高三二轮复习专题.doc

专题一 函数与导数模型一 函数的单调性模型函数的单调性是函数最重要的性质之一，在高考中，既可以在选择题或者填空题中单独考查函数的单调性，也可以在解答题中考查函数的单调性及其应用。研究函数的单调性，最常用的方法是：定义法、复合函数法和导数法。方法1 定义法 定义法是根据函数单调性的定义研究函数的单调性，确定函数单调区间的方法。这种方法的基本操作步骤是：对定义域的一个子区间（也可以是整个定义域）内的任意自变量，确定其函数值与的大小关系。如果，则函数在这个区间上单调递减。定义法是确定函数单调区间最原始也是最基本的方法，这种方法一般适用于相对较为简单的函数，如一次函数、二次函数或较为简单的分式函数等。例1 已知函数（1） 当a=4时，证明：函数在区间2,+）上单调递增；（2） 若函数在2,+）上单调递增，求实数a的取值范围。练习： 已知函数，若在区间2,+）上是增函数，则实数a的取值范围为 方法2 复合函数法这种方法是根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调区间，研究函数单调性的一种方法。这种方法的依据是：复合函数中，称为内层函数，成为外层函数，在函数的定义域内，当内外两层函数的单调性相同时，函数单调递增，当内外两层函数的单调性相反时，单调递减。例2 设，函数的定义域为m,n,值域为.(1) 求证：m3;（2）求a的取值范围。练习： 已知函数的值域为R，且在上是减函数，求实数a的取值范围。方法3 导数法导数法是根据导数与函数单调性的关系，确定函数的单调区间、研究函数单调性的一种方法。这种方法的操作步骤是：确定函数的定义域，对函数求导，解导数大于0和小于0的不等式，则函数在其导数值大于0的区间内单调递增，在导数值小于0的区间内单调递减。这种方法是确定函数单调区间，研究函数单调性的一般方法，适用于所有的可导函数，是高中阶段研究函数单调性的主要方法。例1 已知函数，确定函数的单调区间。练习： 已知函数当函数是奇函数时，确定函数的单调区间。模型二 函数的最值模型 方法一 换元法 所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变量去代替原式中的一部分或改造原来的式子，使它简化。在解决函数的最值问题中，换元法是一种重要的方法。 例1 若x是三角形中的最小内角，则函数的最大值是 A. -1 B. C. D. 练习：函数的最大值与最小值分别为 ， 方法二 有界性法 有界性法是根据正弦函数、余弦函数和其他一些特定函数的有界性，求解因变量的范围，从而确定函数最值得一种方法。这种方法适用于函数式中含有的情况。 例2 函数的最大值和最小值分别为 、 练习：的最大值和最小值之积为 方法三 判别式法 当函数式可以划归为关于自变量的一元二次方程时，通过这个一元二次方程的判别式得到因变量的不等式，从而求解函数最值的一种方法。 例3 函数的最小值和最大值的和是 。 练习： 若点在圆上，则最大值和最小值分别是 和 方法四 数形结合法 数形结合法是高中数学中应用最为广泛的方法之一，用数形结合法求解函数最值得基本思想是通过函数的图像直观地寻找函数取最值的点。 例4 用表示三个数中的最小值。则函数的最大值是 。 练习 函数 的最小值是 。 方法五 基本不等式法 基本不等式法是求函数最值得重要方法之一，它的依据是两个正数的均值不等式，即时，。当为定值时，有最小值；当为定值时，有最大值。 例5 ，则的最小值为 。 练习 设为正实数，且的最大值为 。 方法六 导数法 导数是研究函数性质的有力工具，利用导数求解函数最值是高中数学中最重要的方法之一。例6 已知是实数，函数，则在区间0,2上的最大值为 模型三 曲线的切线模型 相切是直线和曲线之间的一种重要的位置关系，在高中阶段所研究的曲线的切线只要有两种类型：一种是二次曲线的切线，一般的研究方法是判别式法；另一种是一般的函数图像构成的曲线，一般的研究方法是根据导数的几何意义，即所谓的导数法。 方法一 判别式法 当直线与二次曲线相切时，直线方程和曲线组成的方程组只有一组解，利用消元后的一元二次方程的判别式等于0确定切线方程的方法称为判别式法。例1 已知曲线，直线都相切，则直线的方程为 A. B.或 C. D. 练习： 曲线的斜率为-1的切线方程是A. B. C. 或 D.方法二 导数法 根据导数的几何意义，函数在某一点处的导数值就是函数图像上在该点处的切线的斜率，切线斜率求出后自然就可以求出切线方程，这种方法就是导数法。例2 已知函数有极大值9，若一条斜率为-5的直线是曲线的切线，求此直线方程。练习： 在直角坐标系中，设点是曲线与曲线的一个公共点，若在点处的切线与在点处的切线互相垂直，则实数的值是 。模型四 函数零点模型函数零点是函数应用的一个重要方面，根据函数的零点可以研究方程的近似解，了解函数的变化趋势等。在高中阶段，研究函数零点的主要方法有：零点定理法、数形结合法、单调性分析法。方法1 零点定理法定理：连续函数满足，则函数在区间内存在零点.例1 设函数A. 在区间内均有零点。B. 在区间内均无零点。C. 在区间内有零点，内无零点。D. 在区间内无零点，内有零点。练习： 已知定义在R上的函数，其中函数的图像是一条连续曲线，则方程在下面 范围内必有实数根。A. （0,1） B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 方法2 数形结合法函数的零点是函数图像与x轴焦点的横坐标，如果一个函数能通过变换化为两个函数之差的形式，则函数的零点就是这两个函数图像交点的横坐标，可以通过画出这两个函数的图像，观察图像的交点情况，对函数的零点做出判断，这种方法就是数形结合发。例2 函数的零点的个数为A. 1 B. 2 C. 0 D.不能确定练习： 函数 的零点个数为 。 方法3 单调性分析法当函数在一个区间上单调时，这个函数在该区间上最多只有一个零点，如果有零点，那么函数值在这个零点左右区间取不同的符号，这种解决函数零点问题的方法称为单调性分析法。例3 已知函数，当时，函数零点的个数是A. 0 B. 1 C. 2 D.3练习： 已知函数，若实数是函数的零点，且，则的值A.恒为正值 B.等于0 C.恒为负值 D.不大于0模型五 抽象函数模型抽象函数是一种只给出函数所具有的一些性质，而不给出具体解析式的函数，由于抽象函数问题对考生的逻辑思在维能力具有较好的检测作用，历年的高考中都不乏抽象函数的试题。解决抽象函数问题的常用方法有：归纳类比法、特殊赋值法、数形结合法等。方法1 归纳类比法就是通过 对象之间的类比归纳以及与具体的函数、数列等数学对象类比寻找解决抽象函数问题的一种方法。这种方法的特点通过有限归纳无限，通过不同数学对象之间的类比迁移解决问题的思路和方法，在解题时要有良好的联想意见。例1 函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数数，且对任意实数x都有，则的值是A. 0 B. C. 1 D.练习: 已知定义在R上的函数满足，且，则A. -2 B. -1 C. 0 D.1方法2 特殊赋值法这种方法是通过对抽象函数赋某些特殊的值，找到抽象函数的一些特殊函数值或是一些特殊的性质，根据这些特殊函数值和特殊性质解决抽象函数问题，这种方法要求具有敏锐的洞察力，洞察已知和所求问题的关系，合理确定取哪些特殊值。例2 定义在R上的函数满足.，则练习： 定义在R上的函数满足：，当，则是： A.奇函数并单调递增 B.奇函数并单调递减 C.偶函数并单调递增 D.偶函数并单调递减专题七 概率、统计模型一 古典概型模型古典概型是具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型。在高考中，常常将等可能事件、互斥事件、相互独立事件等多种事件交汇在一起进行考查，主要考查考生的综合计算能力。此类问题一般都能同时涉及几类事件，难度较大，因此在解答此类问题时，要在透彻理解各类事件的基础上，准确把握题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所包含的所属事件类型。特别要注意挖掘题目中的隐含条件。方法1 列举法 通过列表、树状图等方法确定有限个基本事件及满足条件的基本事件的个数，从而利用公式计算。此类试题的特点是基本事件个数较少。例1 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出2个球，求下列事件的概率：（1）A:取出的2个全是白球；（2）B：取出的2个球一个是白球，另一个是红球。练习： 5张奖券中有2张是能够中奖的，首先由甲，然后由乙各抽一张。求：（1）甲中奖的概率；（2）甲、乙都中奖的概率；（3）只有乙中奖的概率；（4）乙中奖的概率。方法2 求和法 当事件A与B互斥时，事件AB发生的概率可用P(AB)=P(A)+P(B)计算。例2 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为。现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有1人取到白球时终止。每个球在每一次被取出的机会是等可能的。求（1）球袋中原有白球的个数；（2）求取球2次终止的概率；（3）求甲取到白球的概率。 练习： 袋中装有m个红球和n个白球，mn2,这些红球和白球除了颜色不同以外，其余都相同。从袋中同时取出2个球。 （1）若取出2个球是红球的概率等于取出的是一红一白的2个球的概率的整数倍，试证：m必为奇数 （2）在m、n的数组中，若取出的球是同色的概率等于不同颜色的概率，试求m+n40的所有数组（m,n）方法3 正难则反法 对于较复杂的古典概率问题，若直接求解有困难时，可利用正难则反的思维策略，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率，此类问题的典型条件是“至多”、“至少”、否定或肯定等。例3 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件时一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为。（1）分别求出甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率。（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个是一等品的概率。练习： 某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名为全班第一的概率分别为：语文0.9，数学0.8，英语0.85，问这一次考试中：（1）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？（2）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？模型二 几何概型模型如果一类随机试验具有如下两个特征：（1）进行一次随机试验相当于在一个几何体G中取一点；（2）对G内任意子集事件“点取自”的概率与的长度、面积、体积成正比，而与g在G中的位置、形状无关。这类随机试验的数学模型称为几何摡型。在高考中，最为常见的的几何概型试题一般与线性规划知识交汇命制。方法1 数形结合法 根据已知条件做出几何体的大致图形，从而确定应用何种概率公式例1 已知关于x的一元二次函数（1）设集合P=1、2、3和Q=-1,1,2,3,4,分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数在区间1,+）上是增函数的概率；（2）设点（a,b）是区域内的随机点，求函数在区间1,+）上是增函数的概率。练习： 如图所示，已知等腰RtABC中，。 A(1) 在线段BC上任取一点M，求使得概率。(2) 在内任作射线AM，求使得概率。 方法2 构造模型法当一些代数问题的概率不能直接计算时，可通过建立函数关系，确定约束条件，构造几何模型求之。例2 在线段0,1上任意投三个点，问由0至三个点的三条线段，能够成三角形与不能构成三角形的两个事件中，哪一个事件的概率大？练习: 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一个昼夜内任何时刻到达是等可能的。（1） 如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等码头空出的概率。（2） 如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头 空出的概率。模型三 统计模型 方法1 图表信息法图标是高考考查统计模型的良好载体，我们可通过图像、图形或表格等形式获取并处理信息，常见的图表有频率分布直方图、折线图、条形图、条形图、扇形图等，表格有二联表、二元对应值表等。例1 某校高三有四个班，某次数学测试后，学校随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计，各班被抽取的学生人数恰好等差数列，人数最少的班被抽取了22人。抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示，120-130（包括120分但不包括130分）的频率为0.05 ，此分数段的人数为5人。（1） 问各