江苏省宿迁市泗阳县高二数学下学期期中试卷 文（含解析）.doc

江苏省宿迁市泗阳县2014-2015学年高二下学期期中数学 试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1（5分）已知i是虚数单位，则i2015=2（5分）已知函数f（x）=，则f（x）=3（5分）按三段论式推理，进行如下推理大前提：所有的车子都有四个轮子小前提：自行车是车子结论：4（5分）已知平行四边形abcd的三个顶点a，b，c分别对应复数3+3i，2+i，5i，则第四个顶点d对应的复数为5（5分）若复数z满足（34i）z=5，则z的虚部为6（5分）如图，直线l是曲线y=f（x）在x=5处的切线，则f（5）+f（5）=7（5分）用反证法证明命题：“如果a，bn，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为8（5分）已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf（2）+lnx，则f（2）的值等于9（5分）f（n）=1+（nn*），计算可得f（2）=，f（4）2，f（8），f（16）3，f（32），推测当n2时，有10（5分）若zc，且|z+22i|=1，则|z22i|的最小值是11（5分）已知函数f（x）的导数f（x）=a（a0），若函数f（x）在x=a处取到极大值，则实数a的取值范围是12（5分）已知点a（x1，ax1），b（x2，ax2）是函数y=ax（a1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段ab总是位于a、b两点之间函数图象的上方，因此有结论成立运用类比思想方法可知，若点a（x1，sinx1），b（x2，sinx2）是函数y=sinx（x（0，）的图象上任意不同两点，则类似地有成立13（5分）设动直线x=m与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点m，n，则|mn|的最小值为14（5分）函数f（x）的定义域为r，f（1）=2，f（x）为f（x）的导函数，已知y=f（x）的图象如图所示，则f（x）2x+4的解集为二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤15（14分）已知复数z1=1+2i，z2=2+i，=+（1）求z3；（2）若复数z满足z+z1为实数，且z（z2z3）为纯虚数，求z16（14分）（1）证明：正三角形内任一点（不与顶点重合）到三边的距离和为定值（2）通过对（1）的类比，提出正四面体的一个正确的结论，并予以证明17（14分）已知函数f（x）=ax3+3x212x+1（ar），且当x0时，0（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间的最大值与最小值18（16分）已知f（x）=axlnx，x（0，e，其中e是自然对数的底数，ar（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）是否存在实数a使函数f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（3）在（1）的条件下，证明不等式f（x）+，x（0，e恒成立19（16分）如图，在圆心角为变量2（02）的扇形oab内作一半径为r的内切圆p，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆p外切的小圆q，圆p与圆q相切于c点，圆p和圆q与半径oa分别切于e，d两点（1）当圆q的半径不低于时，求的最大值；（2）设bh为点b到半径oa的距离，当取得最大值时，扇形被称之为“最理想扇形”求“最理想扇形”的面积20（16分）设函数f（x）=exax，其中e是自然对数的底数，ar（1）若函数y=f（x）的图象在x=ln2处的切线l的倾斜角为0，求切线l的方程；（2）记函数y=f（x）图象为曲线c，设点a（x1，f（x1），b（x2，f（x2）（x1x2）是曲线c上不同的两定点，点m为线段ab的中点，过点m作x轴的垂线交曲线c于点n，记直线ab的斜率为k若x1=x2，试问：曲线c在点n处的切线是否平行于直线ab？请说明理由江苏省宿迁市泗阳县2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1（5分）已知i是虚数单位，则i2015=i考点：虚数单位i及其性质 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的周期性、运算法则即可得出解答：解：i4=1i2015=（i4）503i3=i故答案为：i点评：本题考查了复数的周期性、运算法则，属于基础题2（5分）已知函数f（x）=，则f（x）=考点：导数的运算 专题：导数的概念及应用分析：将已知式子写成幂的形式，利用全等公式解答解答：解：原式=，所以f（x）=；故答案为：点评：本题考查了求导公式的运用；对于根式型函数求导，一般化为幂的形式求导3（5分）按三段论式推理，进行如下推理大前提：所有的车子都有四个轮子小前提：自行车是车子结论：自行车有四个轮子考点：演绎推理的意义 专题：综合题；推理和证明分析：三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“所有的车子都有四个轮子”；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“自行车是车子”，另外一个是结论解答：解：大前提：所有的车子都有四个轮子小前提：自行车是车子结论：自行车有四个轮子故答案为：自行车有四个轮子点评：三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理它包含两个性质判断构成的前提，和一个性质判断构成的结论一个正确的三段论有仅有三个词项，其中联系大小前提的词项叫中项；出现在大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项；出现在小前提中，又在结论中做主项的词项叫小项4（5分）已知平行四边形abcd的三个顶点a，b，c分别对应复数3+3i，2+i，5i，则第四个顶点d对应的复数为53i考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、几何意义、向量的平行四边形法则即可得出解答：解：平行四边形abcd的三个顶点a，b，c分别对应复数3+3i，2+i，5i，=（3，3）（2，1）=（5，2），=（0，5）（2，1）=（2，6）=（7，4），+=（2，1）+（7，4）=（5，3），第四个顶点d对应的复数为53i故答案为：53i点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义、向量的平行四边形法则，属于基础题5（5分）若复数z满足（34i）z=5，则z的虚部为考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出解答：解：（34i）z=5，（3+4i）（34i）z=5（3+4i），25z=5（3+4i），z=则z的虚部为故答案为：点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题6（5分）如图，直线l是曲线y=f（x）在x=5处的切线，则f（5）+f（5）=7考点：导数的几何意义 专题：导数的概念及应用分析：根据导数的几何意义，f（5）是曲线在（5，5）处的切线斜率为：=2，又f（5）=5，可得解答：解：由题意，f（5）=2，f（5）=5，所以f（5）+f（5）=7；故答案为：7点评：本题考查了导数的几何意义属于基础题7（5分）用反证法证明命题：“如果a，bn，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为a，b都不能被5整除考点：反证法 专题：阅读型分析：反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的解答：解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证命题“a，bn，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”故答案为：a，b都不能被5整除点评：反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧8（5分）已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf（2）+lnx，则f（2）的值等于考点：导数的运算 专题：导数的概念及应用分析：对等式f（x）=x2+3xf（2）+lnx，求导数，然后令x=2，即可求出f（2）的值解答：解：f（x）=x2+3xf（2）+lnx，f（x）=2x+3f（2）+，令x=2，则f（2）=4+3f（2）+即2f（2）=，f（2）=故答案为：点评：本题主要考查导数的计算，要注意f（2）是个常数，通过求导构造关于f（2）的方程是解决本题的关键9（5分）f（n）=1+（nn*），计算可得f（2）=，f（4）2，f（8），f（16）3，f（32），推测当n2时，有f（2n）考点：归纳推理 专题：规律型分析：已知的式子可化为f（2）=，f（22），f（23），f（24），f（25），由此规律可得f（2n）解答：解：已知的式子f（2）=，f（4）2，f（8），f（16）3，f（32），可化为：f（2）=，f（22），f（23），f（24），f（25），以此类推，可得f（2n）；故答案为：f（2n）点评：本题考查归纳推理，把已知的式子变形找规律是解决问题的关键，属基础题10（5分）若zc，且|z+22i|=1，则|z22i|的最小值是3考点：复数的基本概念；复数求模 专题：计算题；转化思想分析：考虑|z+22i|=1的几何意义，表示以（2，2）为圆心，以1为半径的圆，|z22i|的最小值，就是圆上的点到（2，2）距离的最小值，转化为圆心到（2，2）距离与半径的差解答：解：|z+22i|=1表示复平面上的点到（2，2）的距离为1的圆，|z22i|就是圆上的点，到（2，2）的距离的最小值，就是圆心到（2，2）的距离减去半径，即：|2（2）|1=3故答案为：3点评：本题考查复数的基本概念，复数求模，考查转化思想，是基础题11（5分）已知函数f（x）的导数f（x）=a（a0），若函数f（x）在x=a处取到极大值，则实数a的取值范围是（1，0）考点：利用导数研究函数的极值 专题：导数的概念及应用分析：先对f（x）进行因式分解，再讨论a的正负，以及a与1的大小，分别判定在x=a处的导数符号，确定是否在x=a处取到极大值，即可求出实数a的取值范围解答：解：由题意得，f（x）=a=a（x+1）（xa），f（x）在x=a处取到极大值，必有xa时，f（x）0，且xa时，f（x）0，（1）当a0时，当1xa时，f（x）0，当xa时，f（x）0，则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；（2）当a=0时，函数f（x）无极值，不符合题意；（3）当1a0时，当1xa时，f（x）0，当xa时，f（x）0，则f（x）在x=a处取到极大值，符合题意；（4）当a=1时，f（x）0，函数f（x）无极值，不符合题意；（5）当a1时，当xa时，f（x）0，当ax1时，f（x）0，则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；综上所述1a0，故答案为：（1，0）点评：本题考查了函数在某点取得极值的条件，以及导数与函数的单调性、极值的关系，考查了分类讨论思想，属于中档题12（5分）已知点a（x1，ax1），b（x2，ax2）是函数y=ax（a1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段ab总是位于a、b两点之间函数图象的上方，因此有结论成立运用类比思想方法可知，若点a（x1，sinx1），b（x2，sinx2）是函数y=sinx（x（0，）的图象上任意不同两点，则类似地有成立考点：类比推理 专题：探究型；推理和证明分析：由类比推理的规则得出结论，本题中所用来类比的函数是一个变化率越来越大的函数，而要研究的函数是一个变化率越来越小的函数，其类比方式可知解答：解：由题意知，点a、b是函数y=ax（a1）的图象上任意不同两点，函数是变化率逐渐变大的函数，线段ab总是位于a、b两点之间函数图象的上方，因此有结成立；而函数y=sinx（x（0，）其变化率逐渐变小，线段ab总是位于a、b两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论故答案为：点评：本题考查类比推理，求解本题的关键是理解类比的定义，及本题类比的对象之间的联系与区别，从而得出类比结论13（5分）设动直线x=m与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点m，n，则|mn|的最小值为考点：二次函数的性质 专题：函数的性质及应用分析：两个函数作差，得到函数y=f（x）g（x），再求此函数的最小值，即可得到结论解答：解：设函数y=f（x）g（x）=x2lnx（x0），求导数得y=2x=（x0），令y0，x0，0x，函数在（0，）上为单调减函数，令y0，x0，x，函数在（，+）上为单调增函数，x=时，函数取得最小值为=+ln2即|mn|的最小值为+ln2故答案为；+ln2点评：本题考查导数知识的运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值14（5分）函数f（x）的定义域为r，f（1）=2，f（x）为f（x）的导函数，已知y=f（x）的图象如图所示，则f（x）2x+4的解集为（1，+）考点：利用导数研究函数的单调性；函数的图象 专题：导数的综合应用分析：令g（x）=f（x）2x4，求出g（x）的导数，得到g（x）在r上单调递增，由g（1）=0，从而求出f（x）2x+4的解集解答：解：令g（x）=f（x）2x4，g（x）=f（x）2，而f（x）2，g（x）0，g（x）在r上单调递增，g（1）=f（1）2（1）4=0，f（x）2x+4的解集是（1，+），故答案为：（1，+）点评：本题考察了函数的单调性，考察导数的应用，构造新函数g（x）是解题的关键，是一道基础题二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤15（14分）已知复数z1=1+2i，z2=2+i，=+（1）求z3；（2）若复数z满足z+z1为实数，且z（z2z3）为纯虚数，求z考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：（1）利用复数的运算法则、模的计算公式即可的；（2）利用复数为实数、纯虚数的定义即可得出解答：解：（1）由复数z1=1+2i，z2=2+i，=12+22=5，=（2）2+12=5=+=1+2i故z3=12i；（2）设z=x+yi（x，yr）由z+z1为实数，得y+2=0，即y=2又z2z3=（2+i）（12i）=1+3i，则z（z2z3）=（x2i）（1+3i）=6x+（3x+2）i为纯虚数，得，x=6，z=62i点评：本题考查了复数的运算法则、复数为实数、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（14分）（1）证明：正三角形内任一点（不与顶点重合）到三边的距离和为定值（2）通过对（1）的类比，提出正四面体的一个正确的结论，并予以证明考点：类比推理；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：证明题；推理和证明分析：（1）利用等面积，即可证明结论；（2）根据平面中的某些性质类比推理出空间中的某些性质，一般遵循“点到线”，“线到面”，“面到体”等原则，由在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，是一个与线有关的性质，由此可以类比推出空间中一个与面有关的性质，再由割补法可证明结论解答：（1）证明：图1所示，设p是正三角形abc内任一点（不与顶点重合），点p到正三角形三边的距离分别为h1，h2，h3，三角形边长为a，高为h，则三角形的面积s=ah=ah1+ah2+ah3，（4分）即h=h1+h2+h3所以，正三角形内任一点（不与顶点重合）到三边的距离和为定值（5分）（2）类比的结论是：正四面体内任一点（不与顶点重合）到它的四个面的距离和为定值（8分）下面给出证明：如图2：设点p为正四面体abcd内部任一点，且点p到四个面的距离分别为pm1，pm2，pm3，pm4，正四面体的高为h，则点p将四面体分成四个共顶点的三棱锥因为abcd为正四面体，所以四个面面积相同，由vpbcd+vpacd+vpabd+vpabc=vabcd得：pm1+pm2+pm3+pm4=h（14分）点评：本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）17（14分）已知函数f（x）=ax3+3x212x+1（ar），且当x0时，0（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间的最大值与最小值考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（1）由题意可得f（1）=0，求出导数，解方程可得a=2，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间；（2）由（1）可得x=2取得极大值，x=1处取得极小值，求得f（3）和f（3），即可得到最值解答：解：（1）当x0时，0，即f（1）=0，又f（x）=3ax2+6x12，则3a+612=0，故a=2；所以f（x）=6x2+6x12，令f（x）0，解得x2或x1，所以函数f（x）的单调增区间为（，2）和（1，+）；令f（x）0，解得2x1，所以函数f（x）的单调减区间为（2，1）；（2）f（x）=2x3+3x212x+1，由（1）列表如下：x3（3，2）2（2，1）1（1，3）3f（x）+00+f（x）10递增21递减6递增46从上表可知，函数f（x）在x=2处取得极大值，在x=1时取得极小值，又因为f（3）=106，f（3）=4621，所以函数f（x）在区间上的最大值是46，最小值是6点评：本题考查导数与极限的关系，导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题18（16分）已知f（x）=axlnx，x（0，e，其中e是自然对数的底数，ar（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）是否存在实数a使函数f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（3）在（1）的条件下，证明不等式f（x）+，x（0，e恒成立考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：导数的综合应用分析：（1）将a=1代入函数的表达式，求出f（x）的导数，得到函数f（x）的单调区间，从而求出函数的极值；（2）先求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，从而求出a的值；（3）令g（x）=+，x（0，e，通过求出g（x）的导数，得到g（x）的单调区间，从而求出故g（x）max，进而得到f（x）ming（x）max，问题得证解答：解：（1）当a=1时，f（x）=xlnx，f（x）=1=，x（0，e，令f（x）0，解得：1xe，令f（x）0，解得：0x1，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，e上单调递增，且当x（0，e时，f（x）有极小值f（1）=1；（2）由f（x）=axlnx，得f（x）=a=，x（0，e，当a时，有f（x）0恒成立，此时函数在（0，e上单调递减，f（x）min=f（e）=aelne=ae1=3，a=（舍），当a时，令f（x）0，解得：xe，令f（x）0，解得：0x，函数f（x）在（0，）单调递减，在（，e）上单调递增，f（x）min=f（）=1ln=3，a=e2，综上，a=e2时满足条件（3）由（1）知，当x（0，e）时，f（x）有极小值f（1）=1，令g（x）=+，x（0，e，则g（x）=，当x（0，e时，g（x）0，则g（x）在（0，e上单调递增，故g（x）max=g（e）=+，f（x）ming（x）max，因此，不等式f（x）+，x（0，e恒成立点评：本题考察了函数的单调性，极值问题，考察导数的应用，是一道中档题19（16分）如图，在圆心角为变量2（02）的扇形oab内作一半径为r的内切圆p，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆p外切的小圆q，圆p与圆q相切于c点，圆p和圆q与半径oa分别切于e，d两点（1）当圆q的半径不低于时，求的最大值；（2）设bh为点b到半径oa的距离，当取得最大值时，扇形被称之为“最理想扇形”求“最理想扇形”的面积考点：利用导数求闭区间上函数的最值 专题：导数的综合应用分析：（1）由题意得oa=，qd=r，由qd可得sin的不等式，解不等式解正弦函数的单调性可得；（2）可得=2cos（1+sin），设f（）=cos（1+sin），（0，），由导数法可得函数的最值，可得结论解答：解：（1）由题意得op=，又op+pe=oa，+r=oa，oa=r，又oq=且op=oq+cq+pc，=+qd+r，qd=r则当圆q的半径不小于，即qd也即rr，整理得10sin27sin+10，即sin，又（0，），y=sin在（0，）单调增，故的最大值为；（2）bh=obsin2=sin2r=2cos（1+sin