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构造函数证明不等式1.已知函数（为自然对数的底数）（1）求函数的最小值；（2）若，证明：（1）解：，令，得当时，当时， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增当时，有最小值1 （2）证明：由（1）知，对任意实数均有，即 令（），则， 即 ， 2. 已知函数（）若，试确定函数的单调区间；（）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（）设函数，求证：解：（）由得，所以由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是（）由可知是偶函数于是对任意成立等价于对任意成立由得当时，此时在上单调递增故，符合题意当时，当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在上，依题意，又综合，得，实数的取值范围是（）， 由此得，故3. 设函数，其中（）当时，判断函数在定义域上的单调性；（）求函数的极值点；（）证明对任意的正整数，不等式都成立解：（）由题意知，的定义域为，设，其图象的对称轴为，当时，即在上恒成立，当时，当时，函数在定义域上单调递增（）由（）得，当时，函数无极值点时，有两个相同的解，时，时，时，函数在上无极值点当时，有两个不同解，时，即，时，随的变化情况如下表：极小值由此表可知：时，有惟一极小值点，当时，此时，随的变化情况如下表：极大值极小值由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；综上所述：时，有惟一最小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，无极值点（）当时，函数，令函数，则当时，所以函数在上单调递增，又时，恒有，即恒成立故当时，有对任意正整数取，则有所以结论成立4.设函数()求的单调区间；()当时，若方程在上有两个实数解，求实数t的取值范围；()证明：当mn0时，.解析：（）时， 在（1，+）上是增函数 当时，在上递增，在单调递减.（）由（）知，在上单调递增，在上单调递减又 当时，方程有两解（）要证：只需证只需证：设， 则由（）知在单调递减 ，即是减函数，而mn. 5. 已知函数（）试判断函数的单调性，并说明理由；（）若恒成立，求实数的取值范围；（）求证：.解：（1） 故在递减 3分 （2） 记 5分再令 在上递增。 ，从而 g(x)0故g(x)在上也单调递增 8分（3）方法1：由（2）知：恒成立，即 令 则 10分 12分 叠加得： 14分方法2：用数学归纳法证明（略）。6.数列an满足.（）用数学归纳法证明：；（）已知不等式，其中无理数（）证明：（1）当n=2时，不等式成立.（2）假设当时不等式成立，即那么. 这就是说，当时不等式成立.根据（1）、（2）可知：成立.（）证法一：由递推公式及（）的结论有 两边取对数并利用已知不等式得 故 上式从1到求和可得即（）证法二：由数学归纳法易证成立，故令取对数并利用已知不等式得 上式从2到n求和得 因故成立.7. .(1)若求的单调区间及的最小值;(2)若,求的单调区间;(3)试比较与的大小.,并证明你的结论.(1)当时,在区间上是递增的.2分 当时,在区间上是递减的.故时,的增区间为,减区间为,.4分(2)若,当时,则在区间上是递增的;当时, 在区间上是递减的.6分若,当时,则在区间上是递增的, 在区间上是递减的;当时, 在区间上是递减的,而在处有意义;则在区间上是递增的,在区间上是递减的.8分 综上: 当时, 的递增区间是,递减区间是;当,的递增区间是,递减区间是. 9分(3)由(1)可知,当时,有即=. 14分8. 已知数列满足：，（其中为自然对数的底数）（1）求数列的通项；（2）设，求证：， 解：（1），即 3分令，则，因此，数列是首项为，公差为的等差数列， 5分 6分（2）（方法一）先证明当时，设，则，当时，在上是增函数，则当时，即8分因此，当时， 9分当时， 10分12分14分（方法二）数学归纳法证明（1），当时，成立；，又，当时，成立 8分（2）设时命题成立，即，当时，要证， 即证，化简，即证 9分设，则，当时，在上是增函数，则当时，即因此，不等式成立，即当时成立 11分当时，要证， 即证，化简，即证 根据前面的证明，不等式成立，则时成立由数学归纳法可知，当时，不等式，