第九章SECTION2线性空间与线性子空间.doc

2 线性空间与线性子空间一、 线性空间线性运算 设F是一个域，其元素a，b，c，作为数量；V是任一种类对象的集，其元素用希腊字母,表示. 确定两个运算法则： 1o V中元素的加法. 对V中任二元素，总有唯一确定的元素与它们对应，称为与之和，记作. 2o F中的数量与V中元素的乘法. 对F中任一数a与V中任一元，总有唯一确定的元素与它们对应，称为a与的数乘，记作 这两个运算法则称为线性运算. 线性空间及其性质 设F是一个域，V是任一种类对象的集，若对线性运算满足以下条件，则称V为域F上的线性空间： (i) V是一个加法群； (ii) 对任意元aF与V，对应着唯一确定的一个元 (iii) 满足分配律和结合律，即对有 域F的元素称为线性空间的数量，V的元素称为它的矢量，因而线性空间又称矢量空间. 加法群的单位元称为零矢量，记作0，（-1）是V的逆元，称为负矢量. 实数域上的线性空间称为实线性空间；复数域上的线性空间称为复线性空间. 例1 三维空间中的矢量全体组成一个实线性空间. 例2 数域F上的多项式环Fx，按照通常的多项式加法与多项式乘法，组成数域F上的线性空间. 例3 元素属于数域F的mn矩阵，按照矩阵的加法和矩阵与数的乘法，组成数域F上的线性空间. 例4 按照通常的加法和乘法，实数全体是实数域R上的线性空间. 复数全体是复数域C上的线性空间. 任一域是用自己当作数量域的线性空间. 例5 把在一个实区间（a，b）中定义的每个连续实函数当作一个元素，任意两个元素f与g的和记作，是在中定义的一个连续实函数，它在每一点x的值规定为又把一个元素f乘实数c所得到的元素规定为 则这些元素全体组成一个实线性空间. 线性空间有以下性质：1o零矢量是唯一的. 2o负矢量是唯一的. 3o. 4o若则c=0或=0. 线性相关与线性无关 域F上的线性空间V中一组有限个矢量,如果对,仅当时等式 才成立，则称矢量组为线性无关，否则称为线性相关. 若矢量组线性相关，则其中至少有一个矢量是其余矢量的一个线性组合： 含零矢量0的任一组矢量是线性相关的. 假定域F上的线性空间V上又定义了收敛性（第二十一章，3，四）,V中一组无限多个矢量,如果对F中的仅当时等式 才成立，则称矢量为线性无关，否则称为线性相关. 基底与坐标 域F上的线性空间V中一组矢量如果满足 (i) 是线性无关的; (ii) V中任一矢量都是矢量的一个有限线性组合；则称为V的一个有限基底，也称生成（或张成）这个空间，为空间的一组生成元. 设为V的一组基底，则V中任一矢量一定可以用的线性组合来表示： 式中复数是唯一确定的，它称为矢量关于基底的坐标. 如果V有一个有限基底，就称V是一个有限维线性空间，否则，称为无限维空间. 有限维线性空间V的基底的矢量个数称为V的维数，记作. 第一维数定理 域F上有限维线性空间V的任意两个基底有相同个数的元素. 推论 设为一个n维线性空间V中一组线性无关的矢量，显然，则在V中存在一个基底使得是它的一部分. 二、 线性子空间 线性子空间 设S是域F上线性空间V的一个非空子集，若S对于V的线性运算也构成线性空间，则称S为V的一个线性子空间，简称为子空间. 设S是域F上线性空间V的一个子集，若关于线性运算是封闭的，即(i) 若则；(ii) 若,则；则S是V的子空间. 例如，在线性空间V中的单个零矢量所组成的子集是V的一个子空间，称为零子空间. V本身也是V的一个子空间. 这两个子空间称为V的平凡子空间. 设为域F上线性空间V中的一组矢量，这组矢量的一切线性组合 构成V的一个子空间，称为由生成（或张成）的子空间. 这是V的非平凡子空间. 子空间的交与和 设S，T是域F上线性空间V的子空间，属于S又属于T的V中一切矢量所构成的子集称为S与T的交（通集），记作. 由能表示为的一切矢量构成的子集称为S与T的和（和集），记作（或）. 设S与T是F上线性空间V的两个子空间，则S与T的交以及和都是V的子空间. 第二维数定理 设S与T是线性空间V的两个子空间，则 （这里表示线性空间V的维数）.推论 若n维线性空间V中两个子空间S与T的维数之和大于n，则S，T必含有公共非零矢量. 例如，三维空间中两个不同平面（二维子空间）交于一条直线，由于，但，所以. 子空间的直和 设是线性空间V的子空间，若和中每个矢量的分解式 是唯一的. 这个和就称为直和，记作 子空间的直和具有以下性质：1o和是直和的充分必要条件是： 仅当全为零矢量时才成立. 2o和是直和的充分必要条件是： （空集）3o设是线性空间V的子空间，若 则 其逆也真. 这表明对于子空间的直和，维数是可加的. 由此可见，若 把子空间的基 合并起来就得到子空间W的一组基. 商空间 设S是V的一个子空间，并设两个矢量，若，则说和是等价的，记作. 实际上，这个关系具有等价关系的三个性质： (i) 反身性 对每个，有； (ii) 对称性 若，则； (iii) 传递性 若，则. 和集合的情形一样，称两个等价的矢量和是属于同一类. 每个矢量恰好包含在一个类中，这一类记作. V中的零矢量0包含