高考数学二轮复习专题六概率与随机变量及其分布第2讲随机变量及其分布列课件

第2讲随机变量及其分布列 高考定位概率模型多考查独立重复试验 相互独立事件 互斥事件及对立事件等 对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的 热点 多在解答题的前三题的位置呈现 常考查独立事件的概率 超几何分布和二项分布的期望等 真题感悟 2016 全国 卷 某公司计划购买2台机器 该种机器使用三年后即被淘汰 机器有一易损零件 在购进机器时 可以额外购买这种零件作为备件 每个200元 在机器使用期间 如果备件不足再购买 则每个500元 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 得下面柱状图 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率 记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数 n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数 1 求X的分布列 2 若要求P X n 0 5 确定n的最小值 3 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据 在n 19与n 20之中选其一 应选用哪个 解 1 由柱状图并以频率代替概率可得 一台机器在三年内需更换的易损零件数为8 9 10 11的概率分别为0 2 0 4 0 2 0 2 从而P X 16 0 2 0 2 0 04 P X 17 2 0 2 0 4 0 16 P X 18 2 0 2 0 2 0 4 0 4 0 24 P X 19 2 0 2 0 2 2 0 4 0 2 0 24 P X 20 2 0 2 0 4 0 2 0 2 0 2 P X 21 2 0 2 0 2 0 08 P X 22 0 2 0 2 0 04 所以X的分布列为 2 由 1 知P X 18 0 44 P X 19 0 68 故n的最小值为19 3 记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用 单位 元 当n 19时 E Y 19 200 0 68 19 200 500 0 2 19 200 2 500 0 08 19 200 3 500 0 04 4040 当n 20时 E Y 20 200 0 88 20 200 500 0 08 20 200 2 500 0 04 4080 可知当n 19时所需费用的期望值小于n 20时所需费用的期望值 故应选n 19 考点整合 1 条件概率 2 相互独立事件同时发生的概率P AB P A P B 3 独立重复试验 4 超几何分布 5 离散型随机变量的分布列 为离散型随机变量 的分布列 2 离散型随机变量 的分布列具有两个性质 pi 0 p1 p2 pi 1 i 1 2 3 3 E x1p1 x2p2 xipi xnpn为随机变量 的数学期望或均值 D x1 E 2 p1 x2 E 2 p2 xi E 2 pi xn E 2 pn叫做随机变量 的方差 4 性质 E a b aE b D a b a2D X B n p 则E X np D X np 1 p X服从两点分布 则E X p D X p 1 p 热点一相互独立事件 独立重复试验概率模型 微题型1 相互独立事件的概率 1 获赔的概率 2 获赔金额 单位 元 的分布列 综上知 的分布列为 探究提高对于复杂事件的概率 要先辨析事件的构成 理清各事件之间的关系 并依据互斥事件概率的和 或者相互独立事件概率的积的公式列出关系式 含 至多 至少 类词语的事件可转化为对立事件的概率求解 并注意正难则反思想的应用 即题目较难的也可从对立事件的角度考虑 微题型2 独立重复试验的概率 1 若走L1路线 求最多遇到1次红灯的概率 2 若走L2路线 求遇到红灯的次数X的数学期望 3 按照 遇到红灯的平均次数最少 的要求 请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线 并说明理由 探究提高在解题时注意辨别独立重复试验的基本特征 1 在每次试验中 试验结果只有发生与不发生两种情况 2 在每次试验中 事件发生的概率相同 1 求甲在4局以内 含4局 赢得比赛的概率 2 记X为比赛决出胜负时的总局数 求X的分布列和均值 数学期望 热点二离散型随机变量的分布列 微题型1 利用相互独立事件 互斥事件的概率求分布列 1 小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率 2 两次回球结束后 小明得分之和X的分布列与数学期望 可得随机变量X的分布列为 探究提高解答这类问题使用简洁 准确的数学语言描述解答过程是解答得分的根本保证 引进字母表示事件可使得事件的描述简单而准确 或者用表格描述 使得问题描述有条理 不会有遗漏 也不会重复 分析清楚随机变量取值对应的事件是求解分布列的关键 微题型2 二项分布 1 若小明选择方案甲抽奖 小红选择方案乙抽奖 记他们的累计得分为X 求X 3的概率 2 若小明 小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖 问 他们选择何种方案抽奖 累计得分的数学期望较大 2 设小明 小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1 都选择方案乙所获得的累计得分为X2 则X1 X2的分布列如下 微题型3 超几何分布 例2 3 2016 合肥二模 为推动乒乓球运动的发展 某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加 现有来自甲协会的运动员3名 其中种子选手2名 乙协会的运动员5名 其中种子选手3名 从这8名运动员中随机选择4人参加比赛 1 设A为事件 选出的4人中恰有2名种子选手 且这2名种子选手来自同一个协会 求事件A发生的概率 2 设X为选出的4人中种子选手的人数 求随机变量X的分布列和数学期望 探究提高抽取的4人中 运动员可能为种子选手或一般运动员 并且只能是这两种情况之一 符合超几何概型的特征 故可利用超几何分布求概率 训练2 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站 过去50年的水文资料显示 水库年入流量X 年入流量 一年内上游来水与库区降水之和 单位 亿立方米 都在40以上 其中 不足80的年份有10年 不低于80且不超过120的年份有35年 超过120的年份有5年 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率 并假设各年的年入流量相互独立 1 求未来4年中 至多有1年的年入流量超过120的概率 2 水电站希望安装的发电机尽可能运行 但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制 并有如下关系 若某台发电机运行 则该台年利润为5000万元 若某台发电机未运行 则该台年亏损800万元 欲使水电站年总利润的均值达到最大 应安装发电机多少台 所以 E Y 4200 0 2 10000 0 8 8840 安装3台发电机的情形 依题意 当40120时 三台发电机运行 此时Y 5000 3 15000 因此P Y 15000 P X 120 p3 0 1 由此得Y的分布列如下 所以 E Y 3400 0 2 9200 0 7 15000 0 1 8620 综上 欲使水电站年总利润的均值达到最大 应安装发电机2台 1 概率P A B 与P AB 的区别 1 发生时间不同 在P A B 中 事件A B的发生有时间上的差异 B先A后 在P AB 中 事件A B同时发生 2 样本空间不同 在P A B 中 事件B成为样本空间 在P AB 中 样本空间仍为总的样本空间 因而有P A B P AB 2 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为 第一步是 判断取值 即判断随机变量的所有可能取值 以及取每个值所表示的意义 第二步是 探求概率 即利用排列组合 枚举法 概率公式 常见的有古典概型公式 几何概型公式 互斥事件的概率和公式 独立事件的概率积公式 以及对立事件的概率公式等 求出随机变量取每个值时的概率 第三步是 写分布列 即按规范形式写出分布列 并注意用分布列的