高中数学第二单元平面向量2_3_3向量数量积的坐标运算与度量公式课件新人教b版必修4

2 3 3向量数量积的坐标运算与度量公式 第二章 2 3平面向量的数量积 学习目标1 理解两个向量数量积坐标表示的推导过程 能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算 2 能根据向量的坐标计算向量的模 并推导平面内两点间的距离公式 3 能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一平面向量数量积的坐标表示 思考1 e1 e1 e2 e2 e1 e2分别是多少 答案 答案e1 e1 1 1 cos0 1 e2 e2 1 1 cos0 1 e1 e2 0 设e1 e2是两个互相垂直且分别与x轴 y轴的正半轴同向的单位向量 思考2 取e1 e2为坐标平面内的一组基底 设a a1 a2 b b1 b2 试将a b用e1 e2表示 并计算a b 答案 答案 a a1e1 a2e2 b b1e1 b2e2 a b a1e1 a2e2 b1e1 b2e2 a1b1 a2b2 设a a1 a2 b b1 b2 则a b 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和 梳理 a1b1 a2b2 知识点二向量模的坐标表示及两点间距离公式 思考 若a a1 a2 试将向量的模 a 用坐标表示 答案 答案 a a1 a2 a 2 a a a1 a2 a1 a2 梳理 知识点三两个向量夹角余弦的坐标表达式 思考 设a b都是非零向量 a a1 a2 b b1 b2 是a与b的夹角 那么cos 如何用坐标表示 答案 设a a1 a2 b b1 b2 a与b的夹角为 则 梳理 2 a b a b 0 a1b1 a2b2 0 题型探究 类型一平面向量数量积的坐标运算 例1已知a与b同向 b 1 2 a b 10 1 求a的坐标 解设a b 2 0 则有a b 4 10 2 a 2 4 2 若c 2 1 求a b c 及 a b c 解 b c 1 2 2 1 0 a b 10 a b c 0a 0 a b c 10 2 1 20 10 解答 反思与感悟 此类题目是有关向量数量积的坐标运算 灵活应用基本公式是前提 设向量一般有两种方法 一是直接设坐标 二是利用共线或垂直的关系设向量 还可以验证一般情况下 a b c a b c 即向量运算结合律一般不成立 答案 解析 跟踪训练1向量a 1 1 b 1 2 则 2a b a等于A 1B 0C 1D 2解析因为a 1 1 b 1 2 所以2a b 2 1 1 1 2 1 0 则 2a b a 1 0 1 1 1 故选C 例2在平面直角坐标系xOy中 O是原点 如图 已知点A 16 12 B 5 15 类型二向量的模 夹角问题 解答 2 求 OAB 解答 16 12 21 3 16 21 12 3 300 OAB 45 反思与感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 1 利用向量的坐标求出这两个向量的数量积 2 利用 a 求两向量的模 3 代入夹角公式求cos 并根据 的范围确定 的值 跟踪训练2已知a 1 1 b 1 若a与b的夹角 为钝角 求 的取值范围 解答 解 a 1 1 b 1 又 a b的夹角 为钝角 1且 1 的取值范围是 1 1 1 例3 1 已知a 3 2 b 1 0 若向量 a b与a 2b垂直 则实数 的值为 类型三向量垂直的坐标形式 答案 解析 解析由向量 a b与a 2b垂直 得 a b a 2b 0 因为a 3 2 b 1 0 所以 3 1 2 1 2 0 2 在 ABC中 2 3 1 k 若 ABC是直角三角形 求k的值 解答 反思与感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化 若在关于三角形的问题中 未明确哪个角是直角时 要分类讨论 跟踪训练3在平面直角坐标系xOy中 已知A 1 4 B 2 3 C 2 1 若 则实数t 3 2t 2 1 t 1 0 t 1 1 答案 解析 当堂训练 1 已知a 3 1 b 1 2 则a与b的夹角为 答案 2 3 4 5 1 解析 又 a b的夹角范围为 0 答案 2 3 4 5 1 解析 A 30 B 45 C 60 D 120 ABC 30 2 3 4 5 1 答案 解析 3 已知向量m 1 1 n 2 2 若 m n m n 则 等于A 4B 3C 2D 1解析因为m n 2 3 3 m n 1 1 又 m n m n 所以 m n m n 2 3 3 1 1 2 6 0 解得 3 答案 解析 2 3 4 5 1 4 已知平面向量a b 若a 4 3 b 1 且a b 5 则向量b a b方向相同 5 已知a 4 3 b 1 2 1 求a与b的夹角的余弦值 解答 2 3 4 5 1 解 a b 4 1 3 2 2 解答 2 3 4 5 1 2 若 a b 2a b 求实数 的值 解 a b 4 3 2 2a b 7 8 又 a b 2a b a b 2a b 7 4 8 3 2 0 规律与方法 1 平面向量数量积的定义及其坐标表示 提供了数量积运算的两种不同的途径 准确地把握这两种途径 根据不同的条件选择不同的途径 可以优化解题过程 同时 平面向量数量积的两种形式沟通了 数 与 形 转化的桥梁 成为解决距离 角度 垂直等有关问题的有力工具 2 应用数量积运算可以解决两向量的垂直 平行 夹角以及长度等几何问题 在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力 3 注意区分两向量平行与垂直的坐标形式 二者不能混淆 可以对比学习 记忆 若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1y2