第13讲 面积问题和面积方法w.doc

第13讲 面积问题和面积方法知识方法扫描面积问题指用面积公式计算常规的平面图形的面积，且能用割补法和等积变形求较复杂图形的面积；面积法通指运用面积关系求解一些几何题甚至代数问题。 解答与面积有关的问题时，特别要注意运用面积与线段之间的下列重要的关系：等底等高的两个三角形面积相等；高（或底）相等的两个三角形的面积之比，等于底（或高）的比。这样可以将面积的比和线段的比互相转化，这是面积法处理问题的基本方法。 凡涉及三角形的高、垂线的问题，都可以尝试面积法来处理。经典例题解析例1（第14届“迎春杯”数学竞赛试题） 如图, 在平行四边形ABCD中, EG与BC平行, HF与AB平行, EG和HF相交于O, 如果平行四边形EBFO的面积为2cm2, 平行四边形OGDH的面积为4cm2, 那么三角形OAC的面积等于 cm2. 解：设S平行四边形AEOHa, S平行四边形OFCGb, 则例2 (1997年“希望杯”初中数学邀请赛试题)如图所示，ABC中，点P在边AB上，APAB，Q点在边BC上，BQ；R在边CA上，CRCA，已知阴影PQR的面积是19cm2，那么ABC的面积是 cm2.解 连接CP, BR， , ,. 同理 SPQR=SABC (SABC+SABC+SABC) =SABCSABC=SPQR=19=45.6(cm2).评注 由本题的解题过程 ，可得 ，这是一个有用的结论 ，它说明有等角的两个三角形的面积之比，等于夹这个角的两边乘积之比。例3（2006年第17届“希望杯”数学邀请赛初一试题）如图所示，三角形ABC的面积为1，E是AC的中点，O是BE的中点，连结AO并延长交于，连结CO并延长交AB于F，求四边形BDOF的面积。解 因AE=EC, BO=OE, 故 SAOB=SAOE=SCOE, 又显然有SAOB=SBOC故它们的面积都等于。注意到 ,可知， SDOB=，同理SOFD=, 于是四边形BDOF的面积=+=。评注 在本题这样的图形中，是一个有用的结论 ，它是通过线段的比与线段的比的关系得到的，这是处理面积问题的一个重要的方法。例4(2002年第13届希望杯数学邀请赛试题)ABC的面积是1平方厘米，如图所示，AD=DE=EC，BG=GF=FC，求阴影四边形的面积。解我们先计算三角形BNG的面积：连结CN，设SBNG=x，则SCNG=2x，SCNB=3x，因SABN ：SCNB = AE：EC=2：1，故SABN=6x，SABG=7x，于是7x=，x=。下面计算三角形BPF的面积：连结CP，设SCPF=y，则SBPF=2y，SCPB=3y，因SABP ：SCPB = AE：EC=2：1，故SABP=6y，SABF=8y，于是8y=，y=。 SPNGF=2y-x=（cm2）例5（1993年第10届“缙云杯”数学竞赛试题）如图已知梯形ABCD的面积为34 cm2，AE=BF，CE与DF相交于O，三角形OCD的面积为11cm2，求蝶形（图中阴影部分）的面积。解：如下图将梯形扩大一倍补成一个平行四边形显然SEDO=SFMP，SCDO =SMNP，故SCDE=SMNF.设蝶形的面积为xcm2由SABCD=SNMCD= SMNF +SCDF=SCDE +SCDF知 34=x+211, 解得 x=12. 即蝶形的面积为12cm2评注：“补形”和“分割”是处理面积问题的两种常见的方法。例6 （1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛试题）正方形如图所示, AB1, BD与AC都以1为半径的圆弧, 则无阴影的两部分的面积之差是( )(A) (B)1- (C) (D)1解 设无阴影的两部分的面积分别为P,Q，有阴影的两部分的面积都为M.则PQ2M正好是正方形的面积，PM是圆的面积，于是得方程组由，得2P2M-，得P-Q。无阴影的两部分的面积之差是。故选A。评注 从方程组无法求得P、Q的值，但经过方程式的整体变形可以求得PQ，这种解题方法称为设而不求。例7 (1996年上海市初中数学竞赛试题)如图所示，梯形ABCD中，ADBC，点M在边AB上，使，点N在边CD上，使线段MN把梯形分成两部分的面积之比为3：1，求.解 连接CM、CA.,., 2,SABCS梯形ABCD.SMBCSABCS梯形ABCD S梯形ABCD.MN把梯形分成两部分的面积的比, 只能是也就是S四边形MBCNS梯形ABCD, S四边形AMND S梯形ABCD.若连结DM、DB，用同样的方法求得SAMDSABDS梯形ABCDS梯形ABCD.SMCN() S梯形ABCDS梯形ABCD,SMDN() S梯形ABCDS梯形ABCD.评注 这道题首先应该考虑MN把梯形分成两部分的面积之比是还是，还是两者都有可能，因此求出SMBCS梯形ABCD，从而排除了3的可能性.其次考虑将线段的比转化面积的比，为此求出SAMDS梯形ABCD.在求解过程中, 将有关的图形的面积都用梯形的面积来表示, 这样就有了统一的标准, 便于求出比值.例8（2003年第1届创新杯数学邀请赛试题）直角三角形的两条直角边分别长5和12，斜边长为13，P是三角形内或边界上的一点，P到三边的距离分别为d1,d2,d3。求d1+d2+d3的最大值和最小值。并求当d1+d2+d3取最大值和最小值时，P点的位置。解 如图所示，设ABC中，C=90，BC=5，AC=12，BA=13，P到BC、CA、AB的距离分别为d1,d2,d3，连PA、PB、PC，由三角形面积公式知：，即5d1+12d2+13d3=60 显然有故 当d2=d3=0时，有d1+d2+d3=12，即d1+d2+d3取最大值时，P与A重合，当d2=d3=0时，有d1+d2+d3取最小值时，P与C重合。原版赛题传真同步训练一选择题1(2003年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题)如图，分别延长ABC的三边AB,BC,CA至A，B，C，使得AA=3AB, BB=3BC, CC= 3AC. 若SABC=1，则SABC等于( ) (A)18 (B)19 (C)24 (D)271. B连AC， BB = 3BC, SABB = 3SACB , AA = 3AB, AB = 2AB,SABC = 2SABC=2,则SABB = 3SABC=6SABC =36+1=19.2. (2003年武汉市初中数学竞赛试题)如图，P为平行四边形ABCD内一点，且SPAB=5，SPAD=2则SPAC等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)52B因为所以，3(2005年江苏省初中数学竞赛试题)如图，ABC中，AD、BE相交于点O，BD：CD=3：2，AE：CE=2：1，那么SBOC：SAOC：SAOB为( ) (A)2：3：4 (B)2：3：5 (C)3：4：5 (D)3. DSBOC：SAOB=CE：EA=1：2=3：6； SAOC：SAOB=CD：DB=2：3=4：6SBOC：SAOC：SAOB=3：4：64(1998年江苏省初中数学竞赛试题)不等边三角形中, 如果有一条边长等于另两条边长的平均值, 那么, 最大边上的高与最小边上的高的比值k的取值范围是（A）k1（B）k1（C）k2（D）k14. B设abc, 则b, 1, 由acbac, 得acac.因为ab0, 所以3. 又因为ahachc, 所以.而1, 所以1, 即k1.5（2002年全国初中数学竞赛试题）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF，CE，设AF，C交于点G，则等于（ ）.（A） （B） （C） （D）5D 连接AC、BG，因E、F分别为AB、BC的中点，可知SAGC=SBGC=SABG=SABC，从而，S四边形AGCD（1）SABCSABC，又S矩形ABCD2SABC，故。.二 填空题6（2000年江苏省第15届初中数学竞赛初2试题）已知凸四边形ABCD的面积是，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，那么图中阴影部分的总面积是。6. 连接AO，BO，CO，DO。因为 E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点所以 SAOH = SDOH， SDOG = SCOG，SCOF = SBOF，SBOE = SAOE所以SAOH + SAOE +SCOG+ SCOF= SDOH+ SBOE+ SDOG+ SBOF所以SAOH + SAOE +SCOG+ SCOF= S四边形ABCD = a.7.（第17届“迎春杯”数学竞赛试题） 如图, 长方形ABCD中, EF与BC平行, HG与AB平行, 如果长方形AEOH、HOFD、OGCF的面积分别为9、4、7, 那么三角形HBF的面积为 . 7. 10连接BO, EH, GF. HG/AB, EF/BC, 且. 8. （2004年第2届理想杯数学邀请赛初一试题）如图，F、G、H分别是平行四边形ABCD的边BC、CD、AD上的三等分点，E是AB边的中点，已知四边形EFGH的面积是51平方厘米，那么平行四边形ABCD的面积是_平方厘米 8. 108设平行四边形ABCD的面积是S平方厘米连接AC, 则SADC = SABC = S SDHG=SADC=S, SCOF= SABC=S, 同理SAEH=S, SCGF=S,SEFGH=S-（S+S+S+S）= 51， S=108（平方厘米）9.（2006年武汉市初中数学竞赛试题）如图，正方形ABCD的边长为1，E为CD的中点，则图中阴影部分的面积为 。9. 设AE,BD交于F, 连接AC,FC. 显然两个阴影部分的面积相等，设SAFD=SBFE=x,则由AO=OC,得SCDF= SAFD=x, 由DE=EC, 得SAFC= SAFD=x. SADC=3x, SABCD=6x, 6x=1 阴影部分的面积为2x=10. （2008年第6届创新杯全国数学邀请赛7年级试题）如图所示，已知AD:DB=7:2,AC:CE=4:3，则BF:FC= 10. 2:3连接AF,BE因AD:DB=7:2, 设SAFD=7x, SBFD=2x.因SAFC: SEFC= AC:CE=4:3, 故可设SAFC=4y, SEFC=3y. SAFE=4y+3y=7y.SAFE: SEFB = AD:DB=7:2, SEFB=2y,BF:FC= SEFB: SEFC=2y:3y=2:3.三 解答题11（2005年北京市第21届迎春杯初中生数学竞赛试题）如图, 在ABC中, DC=2BD, AF=FD. 如果ABC的面积等于, 那么阴影部分的面积为多少?12（2004年第九届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛试题）如图，中，求的值。12. 如图，连接，用记的面积，和分别记的面积。由已知条件， 解方程组，得到。同样方法可以得到。进而，从，得到。所以，我们得到，即。13. （2003年河北省初中数学竞赛试题）如图，已知正方形ABCD的边长是5cm, 又EF=FG，FD=DG.求ECG的面积13. 连接CF, 则CFD的面积=正方形ABCD的面积=25=.因FD=DG, 则CDG的面积=CFD的面积=, 故CFG的面积=2=25,因EF=FG , 则CEF的面积=CFG的面积=25,故ECG的面积=252=50（cm）.14（2004年第九届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛试题）在长方形ABCD中，BF=AE=3厘米，DE=6厘米，三角形GEC的面积是20平方厘米，三角形GFD的面积是16平方厘米，那么，长方形ABCD的面积是多少平方厘米？14. 设AG=x, BG=y, 3x + 6(x+y) + 9y + 20 = 9(x+y) 3y + 6(x+y) + 9x + 16 = 9(x+y)两式相加，整理得x+y=6,所以长方形ABCD的面积是 6(x+y)=36 (平方厘米).15(2004年第二届“创新杯”初中数学竞赛试题)ABC中，AB=13，BC=14，CA=15。P是ABC内部或边界上的一点，P到三边AB，BC，CA的距离分别是x,y,z. 记u=x+y+z。（1）使得u=13的点P是否存在？若存在，请找出所有满足条件的点；若不存在，请说明理由。（2）使得u=12.5的点P是否存在？若存在，请找出所有满足条件的点；若不存在，请说明理由。15 作BC边上的高AH, 设BHx, 则有132x2152(14x)2, 解得x5