高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8_7 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离课件 理 苏教版

8 7立体几何中的向量方法 二 求空间角和距离 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 两条异面直线所成角的求法设a b分别是两异面直线l1 l2的方向向量 则 知识梳理 2 直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a 平面 的法向量为n 直线l与平面 所成的角为 a与n的夹角为 则sin cos 3 求二面角的大小 1 如图 AB CD分别是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的直线 则二面角的大小 2 如图 n1 n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则二面角的大小 满足 cos 二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角 或其补角 cos n1 n2 利用空间向量求距离 供选用 1 两点间的距离设点A x1 y1 z1 点B x2 y2 z2 则AB 2 点到平面的距离如图所示 已知AB为平面 的一条斜线段 n为平面 的法向量 则B到平面 的距离为 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角 2 直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角 3 两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角 4 两异面直线夹角的范围是 0 直线与平面所成角的范围是 0 二面角的范围是 0 5 直线l的方向向量与平面 的法向量夹角为120 则l和 所成角为30 6 若二面角 a 的两个半平面 的法向量n1 n2所成角为 则二面角 a 的大小是 考点自测 1 2016 南通模拟 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的二面角为 答案 解析 45 或135 即 m n 45 两平面所成的二面角为45 或180 45 135 2 已知向量m n分别是直线l和平面 的方向向量和法向量 若cos m n 则l与 所成的角为 30 答案 解析 设l与 所成角为 cos m n sin cos m n 0 90 30 3 2016 泰州模拟 如图 在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC A1B1C1 CA CC1 2CB 则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为 答案 解析 设CA 2 则C 0 0 0 A 2 0 0 B 0 0 1 C1 0 2 0 B1 0 2 1 可得向量 2 2 1 0 2 1 由向量的夹角公式得 4 教材改编 正三棱柱 底面是正三角形的直棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为2 侧棱长为 则AC1与侧面ABB1A1所成的角为 答案 解析 以A为原点 以 AE AB 所在直线为坐标轴 如图 建立空间直角坐标系 设D为A1B1中点 C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角 又 C1AD C1AD 5 P是二面角 AB 棱上的一点 分别在平面 上引射线PM PN 如果 BPM BPN 45 MPN 60 那么二面角 AB 的大小为 答案 解析 90 不妨设PM a PN b 如图 作ME AB于E NF AB于F PE a PF b 二面角 AB 的大小为90 EPM FPN 45 题型分类深度剖析 题型一求异面直线所成的角例1 2015 课标全国 如图 四边形ABCD为菱形 ABC 120 E F是平面ABCD同一侧的两点 BE 平面ABCD DF 平面ABCD BE 2DF AE EC 1 证明 平面AEC 平面AFC 证明 如图所示 连结BD 设BD AC G 连结EG FG EF 在菱形ABCD中 不妨设GB 1 由 ABC 120 可得AG GC 由BE 平面ABCD AB BC 2 可知AE EC 又AE EC 所以EG 且EG AC 在Rt EBG中 可得BE 故DF 在Rt FDG中 可得FG 在直角梯形BDFE中 从而EG2 FG2 EF2 所以EG FG 又AC FG G 可得EG 平面AFC 因为EG 平面AEC 所以平面AEC 平面AFC 2 求直线AE与直线CF所成角的余弦值 解答 如图 以G为坐标原点 分别以 的方向为x轴 y轴正方向 为单位长度 建立空间直角坐标系G xyz 由 1 可得A 0 0 E 1 0 所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为 用向量法求异面直线所成角的一般步骤 1 选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系 2 确定异面直线上两个点的坐标 从而确定异面直线的方向向量 3 利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值 4 两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值 思维升华 跟踪训练1如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是棱CD CC1的中点 则异面直线A1M与DN所成的角的大小是 答案 解析 90 连结D1M 在正方形DCC1D1中 M N分别是CD CC1的中点 DN D1M 又 A1D1 平面D1C DN 平面D1C DN A1D1 又 A1D1 D1M D1 DN 平面A1D1M 又A1M 平面A1D1M A1M DN 即异面直线A1M与DN所成的角为90 题型二求直线与平面所成的角例2 2016 全国丙卷 如图 四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AD BC AB AD AC 3 PA BC 4 M为线段AD上一点 AM 2MD N为PC的中点 1 证明MN 平面PAB 证明 由已知得AM AD 2 取BP的中点T 连结AT TN 由N为PC中点知TN BC TN BC 2 又AD BC 故TN綊AM 四边形AMNT为平行四边形 于是MN AT 因为AT 平面PAB MN 平面PAB 所以MN 平面PAB 2 求直线AN与平面PMN所成角的正弦值 解答 取BC的中点E 连结AE 从而AE AD 由AB AC得AE BC 以A为坐标原点 的方向为x轴正方向 建立如图所示的空间直角坐标系A xyz 设n x y z 为平面PMN的法向量 则 可取n 0 2 1 设AN与平面PMN所成的角为 则sin 直线AN与平面PMN所成角的正弦值为 利用向量法求线面角的方法 1 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 2 通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 取其余角就是斜线和平面所成的角 思维升华 跟踪训练2如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 点O为线段BD的中点 设点P在线段CC1上 直线OP与平面A1BD所成的角为 则sin 的取值范围是 答案 解析 由正方体的性质易求得sin C1OA1 sin COA1 注意到 C1OA1是锐角 COA1是钝角 且 故sin 的取值范围是 1 题型三求二面角例3 2016 天津 如图 正方形ABCD的中心为O 四边形OBEF为矩形 平面OBEF 平面ABCD 点G为AB的中点 AB BE 2 1 求证 EG 平面ADF 证明 几何画板展示 依题意 OF 平面ABCD 如图 以O为原点 分别以的方向为x轴 y轴 z轴的正方向建立空间直角坐标系 依题意可得O 0 0 0 A 1 1 0 B 1 1 0 C 1 1 0 D 1 1 0 E 1 1 2 F 0 0 2 G 1 0 0 依题意 2 0 0 1 1 2 设n1 x1 y1 z1 为平面ADF的法向量 不妨取z1 1 可得n1 0 2 1 又 0 1 2 可得 n1 0 又因为直线EG 平面ADF 所以EG 平面ADF 2 求二面角O EF C的正弦值 解答 易证 1 1 0 为平面OEF的一个法向量 依题意 1 1 0 1 1 2 设n2 x2 y2 z2 为平面CEF的法向量 不妨取x2 1 可得n2 1 1 1 于是sin n2 所以二面角O EF C的正弦值为 3 设H为线段AF上的点 且AH HF 求直线BH和平面CEF所成角的正弦值 解答 由AH HF 得AH AF 因为 1 1 2 所以直线BH和平面CEF所成角的正弦值为 利用向量法计算二面角大小的常用方法 1 找法向量法 分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小 但要注意结合实际图形判断所求角的大小 2 找与棱垂直的方向向量法 分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 思维升华 跟踪训练3如图 1 正方形ABCD的边长为1 M N分别是边AD BC上的点 MN与AB平行 且与AC交于点O 若将四边形ABCD沿MN折成直二面角A MN C 如图 2 则二面角C AO B的平面角的正弦值是 图 1 图 2 答案 解析 由条件得NM NB NC两两垂直 分别以NM NB NC所在直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 设NC m 则NO m 从而得O m 0 0 C 0 0 m A 1 1 m 0 设平面AOC的法向量为a x y z 得取x 1 得a 1 1 1 又平面AOB的一个法向量为b 0 0 1 故sin a b 题型四求空间距离 供选用 例4如图 BCD与 MCD都是边长为2的正三角形 平面MCD 平面BCD AB 平面BCD AB 求点A到平面MBC的距离 解答 如图 取CD的中点O 连结OB OM 因为 BCD与 MCD均为正三角形 所以OB CD OM CD 又平面MCD 平面BCD 所以MO 平面BCD 以O为坐标原点 直线OC BO OM分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系O xyz 因为 BCD与 MCD都是边长为2的正三角形 所以OB OM 则O 0 0 0 C 1 0 0 M 0 0 B 0 0 A 0 设平面MBC的法向量为n x y z 取x 可得平面MBC的一个法向量为n 1 1 又 0 0 2 所以所求距离为d 求点面距一般有以下三种方法 1 作点到面的垂线 点到垂足的距离即为点到平面的距离 2 等体积法 3 向量法 其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便 思维升华 跟踪训练4 2016 四川成都外国语学校月考 如图所示 在四棱锥P ABCD中 侧面PAD 底面ABCD 侧棱PA PD PA PD 底面ABCD为直角梯形 其中BC AD AB AD AB BC 1 O为AD中点 1 求直线PB与平面POC所成角的余弦值 解答 在 PAD中 PA PD O为AD中点 PO AD 又 侧面PAD 底面ABCD 平面PAD 平面ABCD AD PO 平面PAD PO 平面ABCD 在 PAD中 PA PD PA PD AD 2 在直角梯形ABCD中 O为AD的中点 AB AD OC AD 以O为坐标原点 OC为x轴 OD为y轴 OP为z轴建立空间直角坐标系 如图所示 则P 0 0 1 A 0 1 0 B 1 1 0 C 1 0 0 D 0 1 0 1 1 1 易证OA 平面POC 0 1 0 为平面POC的法向量 PB与平面POC所成角的余弦值为 2 求B点到平面PCD的距离 解答 1 1 1 设平面PCD的法向量为u x y z 取z 1 得u 1 1 1 则B点到平面PCD的距离d 3 线段PD上是否存在一点Q 使得二面角Q AC D的余弦值为 若存在 求出的值 若不存在 请说明理由 解答 假设存在 且设 0 1 0 1 设平面CAQ的法向量为m x y z Q 0 1 取z 1 得m 1 1 1 平面CAD的一个法向量为n 0 0 1 二面角Q AC D的余弦值为 cos m n 整理化简 得3 2 10 3 0 解得 或 3 舍去 存在 且 典例 16分 如图 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AD AB AB DC AD DC AP 2 AB 1 点E为棱PC的中点 1 证明 BE DC 2 求直线BE与平面PBD所成角的正弦值 3 若F为棱PC上一点 满足BF AC 求二面角F AB P的余弦值 利用空间向量求解空间角 答题模板系列6 规范解答 答题模板 1 证明依题意 以点A为原点建立空间直角坐标系如图 可得B 1 0 0 C 2 2 0 D 0 2 0 P 0 0 2 2分 由E为棱PC的中点 得E 1 1 1 0 1 1 2 0 0 故 0 所以BE DC 4分 2 解 1 2 0 1 0 2 设n x y z 为平面PBD的一个法向量 不妨令y 1 可得n 2 1 1 6分 所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 8分 3 解 1 2 0 2 2 2 2 2 0 1 0 0 由点F在棱PC上 设 0 1 由BF AC 得 0 因此 2 1 2 2 2 2 0 解得 设n1 x y z 为平面FAB的一个法向量 取平面ABP的法向量n2 0 1 0 则cos n1 n2 易知 二面角F AB P是锐角 不妨令z 1 可得n1 0 3 1 所以其余弦值为 16分 返回 利用向量求空间角的步骤第一步 建立空间直角坐标系 第二步 确定点的坐标 第三步 求向量 直线的方向向量 平面的法向量 坐标 第四步 计算向量的夹角 或函数值 第五步 将向量夹角转化为所求的空间角 第六步 反思回顾 查看关键点 易错点和答题规范 返回 课时作业 1 2017 苏北四市联考 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB AA1 2 AD 1 E为CC1的中点 则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 答案 解析 建立空间直角坐标系如图 则A 1 0 0 E 0 2 1 B 1 2 0 C1 0 2 2 所以 1 0 2 1 2 1 所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2016 徐州模拟 二面角的棱上有A B两点 直线AC BD分别在这个二面角的两个半平面内 且都垂直于AB 已知AB 4 AC 6 BD 8 CD 则该二面角的大小为 答案 解析 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图所示 二面角的大小就是 因此 24 60 故二面角为60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 在正方体ABCD A1B1C1D1中 点E为BB1的中点 则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz 设棱长为1 则A1 0 0 1 E 1 0 D 0 1 0 0 1 1 1 0 设平面A1ED的一个法向量为n1 1 y z 则有 平面ABCD的一个法向量为n2 0 0 1 n1 1 2 2 cos n1 n2 即所成的锐二面角的余弦值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2016 盐城模拟 在三棱锥P ABC中 PA 平面ABC BAC 90 D E F分别是棱AB BC CP的中点 AB AC 1 PA 2 则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 以A为原点 AB AC AP所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间直角坐标系 由AB AC 1 PA 2 得A 0 0 0 B 1 0 0 C 0 1 0 P 0 0 2 D 0 0 E 0 F 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设平面DEF的法向量为n x y z 取z 1 则n 2 0 1 设直线PA与平面DEF所成的角为 直线PA与平面DEF所成角的正弦值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AB 2 CC1 E为CC1的中点 则直线AC1到平面BDE的距离为 答案 解析 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 以D为原点 DA DC DD1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图 则D 0 0 0 A 2 0 0 B 2 2 0 C 0 2 0 C1 0 2 E 0 2 易知AC1 平面BDE 设n x y z 是平面BDE的法向量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 取y 1 则n 1 1 为平面BDE的一个法向量 又 2 0 0 点A到平面BDE的距离是 故直线AC1到平面BDE的距离为1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 如图所示 三棱柱ABC A1B1C1的侧棱长为3 底面边长A1C1 B1C1 1 且 A1C1B1 90 D点在棱AA1上且AD 2DA1 P点在棱C1C上 则的最小值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 建立如图所示的空间直角坐标系 则D 1 0 2 B1 0 1 3 设P 0 0 z 则 1 0 2 z 0 1 3 z 0 0 2 z 3 z z 2 故当z 时 取得最小值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 2016 无锡模拟 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 2 BC AA1 1 则直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图 建立空间直角坐标系D xyz 则D1 0 0 1 C1 0 2 1 A1 1 0 1 B 1 2 0 0 2 0 1 2 0 0 2 1 设平面A1BC1的一个法向量为n x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 令y 1 得n 2 1 2 设直线D1C1与平面A1BC1所成角为 则 即直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AA1 2AB 则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 以D为坐标原点 建立空间直角坐标系 如图 设AA1 2AB 2 则D 0 0 0 C 0 1 0 B 1 1 0 C1 0 1 2 则 0 1 0 1 1 0 0 1 2 设平面BDC1的法向量为n x y z 令y 2 得平面BDC1的一个法向量为n 2 2 1 设CD与平面BDC1所成的角为 则n n 所以有 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 2016 连云港模拟 已知点E F分别在正方体ABCD A1B1C1D1的棱BB1 CC1上 且B1E 2EB CF 2FC1 则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图 建立空间直角坐标系D xyz 设DA 1 由已知条件得 A 1 0 0 E 1 1 F 0 1 0 1 1 1 设平面AEF的法向量为n x y z 平面AEF与平面ABC所成的二面角为 由图知 为锐角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 令y 1 z 3 x 1 则n 1 1 3 取平面ABC的法向量为m 0 0 1 则cos cos n m tan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 2016 南京 无锡联考 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 CA CB AB AA1 BAA1 60 1 证明 AB A1C 证明 如图 取AB的中点O 连结OC OA1 A1B CA CB OC AB AB AA1 BAA1 60 AA1B为等边三角形 OA1 AB OC OA1 O AB 平面OA1C 又A1C 平面OA1C AB A1C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若平面ABC 平面AA1B1B AB CB 求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由 1 知 OC AB OA1 AB 平面ABC 平面AA1B1B 交线为AB OC 平面AA1B1B OA OA1 OC两两垂直 以O为坐标原点 的方向为x轴的正方向 为单位长度 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz 由题设知A 1 0 0 A1 0 0 C 0 0 B 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设n x y z 是平面BB1C1C的法向量 可取n 1 1 直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 2016 扬州模拟 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AA1 AB 2AD 2 E为AB的中点 F为D1E上的一点 D1F 2FE 1 证明 平面DFC 平面D1EC 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 以D为原点 分别以DA DC DD1所在直线为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz 则A 1 0 0 B 1 2 0 C 0 2 0 D1 0 0 2 E为AB的中点 点E的坐标为 1 1 0 D1F 2FE 设n x1 y1 z1 是平面DFC的法向量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 令y 1 则平面D1EC的一个法向量为p 1 1 1 n p 1 0 1 1 1 1 0 令x 1 则平面DFC的一个法向量为n 1 0 1 设p x2 y2 z2 是平面D1EC的法向量 平面DFC 平面D1EC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 求二面角A DF C的大小 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设q x3 y3 z3 是平面ADF的法向量 令y 1 则平面ADF的一个法向量为q 0 1 1 设二面角A DF C的平面角为 由题中条件可知 二面角A DF C的大小为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 2016 四川 如图 在四棱锥P ABCD中 AD BC ADC PAB 90 BC CD AD E为棱AD的中点 异面直线PA与CD所成的角为90 1 在平面PAB内找一点M 使得直线CM 平面PBE 并说明理由 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 在梯形ABCD中 AB与CD不平行 延长AB DC 相交于点M M 平面PAB 点M即为所求的一个点 理由如下 由已知 BC ED且BC ED 所以四边形BCDE是平行四边形 从而CM EB 又EB 平面PBE CM 平面PBE 所以CM 平面PBE 说明 延长AP至点N 使得AP PN 则所找的点可以是直线MN上任意一点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若二面角P CD A的大小为45 求直线PA与平面PCE所成角的正弦值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由已知 CD PA CD AD PA AD A 所以CD 平面PAD 于是CD PD 从而 PDA是二面角P CD A的平面角 所以 PDA 45 由 PAB 90 且P