主要性质如下表 f p f q 2 f x t 的图象是由f x 的图象向左 或向右 平移 t 个单位而产生的 欲使存在t使x 1 m 时 有f x t x 则必须向右平移 且1和m分别是方程f x t x的两根 即的两根分别为1和m 得t 4 m 9 故最大的m值为9 点评 1 求二次函数的解析式可设 一般式 f x ax2 bx c a 0 顶点式 f x a x h 2 k 其中 h k 为顶点坐标 零点式 f x a x x1 x x2 其中x1 x2为f x 0的两根 2 函数图象平移的规律是 左加右减 二 二次函数的最值例2 1 求函数f x x2 2ax 1在 0 2 上的值域 2 求函数g x x2 8x在 t t 1 上的最大值 解析 1 f x x2 2ax 1 x a 2 1 a2 结合二次函数的图象 观察对称轴x a与区间 0 2 的关系 当a 0时 f x min f 0 1 f x max f 2 3 4a f x 的值域为 1 3 4a 当0 a 1时 f x min f a a2 1 f x max f 2 3 4a f x 的值域为 a2 1 3 4a 当1 a 2时 f x min f a a2 1 f x max f 0 1 f x 的值域为 a2 1 1 当a 2时 f x min f 2 3 4a f x max f 0 1 f x 的值域为 3 4a 1 2 g x x 4 2 16 当t 1 4 即t 3时 g x max g t 1 t 1 2 8 t 1 t2 6t 7 当t 4 t 1 即3 t 4时 g x max g 4 16 当t 4时 g x max g t t2 8t 点评 此题是含字母参数的问题 需分类讨论 二次函数在闭区间上的最值在顶点或端点处取得 第 1 小题是轴动区间定 第 2 小题是轴定区间动 三 三个二次 的问题例3已知f x 3x2 6 a ax b 1 若a 1 f x 0在r上恒成立 求实数b的取值范围 2 若不等式f x 0的解集为 x 1 x 2 求a b的值 3 若方程f x 0有一个根小于1 另一根大于1 当b 6且b为常数时 求实数a的取值范围 点评 1 中二次函数值恒大 小 于零 常结合二次函数的图象和判别式来考虑 2 中利用二次不等式与二次方程之间的关系 即二次不等式解集区间的端点值是对应方程的解 第 3 问是关于二次方程根的分布问题 可以借助二次函数的图象直观考察 主要从判别式 对称轴 端点值这三个方面入手考虑应满足的条件 f x 极小值 f 1 2 f x 极大值 f 1 2 x 0时 f x 0 f x min 2 对于任意的x1 r 总存在x2 1 1 使得g x2 f x1 当x 1 1 时 g x min 2 又g x x2 2ax a x a 2 a a2 1 当a 1时 g x min g 1 1 3a 由1 3a 2得a 1 2 当 1 a 1时 g x min g a a a2 由a a2 2得a 1或a 2 此时a不存在 3 当a 1时 g x min g 1 1 a 由1 a 2得a 3 综上所述 a的取值范围为 1 3 点评 本题综合考查了二次函数 二次方程 二次不等式等基础知识和运用这些知识分析问题 解决问题的能力 综合性强 1 二次函数 一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体 要深刻理解它们之间的关系 运用函数方程的思想 方法将它们进行转化 这是准确迅速解决此类问题的关键 2 对二次函数y ax2 bx c a 0 在 m n 的最值的研究是本节内容的重点 对如下结论必须熟练掌握 3 二次函数在某个区间上的最值问题的处理 常常要利用数形结合的思想和分类讨论的思想 当二次函数的表达式中含有参数或所给区间是变化的 需要考察二次函数的图象特征 开口方向 对称轴与该区间的位置关系 抓住顶点的横坐标是否属于该区间 结合函数的单调性进行分类讨论和求解 3 二次函数f x ax2 bx c a 0 当a 0且 0时f x 0恒成立 当a 0且 0时f x 0恒成立 4 二次函数问题大多通过数形结合求解 同时注意分类讨论和等价转化 2010湖南 已知函数f x x2 bx c b c r 对任意的x r 恒有f x f x 1 证明 当x 0时 f x x c 2 2 若对满足题设条件的任意b c 不等式f c f b m c2 b2 恒成立 求m的最小值 解析 1 易知f x 2x b 由题设 对任意x r 2x b x2 bx c 即x2 b 2 x c b 0恒成立 命题立意 本题考查二次函数与一次函数 导数的运算 函数的值域 不等式的证明 考查考生转化与化归的能力 本题属难题 1 已知二次函数f x 满足 对任意x r f x f 1 3 且f 0 2 则f x 的表达式为 a f x x2 2x 2b f x x2 2x 2c f x x2 2x 2d f x x2 2x 2 a 解析 设f x a x 1 2 3 a 0 又f 0 a 3 2 a 1 f x x 1 2 3 x2 2x 2 故选a 2 设abc 0 二次函数f x ax2 bx c的图象可能是 d 解析 当a 0时 b c异号 此时函数f x 的图象开口向下 若c 0 则两根为正数 若c 0 则两根为异号 但两根之和应小于0 故排除a b 3 函数f x 2 2x x2 x 0 3 的值域是 a 3 b 1 3 c 2 3 d 3 b 解析 f x x 1 2 3 x 0 3 fmax x 3 fmin x 1 故选b 4 若二次函数的图象经过点 0 1 对称轴为x 2 最小值是 1 则它的解析式为 y x 2 2 1 5 方程ax2 2x 1 0至少有一个负实数根的充要条件是 a 1 解析 当a 0时 原方程的解为x 满足题意 当a 0时 原方程有实根的充要条件是 4 4a 0 即a 1 设原方程ax2 2x 1 0 a 0 的两根为x1 x2 则原方程