三角形全等证明经典中的经典.doc

菁优网三角形全等一解答题（共30小题）1（2012义乌市）如图，在ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF添加一个条件，使得BDFCDE，并加以证明你添加的条件是_（不添加辅助线） 2（2012邵阳）如图所示，AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD求证：ADBC 3（2012钦州）如图，点E，F在BC上，BE=CF，A=D，B=C，求证：AB=DC 4（2012广州）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，B=C求证：BE=CD 5（2012常州）如图，在ABC中，AB=AC，AD平分BAC求证：DBC=DCB 6（2011江津区）在ABC中，AB=CB，ABC=90，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF（1）求证：RtABERtCBF；（2）若CAE=30，求ACF的度数 7（2011北海）如图，已知CA=CD，1=2（1）请你添加一个条件使ABCDEC，你添加的条件是_；（2）添加条件后请证明ABCDEC 8（2001黄冈）如图，在MNP中，MNP=45，H是高MQ和高NR的交点，求证：HN=PM 9（2013张湾区模拟）如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACB=ECD=90，D为AB边上一点求证：AE=BD 10（2012重庆模拟）已知：如图，在ABC中，ACB=90点D是AB的中点，延长BC到点F，延长CB到点E，使CF=BE，连接DE、DC、DF求证：DE=DF 11（2012石景山区二模）已知，如图，点D在边BC上，点E在ABC外部，DE交AC于F，若AD=AB，1=2=3求证：BC=DE 12（2012平谷区一模）已知：如图，ABC，D为BC的中点，BEAD的延长线于E，CFAD于F求证：BE=CF 13（2012门头沟区一模）已知：如图，ABED，AE交BD于点C，且BC=DC求证：AB=ED 14（2012长春模拟）已知：如图，在ABC中，ACB=90，CDAB于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F，AB=6，求FC的长 15（2011延庆县二模）如图，ABC中，ABC=BAC=45，点P在AB上，ADCP于点D，BECP延长线于点E，求证：CD=BE 16（2011延庆县一模）如图，AB=AE，AD=AC，BAD=EAC，BC，DE交于点O求证：ABC=AED 17在四边形ABCD中，ADBC，点E在直线AB上，且DE=CE（1）如图（1），若DEC=A=90，BC=3，AD=2，求AB的长；（2）如图（2），若DE交BC于点F，DFC=AEC，猜想AB、AD、BC之间具有怎样的数量关系？并加以证明 18已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF求证：ABC=DEF 19如图，ABBC，DCBC，垂足分别是点B、C，点E是线段BC上一点，且AEDE，AE=ED，如果BE=3，AB+BC=11，求AB的长 20如图，在RtABC中，CAB=90，AB=AC，直线DE过点A，CDDE，BEDE，CD=4，BE=3，求DE的长 21等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADF放在一起，使B、C、D三点在同一直线上，求证：FCBD 22如图，在ABC的外部，分别以AB、AC为直角边，点A为直角顶点，作等腰直角ABD和等腰直角ACE，CD与BE交于点P试证：（1）CD=BE；（2）BPC=90 23已知，如图1，ABBD于B，EDBD于D，点C在直线BD上且与F重合，AB=FD，BC=DE（1）请说明ABCFDE，并判断AC是否垂直FE？（2）若将ABC 沿BD方向平移至如图2的位置时，且其余条件不变，则AC是否垂直FE？请说明为什么？ 24在ABC和EDC中，ACB=ECD=90，BC=kAC，CD=kCE（1）如图1，当k=1时，AE与BD的数量关系是：_，位置关系是：_；（2）如图2，当k1时，请探索AE与BD的关系，并证明；（3）如图3，在（2）的条件下，分别在BD、AE上取点M、N，使得BD=mMD，AE=mNE，试探索CN与CM的关系，并证明 25生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：（1）请你计算出图1中的ABC的度数（2）图2中AEBC，请你计算出AFD的度数 26（1）如图1，A=70，BP、CP分别平分ABC和ACB，则P的度数是_ （2）如图2，A=70，BP、CP分别平分EBC和FCD，则P的度数是_（3）如图3，A=70，BP、CP分别平分ABC和ACD，求P的度数27如图，B，C，E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连接BG，DE（1）观察图形，猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若延长BG交DE于点H，BH与DE之间的位置关系，并说明你的理由 28如图，点C在线段AB上，ADEB，AC=BE，AD=BC，CF平分DCE试探索CF与DE的位置关系，并说明理由 29如图，已知AC平分BAD，CEAB于E，CFAD于F，且BC=CD（1）试说明CE=CF（2）BCE与DCF全等吗？试说明理由（3）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求CE的长 30把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ABCD以D为顶点作MDN，交边AC、BC于M、N（1）若ACD=30，MDN=60，当MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当ACD+MDN=90时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图，在（2）的结论下，若将M、N分改在CA、BC的延长上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 2014年4月1805827的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2012义乌市）如图，在ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF添加一个条件，使得BDFCDE，并加以证明你添加的条件是DE=DF（或CEBF或ECD=DBF或DEC=DFB等）（不添加辅助线）考点：全等三角形的判定菁优网版权所有专题：开放型分析：由已知可证ECDFBD，又EDCFDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等故添加的条件是：DE=DF（或CEBF或ECD=DBF或DEC=DFB等）；解答：解：（1）添加的条件是：DE=DF（或CEBF或ECD=DBF或DEC=DFB等）（2）证明：在BDF和CDE中BDFCDE（SAS）点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件2（2012邵阳）如图所示，AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD求证：ADBC考点：全等三角形的判定与性质；平行线的判定菁优网版权所有专题：证明题；压轴题分析：根据SAS证AODCOB，推出A=C，根据平行线的判定推出即可解答：证明：在AOD和COB中，AODCOB（SAS）A=C，ADBC点评：本题考查了平行线的判定和全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS3（2012钦州）如图，点E，F在BC上，BE=CF，A=D，B=C，求证：AB=DC考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：利用全等三角形的判定定理AAS证得ABFDCE；然后由全等三角形的对应边相等证得AB=CD解答：证明：点E，F在BC上，BE=CF，BE+EF=CF+EF，即BF=CE；在ABF和DCE中，ABFDCE（AAS），AB=CD（全等三角形的对应边相等）点评：本题考查了全等三角形的判定与性质三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件4（2012广州）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，B=C求证：BE=CD考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：已知图形A=A，根据ASA证ABEACD，根据全等三角形的性质即可求出答案解答：证明：在ABE和ACD中，ABEACD（ASA），BE=CD点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定方法有：SAS，ASA，AAS，SSS，用ASA（还有A=A）即可证出ABEACD5（2012常州）如图，在ABC中，AB=AC，AD平分BAC求证：DBC=DCB考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题；压轴题分析：利用SAS证得ACDABD，从而证得BD=CD，利用等边对等角证得结论即可解答：解：AD平分BAC，BAD=CAD在ACD和ABD中，ACDABD，BD=CD，DBC=DCB点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，特别是在应用SAS进行判定三角形全等时，主要A为两边的夹角6（2011江津区）在ABC中，AB=CB，ABC=90，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF（1）求证：RtABERtCBF；（2）若CAE=30，求ACF的度数考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：几何图形问题；证明题；数形结合分析：（1）由AB=CB，ABC=90，AE=CF，即可利用HL证得RtABERtCBF；（2）由AB=CB，ABC=90，即可求得CAB与ACB的度数，即可得BAE的度数，又由RtABERtCBF，即可求得BCF的度数，则由ACF=BCF+ACB即可求得答案解答：（1）证明：ABC=90，CBF=ABE=90，在RtABE和RtCBF中，RtABERtCBF（HL）；（2）解：AB=BC，ABC=90，CAB=ACB=45，又BAE=CABCAE=4530=15，由（1）知：RtABERtCBF，BCF=BAE=15，ACF=BCF+ACB=45+15=60点评：此题考查了直角三角形全等的判定与性质此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用7（2011北海）如图，已知CA=CD，1=2（1）请你添加一个条件使ABCDEC，你添加的条件是CB=CE；（2）添加条件后请证明ABCDEC考点：全等三角形的判定；等式的性质菁优网版权所有专题：证明题分析：（1）根据SAS即可得到答案；（2）根据等式的性质求出ACB=ECD，根据全等三角形的判定SAS证明即可解答：（1）解：添加的条件是：CB=CE（2）证明：1=2，1+ACE=2+ACE，ACB=ECD，在ABC和DEC中，ABCDEC点评：本题主要考查对全等三角形的判定，等式的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键8（2001黄冈）如图，在MNP中，MNP=45，H是高MQ和高NR的交点，求证：HN=PM考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：根据三角形的内角和定理求出1=2，求出QMN=MNQ，推出QM=QN，证RtHQN和RtPQM，即可推出答案解答：如图1MQPN，MNP=45，QMN=45=QNM，QM=QN，NRPM，1+4=90，又2+3=90，3=4，1=2，在HQN和PQM中，HQNPQM（ASA），HN=PM点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定等知识点，关键是推出HQNPQM，题目比较典型，是一道比较好的题目9（2013张湾区模拟）如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACB=ECD=90，D为AB边上一点求证：AE=BD考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题；压轴题分析：要证AE=BD，经过观察分析我们可以将这两条线段放在三角形ACE和三角形BCD中，证其全等即可首先我们根据ACB和ECD都是等腰直角三角形，得出两对对应边的相等，然后又根据ACB=ECD，都减去中间的公共角ACD再得一对对应角的相等，根据SAS证三角形ACE和三角形BCD的全等，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证解答：证明：ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACB=ECD=90，EC=CD，AC=CB，ACBACD=ECDACDACE=BCDACEBCDAE=BD点评：解此题时要充分利用等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的证明以及对全等三角形的性质的理解掌握10（2012重庆模拟）已知：如图，在ABC中，ACB=90点D是AB的中点，延长BC到点F，延长CB到点E，使CF=BE，连接DE、DC、DF求证：DE=DF考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题；压轴题分析：欲证DE=DF，可利用三角形全等来证，经过观察我们不难发现要证的两条线段分别放在三角形DCE和三角形DBF中，首先我们根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出一对边CD与BD的相等，再根据等边对等角得一对对应角的相等，最后根据题中已知的CF=BE，都加上中间的公共部分BC可得CE和BF这对对应边的相等，利用SAS证得到三角形的全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证解答：证明：在ABC中，ACB=90，点D是AB的中点，CD=BD，DCE=DBF，CF=BE，CF+BC=BE+BC，即CE=BF，在DCE和DBF，DCEDBF（SAS），DE=DF点评：熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等角对等边这一性质的运用全等三角形的判定与性质是我们初中数学的重点，是中考必考的题型11（2012石景山区二模）已知，如图，点D在边BC上，点E在ABC外部，DE交AC于F，若AD=AB，1=2=3求证：BC=DE考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：根据1=2，求出BAC=DAE，根据DFC=AFE，3=1，求出C=E，根据AAS证ABCADE即可解答：证明：1=2=3，2+DAC=1+DAC，BAC=DAE，又DFC=AFE，3=1，由三角形的内角和定理得：C=E，在ABC和ADE中，ABCADE（AAS），BC=DE点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出证明ABC和ADE全等的三个条件，题目比较典型，难度适中12（2012平谷区一模）已知：如图，ABC，D为BC的中点，BEAD的延长线于E，CFAD于F求证：BE=CF考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：根据AAS证BDECDF，根据全等三角形的判定推出即可解答：证明：D为BC的中点，BD=CD，BEAD，CFAD，E=CFD=90，在BDE和CDF中，BDECDF（AAS），BE=CF点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出BDECDF，全等三角形的判定方法有：SAS，ASA，AAS，SSS13（2012门头沟区一模）已知：如图，ABED，AE交BD于点C，且BC=DC求证：AB=ED考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：根据平行线性质得出ABD=EDB，根据ASA证ABCEDC，根据全等三角形的性质推出即可解答：证明：ABED，ABD=EDB，在ABC和EDC中，ABCEDC，AB=ED点评：本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出ABCEDC，题目比较典型，难度适中14（2012长春模拟）已知：如图，在ABC中，ACB=90，CDAB于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F，AB=6，求FC的长考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有分析：由已知说明FCE=B，FEC=ACB，再结合EC=BC证明FECACB，利用全等三角形的性质即可证明FC=AB=6解答：解：FEAC于点E，ACB=90，FEC=ACB=90F+ECF=90又CDAB于点D，A+ECF=90A=F在ABC和FCE中，ABCFCE（AAS），AB=FCAB=6，FC=6点评：此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，要注意利用此题中的图形条件，同角的余角相等15（2011延庆县二模）如图，ABC中，ABC=BAC=45，点P在AB上，ADCP于点D，BECP延长线于点E，求证：CD=BE考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：要证CD=BE，经过观察不难发现这两条线段分别放在两个三角形中，那就需要证这两个三角形全等，由全等可得对应边的相等，首先由ADCP，BECP得到一对直角的相等，再由ABC=BAC=45，根据等角对等边得出一对边AC和BC的相等，最后根据同角的余角相等又得一对角的相等，根据AAS证得了三角形的全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证解答：证明：ADCP，BECPBEC=ADC=90ABC=BAC=45AC=BC，ACB=90BCD+ACD=DAC+ACDDAC=BCD在BCE和ACD中，BEC=ADC=90，DAC=BCD，AC=BCBECACDBE=CD点评：此题要求学生对全等三角形的性质和判定的灵活掌握，同时要求学生掌握同角的余角相等这一性质，值得学生注意的是三角形全等的证明是我们初中数学的重点16（2011延庆县一模）如图，AB=AE，AD=AC，BAD=EAC，BC，DE交于点O求证：ABC=AED考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：根据已知条件BAD=EAC，可知BAC=EAD，所以有 ，可证ABCAED（SAS）；然后根据全等三角形的对应角相等求得ABC=AED解答：证明：BAD=EAC（已知），BAC=EAD在ABC和AED中，ABCAED（SAS）ABC=AED（全等三角形的对应角相等）点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、SSA、HL判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件17在四边形ABCD中，ADBC，点E在直线AB上，且DE=CE（1）如图（1），若DEC=A=90，BC=3，AD=2，求AB的长；（2）如图（2），若DE交BC于点F，DFC=AEC，猜想AB、AD、BC之间具有怎样的数量关系？并加以证明考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质菁优网版权所有专题：证明题；几何综合题分析：（1）推出ADE=BEC，根据AAS证AEDCEB，推出AE=BC，BE=AD，代入求出即可；（2）推出A=EBC，AED=BCE，根据AAS证AEDBCE，推出AD=BE，AE=BC，即可得出结论解答：（1）解：DEC=A=90，ADE+AED=90，AED+BEC=90，ADE=BEC，ADBC，A=90，B+A=180，B=A=90，在AED和CEB中，AEDCEB，AE=BC=3，BE=AD=2，AB=AE+BE=2+3=5（2）AB+AD=BC，证明：ADBC，A=EBC，DFC=AEC，DFC=BCE+DEC，AEC=AED+DEC，AED=BCE，在AED和BCE中，AEDBCE，AD=BE，AE=BC，BC=AE=AB+BE=AB+AD，即AB+AD=BC点评：本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，平行线的性质等知识点的运用，主要培养学生综合运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中18已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF求证：ABC=DEF考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：根据等式的性质求出BC=EF，根据全等三角形的判定定理SSS证ABCDEF，根据全等三角形的性质推出即可解答：证明：BE=CF，BE+CE=CF+CE，BC=EF，在ABC和DEF中，ABCDEF（SSS），ABC=DEF点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等19如图，ABBC，DCBC，垂足分别是点B、C，点E是线段BC上一点，且AEDE，AE=ED，如果BE=3，AB+BC=11，求AB的长考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有分析：求出A=DEC，B=C=90，根据AAS证ABEECD，推出AB=CE，求出AB+BC=2AB+BE=11，把BE=3代入求出AB即可解答：解：ABBC，DCBC，垂足分别是点B、C，B=C=90A+AEB=90，AEDE，AED=90，AEB+AED+DEC=180，AEB+DEC=90，A=DEC，在ABE和ECD中，ABEECD（AAS），AB=CE，BC=BE+CE=BE+AB，AB+BC=2AB+BE=11，BE=3，AB=4点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，注意：全等三角形的对应边相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS20如图，在RtABC中，CAB=90，AB=AC，直线DE过点A，CDDE，BEDE，CD=4，BE=3，求DE的长考点：全等三角形的判定与性质；垂线；三角形内角和定理菁优网版权所有专题：证明题分析：根据垂线的定义和三角形的内角和定理求出2=3，证出ADCBEA，推出AD=BE，CD=AE，即可求出答案解答：解：CAB=90，1+2=90，CDDE，BEDE，D=E=90，1+3=90，2=3，AB=AC，ADCBEA，AD=BE，CD=AE，CD=4，BE=3，AD=3，AE=4，DE=7，答：DE的长是7点评：本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，垂线的定义等知识点的理解和掌握，能推出ADCBEA是解此题的关键21等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADF放在一起，使B、C、D三点在同一直线上，求证：FCBD考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：要证FCBD，需证FCB=90，需证ACB+FCA=90可由等腰直角三角形提供求证ABDCAF即可解答：证明；三角形ABC和三角形ADF都是等腰直角三角形，AB=AC，B=ACB=45，AF=AD，ABDCAF，FCA=B=45，B、C、D三点在同一直线上，FCB=ACB+FCA=45+45=90，FCBD点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可做题时，一定要仔细认真22如图，在ABC的外部，分别以AB、AC为直角边，点A为直角顶点，作等腰直角ABD和等腰直角ACE，CD与BE交于点P试证：（1）CD=BE；（2）BPC=90考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：（1）要证CD=BE，就得证CD和BE所在的两三角形BAE和DAC全等，两对应边相等和角相等（2）由（1）得ABE=ADC通过等量代换和外角的性质得出解答：证明：（1）在等腰直角ABD和等腰直角ACE中AD=AB，AC=AE，BAD=EAC=90，ADB=ABD=45BAE=DAC在BAE和DAC中BAEDACCD=BE（2）由BAEDAC得到ABE=ADCADB+ABD=90，ADC+ABD+BDC=90=ABE+ABD+BDC，即DBP+BDC=90BPC=90点评：此题考查的知识点是全等三角形的判定和性质的应用关键是证BAE和DAC全等，通过等量代换和外角的性质得出BPC=9023已知，如图1，ABBD于B，EDBD于D，点C在直线BD上且与F重合，AB=FD，BC=DE（1）请说明ABCFDE，并判断AC是否垂直FE？（2）若将ABC 沿BD方向平移至如图2的位置时，且其余条件不变，则AC是否垂直FE？请说明为什么？考点：全等三角形的判定与性质；对顶角、邻补角；垂线；三角形内角和定理菁优网版权所有专题：证明题分析：（1）根据全等三角形的判定SAS证ABCFDE，推出A=EFD，求出A+ACB=90，推出ACE=90即可；（2）根据F=A，AMN=FNB，求出A+AMN=90，根据三角形的内角和定理和垂直定义即可推出答案解答：解：（1）ACEF理由是：ABBD于B，EDBD，B=D=90，在ABC和FDE中ABCFDE，A=EFD，B=90，A+ACB=90，ACB+ECD=90，ACE=18090=90，ACCE，即ACFE（2）AC垂直FE，理由是A=F（已证），ABC=ABF=90，AMN=FMB，F+FMB=90，A+AMN=90，ANM=18090=90，ACFE点评：本题主要考查对全等三角形的性质和判定，垂线，对顶角和邻补角，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，推出A=F是解此题的关键24在ABC和EDC中，ACB=ECD=90，BC=kAC，CD=kCE（1）如图1，当k=1时，AE与BD的数量关系是：相等，位置关系是：垂直；（2）如图2，当k1时，请探索AE与BD的关系，并证明；（3）如图3，在（2）的条件下，分别在BD、AE上取点M、N，使得BD=mMD，AE=mNE，试探索CN与CM的关系，并证明考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：（1）取k=1时，BC=AC，CD=CE由BCD+BCE=ACE+BCE=90，得知BCD=ACE，从而证明ACEBCD（SAS）；然后根据全等三角形的对应变相等，对应角相等求得AE=BD，CAE=CBD；最后延长AE交BD于点G构建三角形ABG，根据三角形的内角和求得AGB=90，即AEBD；（2）当k1时，BC=kAC，CD=kCE求得=k，由BCD+BCE=ACE+BCE=90，得知BCD=ACE，从而证明ACEBCD（SAS）；然后根据相似三角形的对应变相等，对应角相等求得AE=BD，CAE=CBD；最后延长AE交BD于点G构建三角形ABG，根据三角形的内角和求得AGB=90，即AEBD；（3）在（2）的基础上，求得ACEBCD，又BD=mMD，AE=mNE，所以=，CDB=CEA，从而证明CNECMD（SAS），然后根据相似三角形的对应角相等求得BCM=ACN，所以NCM=BCN+ACE=ACB=90，即NCM=90解答：解：（1）当k=1时，BC=AC，CD=CE在ACE与BCD中，BCD+BCE=ACE+BCE=90，BCD=ACE，BC=AC，CD=CE，ACEBCD（SAS）；AE=BD（对应边相等），CAE=CBD（对应角相等）；延长AE交BD于点GACB=90，ABC+BAC=90；在ABG中，ABG+BAG=ABC+BAG+CBD=ABC+BAC=90，AGB=90，AGBD，即AEBD；（2）当k1时，BC=kAC，CD=kCE在ACE与BCD中，BCD+BCE=ACE+BCE=90，BCD=ACE，=k，ACEBCD（SAS）；CAE=CBD（对应角相等）；延长AE交BD于点GACB=90，ABC+BAC=90；在ABG中，ABG+BAG=ABC+BAG+CBD=ABC+BAC=90，AGB=90，AGBD，即AEBD；（3）CNCM证明：ACEBCD（SAS），CDB=CEA（相似三角形的对应角相等），=（相似三角形的对应边成比例）；又BD=mMD，AE=mNE，=，=；在CNE和CMD中，=，CDB=CEA，CNECMD（SAS），MCD=NCE；BCM=ACN，NCM=BCN+ACE=ACB=90，即NCM=90，CNCM点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质解答此题时，关键是根据全等三角形或相似三角形的对应角相等求得AGB=90，NCM=90从而证明AEBD，CNCM25生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：（1）请你计算出图1中的ABC的度数（2）图2中AEBC，请你计算出AFD的度数考点：平行线的性质；三角形内角和定理菁优网版权所有专题：综合题分析：（1）由F=30，EAC=45，即可求得ABF的度数，又由FBC=90，易得ABC的度数；（2）首先根据三角形内角和为180，求得C的度数，又由AEBC，即可求得CAE的值，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得AFD的度数解答：解：（1）F=30，EAC=45，ABF=EACF=4530=15，FBC=90，ABC=FBCABF=9015=75；（2）B=60，BAC=90，C=30，AEBC，CAE=C=30，AFD=CAE+E=30+45=75点评：此题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质以及平行线的性质等知识题目难度不大，注意数形结合思想的应用26（1）如图1，A=70，BP、CP分别平分ABC和ACB，则P的度数是125（2）如图2，A=70，BP、CP分别平分EBC和FCD，则P的度数是55（3）如图3，A=70，BP、CP分别平分ABC和ACD，求P的度数考点：三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形的外角性质菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）根据BP、CP分别平分ABC和ACB，得到PBC=ABC，PCB=ACB，求出PBC+PCB=55，根据三角形的内角和定理求出P即可；（2）根据EBC=A+ACB，FCB=A+ABC，求出EBC+FCB=250，根据BP、CP分别平分EBC和FCD，得到PBC=EBC，PCB=FCB，求出PBC+PCB=125，即可求出答案；（3）根据ACD=A+ABC，和CP平分ACD，BP平分ABC，得到PBC=ABC，PCA=ACD=A+ABC，根据P=180（PBC+PCA+ACB），得到A即可解答：解：（1）BP、CP分别平分ABC和ACB，PBC=ABC，PCB=ACB，PBC+PCB=（ABC+ACB），=（180A）=55，P=180（PCB+PBC）=125，故答案为：125（2）EBC=A+ACB，FCB=A+ABC，EBC+FCB=A+ACB+A+ABC，=180+70=250，BP、CP分别平分EBC和FCD，PBC=EBC，PCB=FCB，PBC+PCB=（EBC+FCB），=125，P=180（PBC+PCB）=55，故答案为：55（3）ACD=A+ABC，CP平分ACD，BP平分ABC，PBC=ABC，PCA=ACD=A+ABC，P=180（PBC+PCA+ACB），=A=35，即P等于A的一半，答：P的度数是35点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角，角平分线的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键27如图，B，C，E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连接BG，DE（1）观察图形，猜想BG与DE