第九章SECTION5二次型与埃尔米特型.doc

5 二次型与埃尔米特型一、 二次型双线性型 若2n个实（或复）变数， 的一个二次齐次多项式 （1）称为双线性型，式中 ， 二次型 关于n个实（或复）变数的一个二次齐次多项式 （2）称为二次型，式中，是矩阵A的对称部分，即的元素是. 表达式（2）恒等于零的充分必要条件是：A是反对称的. 当矩阵A是对称的，则称二次型是对称的. 当矩阵A是实的（是实数），则称二次型是实的. 由（2）可知，每个二次型都可化为对称的. 一个实对称二次型当对每组不全为零的实数，使得，或，则分别称二次型是正定的，负定的，半正定的或半负定的. 其他一切实对称二次型称为不定的（即的符号与有关）或恒等于零. 化二次型为标准型1o一个线性变换 （3）或 把每个二次型（2）变为关于新变数的一个二次型 （4）其中 或 若A是对称的，则也是对称的；若A和T都是实的，则也是实的. 2o对每个实对称二次型，存在具实系数的线性变换（3），使得在（4）中的矩阵是对角线矩阵，所以 （5）在（5）式中系数不等于零的个数r与所采用的对角化的变换无关，并且等于已知矩阵A的秩，r称为二次型的秩. （5）式中系数的正数与负数个数之差也与所采用的对角线化的变换无关（即雅可比-西尔维斯特惯性定律），它称为二次型的符号差. 3o特别，对每个实对称二次型，存在一个对应于实正交矩阵T的线性变换，可把二次型化为标准型，即 （6） 式中实数是已知矩阵A的特征值. 4o再施行变换，表达式（6）化为 式中等于1，或0，分别对应于特征值是正的，负的或零. 两个二次型的联立简化 给定两个实对称二次型，其中是正定的，我们能求出一个实变换（3），它可以把，同时化为标准型. 特别是存在一个实变换（3），使 实数是矩阵的特征值，它们是n次代数方程 的根 正定等的判别法 1o一个实对称二次型是正定，负定，半正定，半负定，不定或恒等于零的充分必要条件是：矩阵的特征值（一定是实的）分别都是正的，都是负的，都是非负的，都是非正的，符号不同或都等于零. 2o一个实对称二次型是正定或半正定的充分必要条件是：的每个主子式 都是正的或非负的. 3o一个实对称二次型为负定或半负定的充分必要条件是：分别是正定或半正定. 4o一个实矩阵A是一个半正定矩阵的充分必要条件是：. 若B是非奇异的，则A是正定的. 5o若A与B都是正定的或负定的，则AB也都是正定的或负定的. 每个正定矩阵A有唯一的决定于（Q是正定的）的一对平方根Q，. 二、 埃尔米特(H)型 H型 关于n个实（或复）变数的一个二次型 称为一个埃尔米特型（H型），式中A为一个n阶埃尔米特矩阵（第四章，2，四），即. 如果一个H型对任一组不全为零的复数，使得，或，则分别称H型为正定的，负定的，半正定的或半负定的. 其他一切H型称为不定的（即的符号与有关）或恒等于零. 化H型为标准型1o一个线性变换（3）把每个H型变为关于新变数的一个新的H型 式中 或 2o对每个H型，存在线性变换（3），使得 （7）在（7）式中系数不等于零的个数r与所采用的对角化的变换无关，并且等于已知矩阵A的秩，r称为H型的秩. 3o特别，对每个H型存在一个对应于对角线酉矩阵T的线性变换，可把H型化为标准型 （8）式中实数组是已知矩阵A的特征值. 4o再施行变换，表达式（8）化为 式中等于1，或0，分别对应于特征值是正的，负的或零. 两个H型的联立简化 给定两个H型与，其中是正定的，存在一个变换（3），使得 实数是矩阵的特征值，它们是n次代数方程 的根. 正定等的判别法 1o一个H型是正定，负定，半正定，半负定，不定或恒等于零的充分必要条件是：矩阵A的特征值（一定是实的）分别都是正的，都是负的，都是非负的，都是非正的，符号不同或都等于零. 2o一个埃尔米特矩阵A（和相应的H型）是正定或半正定的充分必要条件是：的每个主子式都是正