2018年高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明学案苏教版.docx

2.2 直接证明与间接证明第1课时直 接 证 明1若实数a，b满足ab3，证明：2a2b4.证明：因为2a2b22，又ab3，所以2a2b24.故2a2b4成立问题1：本题利用什么公式？提示：基本不等式问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论2求证：22.证明：要证明20，20，只需证明(2)2(2)2，展开得114114，只需证明67，显然67成立所以2.证明：a0，b0，c0，且abc1，bccaab.又bcca222，同理bcab2，caab2.a、b、c不全相等上述三个不等式中的“”不能同时成立2(bccaab)2()，即bccaab，故.2.(1)如图，证明命题“a是平面内的一条直线，b是外的一条直线(b不垂直于)，c是直线b在上的投影，若ab，则ac”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)解：(1)证明：法一：如图，过直线b上任一点作平面的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面根据平面向量基本定理，存在实数，使得cbn，则aca(bn)(ab)(an)，因为ab，所以ab0，又因为a，n，所以an0，故ac0，从而ac.法二：如图，记cbA，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO，垂足为O，则Oc.PO，a，直线POa.又ab，b平面PAO，PObP，a平面PAO.又c平面PAO，ac.(2)逆命题为：a 是平面内的一条直线，b是外的一条直线(b不垂直于)，c是直线b在上的投影，若ac，则ab.逆命题为真命题.例2已知ab0，求证：.思路点拨本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法精解详析要证明成立，只需证ab2成立，即证()2成立只需证成立只需证1成立，即证2，即b0，成立成立一点通在已知条件较为简单，所要证的问题较为复杂，无从入手的情况下，我们可从结论入手逆推，执果索因，找到结论成立的条件，注明必要的文字说明，再用综合法写出步骤3若P，Q，a0，求证：PQ.证明：要证PQ，主要证P2Q2，只要证2a722a72，即证a27aa27a12，即证012.因为012成立，所以PQ成立4已知a、b是正实数，求证： .证明：要证 ，只需证ab()即证(ab)()()，即证ab.也就是要证ab2.因为a，b为正实数，所以ab2成立，所以 .例3已知0a1，0b1，0c1，求证：1.思路点拨因为0a1，0b1，00，b0，c0，要证1，只需证1abbccaabcabc，即证1abbcca(abcabc)0.1abbcca(abcabc)(1a)b(a1)c(a1)bc(1a)(1a)(1bcbc)(1a)(1b)(1c)，又a1，b1，c1，(1a)(1b)(1c)0，1abbcca(abcabc)0成立，即证明了1.一点通(1)较为复杂问题的证明如单纯利用分析法和综合法证明较困难，这时可考虑分析法、综合法轮流使用以达到证题目的(2)综合法和分析法的综合应用过程既可先用分析法再用综合法，也可先用综合法再用分析法，一般无具体要求，只要达到证题的目的即可5在ABC中，三个内角A、B、C成等差数列求证：.证明：要证，只需证3，即1，只需证1，即1.下面证明：1.AC2B，ABC180，B60.b2a2c2ac.1.故原等式成立6若a，b，c是不全相等的正数求证：lglglglg alg blg c.证明：要证lglglglg alg blg c成立，即证lglg(abc)成立，只需证abc成立，0，0，0，abc0，(*)又a，b，c是不全相等的正数，(*)式等号不成立，原不等式成立1综合法：由因导果，步骤严谨，逐层递进、步步为营，书写表达过程是条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹、缺点是探路艰难，不易达到所要证明的结论2分析法：执果索因，方向明确、利于思考，便于寻找解题思路缺点是思路逆行、叙述繁琐、表述易出错3在解决一个问题时，我们常常把综合法和分析法结合起来使用根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P1；根据原结论的特点去寻求使结论成立的条件，寻找到条件P2；当由P1可以推出P2时，结论得证一、填空题1在ABC中，AB是sin Asin B的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析：在ABC中，由正弦定理得.又AB，ab，sin Asin B反之，若sin Asin B，则ab，ABAB是sin Asin B的充要条件答案：充要2设nN，则_(判断大小)解析：要证，只需证，只需证()2()2，即2n522n52.只需证，只需证(n1)(n4)(n2)(n3)，即n25n4n25n6，即46即可而46成立，故.答案：ab，则实数a，b应满足的条件是_解析：ababaabba()b()(ab)()0()()20，故只需ab且a，b都不小于零即可答案：a0，b0且ab4若三棱锥SABC中，SABC，SBAC，则S在底面ABC上的射影为ABC的_(填重心、垂心、内心、外心之一)解析：如图，设S在底面ABC上的射影为点O，SO平面ABC，连接AO，BO，SABC，SOBC，BC平面SAO，BCAO.同理可证，ACBO.O为ABC的垂心答案：垂心5已知函数f(x)10x，a0，b0，Af，Bf，Cf，则A，B，C的大小关系为_解析：由，又f(x)10x在R上是单调增函数，所以fff，即ABC.答案：ABC二、解答题6已知函数f(x)log2(x2)，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论解：f(a)f(c)2f(b)证明如下：因为a，b，c是两两不相等的正数，所以ac2.因为b2ac，所以ac2(ac)b24b，即ac2(ac)4b24b4，从而(a2)(c2)(b2)2.因为f(x)log2(x2)是增函数，所以log2(a2)(c2)log2(b2)2，即log2(a2)log2(c2)2log2(b2)故f(a)f(c)2f(b)7已知a0，用分析法证明： a2.证明：要证 a2，只需证 2a.因为a0，故只需证，即a24 4a222 2，从而只需证2 ，只需证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立8(江苏高考改编)设an是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，Sn是其前n项的和记bn，nN*，其中 c为实数若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Sk(k，nN*)证明：由c0，得bnad.又b1，b2，b4成等比数列，所以bb1b4，即a，化简得d22ad0.因为d0，所以d2a.因此，对于所有的mN*，有Smm2a.从而对于所有的k，nN*，有Snk(nk)2an2k2an2Sk.第2课时间 接 证 明1问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”该广告词实际说明了什么？提示：说的是：“不拥有的人们不幸福”2已知正整数a，b，c满足a2b2c2.求证：a，b，c不可能都是奇数问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？提示：不能问题2：a、b、c不可能都是奇数的反面是什么？还满足条件a2b2c2吗？提示：都是奇数若a、b、c都是奇数，则不能满足条件a2b2c2.1间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法通常称为间接证明反证法就是一种常用的间接证明方法，间接证明还有同一法、枚举法等2反证法(1)反证法证明过程反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)，用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用下面的框图表示：(2)反证法证明命题“若p则q”的步骤反设假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立1反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法2可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设矛盾；(2)与反设矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；(4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论例1已知平面上四点，没有三点共线，求证：以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形思路点拨本题证明的命题是否定性命题，解答时先假设四个三角形都是锐角三角形，再分情况去推出矛盾精解详析假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D，考虑ABC，点D的位置分为在ABC之内或之外两种情况(1)如果点D在ABC之内(如图(1)，根据假设围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270，这与一个周角等于360矛盾(2)如果点D在ABC之外(如图(2)，根据假设A，B，C，D都小于90，这和四边形内角之和等于360矛盾综上所述原结论成立一点通(1)结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题正面比较模糊，而反面比较具体，适于应用反证法(2)反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”反证法属“间接解题方法”1实数a、b、c不全为0等价于_(填序号)a，b，c全不为0；a，b，c中最多只有一个为0；a，b，c中只有一个不为0；a，b，c中至少有一个不为0.解析：“不全为0”等价于“至少有一个不为0”答案：2.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点N是CD的中点，用反证法证明直线BM与直线A1N是两条异面直线解：假设直线BM与A1N共面则A1D1平面A1BND1，且平面A1BND1平面ABCDBN，由正方体特征知A1D1平面ABCD，故A1D1BN，又A1D1BC，所以BNBC.这与BNBCB矛盾，故假设不成立所以直线BM与直线A1N是两条异面直线3已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：， 不成等差数列证明：假设，成等差数列，则2，即ac24b，而b2ac，即b，ac24，所以()20.即，从而abc，与a，b，c不成等差数列矛盾，故， ， 不成等差数列例2求证：两条相交直线有且只有一个交点思路点拨“有且只有一个”的否定分两种情况：“至少有两个”、“一个也没有”精解详析假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不只有一个交点若直线a，b无交点，则ab或a，b是异面直线，与已知矛盾若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾综上所述，两条相交直线有且只有一个交点一点通证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和惟一性当证明结论以“有且只有”“只有一个”“惟一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其惟一性就较为简单明了4证明方程2x3有且仅有一个根证明：2x3，xlog23，这说明方程有一个根下面用反证法证明方程2x3的根是惟一的，假设方程2x3有两个根b1、b2(b1b2)，则2b13，2b23.两式相除得：2b1b21.如果b1b20，则2b1b21，这与2b1b21相矛盾如果b1b20，则2b1b21.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数思路点拨本题要证a、b、c、d中至少有一个是负数，具体有一个负数？两个负数？三个负数？还是四个负数？都有可能，谁是负数也都有可能所以正面证明很复杂，可考虑用反证法精解详析假设a、b、c、d都不是负数，即a0，b0，c0，d0.abcd1，b1a0，d1c0.acbdac(1a)(1c)2ac(ac)1(aca)(acc)1a(c1)c(a1)1.a(c1)0，c(a1)0.a(c1)c(a1)11，即acbd1.与acbd1相矛盾假设不成立a、b、c、d中至少有一个是负数一点通(1)对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有n1个至少有n1个6已知a，b，c(0，1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.证明：假设(1a)b，(1b)c，(1c)a都大于.a，b，c(0，1)，1a0，1b0，1c0， .同理，.三式相加，得，即，矛盾所以(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.7用反证法证明：若函数f(x)在区间a，b上是增函数，那么方程f(x)0在区间a，b上至多只有一个实数根证明：假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个根，设，为其中的两个实根因为，不妨设，又因为函数f(x)在区间a，b上是增函数，所以f()180，这与三角形内角和为180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设ABC中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为_解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为.答案：5用反证法证明命题“若x2(ab)xab0，则xa且xb”时，应假设为_解析：对“且”的否定应为“或”，所以