武汉理工大学数值方法作业.docx

数值方法作业1.数列an满足：an=10an-1，a0=2，当取a0=1.41时，求a10的误差。解：设： a10-c=10(an-c) 解得： c=19则： a10=10102-19+19 a10*=10101.41-19+19 e*=a10*-a10=1010(1.41-2)取2=1.414则： e*=1010(1.41-1.414)=4107.2.当x =1，-1，2时 = f(x) =0，-3，4，求的二次插值多项式。(1) 用单项式基底。(2) 用拉格朗日插值基底。(3) 用牛顿基底。解：xi= 1，-1，2（i=0，1，2）； f(xi)=0，-3，4 （i=0，1，2）(1)设： fx=a0+a1x+a2x2则关于系数a0，a1，a2的3元线性方程组： a0+a1x0+a2x02=f(x0)a0+a1x1+a2x12=f(x1)a0+a1x2+a2x22=f(x2 解方程组得： a0=-73a1=32a2=56可得： fx=-73+32x+56x2(2) 设： fx=a0y0+a1y1+a2y2a0有两个零点x1，x2，故可以表示为：a0=A(x-x1)(x-x2)其中A为待定系数，由fx0=y0得：A=1(x0-x1)(x0-x2)于是 a0=(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2)同理可得: a1=(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x1-x2) a2=(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1)带入xi，f(xi)可得：fx=-73+32x+56x2（3）设fx=a0+a1x-1+a2(x-1)(x+1)则： a0=fx0=0a1=fx0,x1=32a2=fx0,x1,x2=56带入得: fx=-73+32x+56x2综上可得：三种方法得到的多项式是相同的。3.在一化学反应中，由试验得分解物浓度与时间关系如下：时间t/s0510152025303540455055浓度y/（）01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64用最小二乘发求y= f(t).设： y=aebt。则： Iny=Ina+b1t。设： Iny=Z，Ina=A， 1t=x 。则： Z=A+bx。表中数据变为：x=1/t0.20000.1000 0.06670.05000.04000.03330.02860.02500.02220.02000.0182Z=Iny0.23900.77011.05081.23551.35331.42311.47481.50631.52171.53041.5347则： 0,0=12=11 0,1=1*x=0.6040 1,1=1*x*x=0.0623 0,Z=1*Z=13.6396 1,Z=1*x*Z=0.5303得到关于A，b的方程组： 11A+0.6040b=13.63960.6040A+0.0623nb=0.5303解得： A=1.652b=-7.504则： a=eA=5.22综上可得： y=5.22e-7.504t4.分别用复合Simpson求积公式和复合梯形公式求积分： 19x（取n=4）并比较两者的精度。解：根据题意：将区间1,9四等分。则h=9-14=2。(1) 复合Simpson求积公式： sn=h6k=0n-1fxk+4fxk+12+fk+1 =h6fa+4k=0n-1fxk+12+2k=1n-1f(xk)+f(b) =131+9+42+4+6+8+2(3+5+7) =17.3320873(2) 复合梯形公式： sn=h2k=0n-1f(xk)+f(xk+1) =h2fa+2k=1n-1fxk+f(b) =1+3+2(3+5+7) =17.2277402(3) 19x的精确值： 19x=23x3219 =23(27-1) =17.3333333综上可得：复合Simpson求积公式精度比较高。5.a1=1，an+1=1+1an。讨论an的收敛性。解： x=1+1x.则：当x1.5,2时，x1.5,2，|x|=1x21.所以x是1.5,2的压缩映射，an收敛于不动点b.即 b=1+1b b=1+52综上：an收敛于不动点1+52。6.求x=tanx的最小正根。解：y=tanx 与 y=x 的图像如下图所示：根据图像可得：方程的根处于区间，32。设： fx=tanx-x则： fx=sec2x-1=tan2x xk+1=xk-tanxk-xktan2xk取： x0=4.6。迭代过程为：kxk04.614.54573212224.50614558834.49417163044.49341219754.49340945864.493409458当迭代了6次之后，得到的值已相当精确。则方程x=tanx的最小正根为：x=4.493409458。7.matlab矩阵基本运算。矩阵A=2-125-33-10-2，通过matlab计算可得：A的值a=det(A)=-1； A的迹b=trace(A)=-3；A的秩r=rank(A)=3；A的范数N=norm（A）= 7.3918；N= norm(A，inf)=11；N= norm(V，1)= 1.6970； A的逆矩阵invA=-62-3-72-43-118.matlab作图：方波的傅里叶变换。9.求解初值问题。 y=y-2xy，0x1，y0=1.解：运用四阶龙格-库塔公式，取步长h=0.2，其具体形式为： yn+1=yn+h6(K1+2K2+2K3+K4)K1=yn-2xnynK2=yn+h2K1-2xn+hyn+h2K1K3=yn+h2K2-2xn+hyn+h2K2K4=yn+hK3-2(xn+h)yn+hK3其计算结果yn与准确值y(xn)如下表。xnyny(xn)xnyny(xn)xnyny(xn)0.21.18321.18320.61.48331.48321.01.73211.73210.41.34171.34160.81.61251.612510.用迭代法求解线性方程组 8x1-3x2+2x3=204x1+11x2-x3=336x1+3x2+12x3=36解：原方程组可改写为：x1=18(3x2-2x3+20)x2=111(-4x1+x3+33)x3=112(-6x1-3x2+36) 取x(0)=(0,0,0)T，带入迭代公式：x1(k+1)=3(x2k-2x3k+20)8x2(k+1)=(-4x1k+x3k+33)/11x3(k+1)=(-6x1k-3x2k+36)/12x1(k+1)=3(x2k-2x3k+20)8x2(k+1)=(-4x1k