平面向量的坐标表示及其运算讲义.doc

源于名校，成就所托学科教师辅导讲义学员学校： 年 级：高二 课时数：2学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师： 课 题向量的坐标表示及其运算授课日期及时段教学目的1. 掌握向量的坐标表示法。2. 掌握向量的加法、减法、数与向量的乘法等运算的坐标表示形式。3. 理解和掌握两个非零向量平行的充要条件（坐标形式）。4. 学会定比分点公式的推导方法。5. 理解定比分点公式，掌握中点坐标公式。教学内容【知识结构】1. 基本单位向量：在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位向量，记作。2. 位置向量：起点是坐标原点O的向量。已知A(x,y),则位置向量。我们把有序实数对（x,y）叫做位置向量的坐标，记作。注：位置向量的坐标就是位置向量终点的坐标。3. 已知任意两点，则自由向量=（）注：自由向量的坐标就是向量终点坐标减去起点坐标。4. 向量运算的坐标表示形式设是一个实数，则= 说明向量相加等于坐标分量相加； =（） 说明向量相减等于坐标分量相减； = 数乘向量等于数乘每一个分量； = 向量的模等于对应坐标分量平方和开根号； 向量相等的充要条件是对应的坐标分量相等5. 非零向量平行的充要条件是6. 已知P是直线上一点，且 ，则 ，这个公式叫做点P的分线段的定比分点公式，其中叫做定比，点P叫做分点。特别的，当=1时，P为的中点。此时叫做中点公式。【例题精讲】 例1. 平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),解答下列问题:(1)求3a+b-2c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)若(a+kc)(2b-a),求实数k;(4)设d=(x,y)满足(d-c)(a+b)且|d-c|=1,求d.例2.已知，求线段AB的三等分点C、D的坐标例3.已知，O为坐标原点。（1）求(2)若求实数x,y的值例4已知点 及.求点C、D和的坐标。例5.已知：点，若=+()，则为何值时，点P在第一、第三象限的角平分线上？点P在第三象限内？例6. 已知点O是ABC内一点，AOB=150,BOC=90,设=a, =b,=c,且|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用a和b表示c.分析 本例是用平面内两个不共线的向量表示同一平面内的另一个向量.根据平面向量的基本定理有c=1a+2b,当a、b、c的坐标已知时，该式实际上是一个关于1、2的二元一次方程组，由此可确定1、2，这也是解决本题的一个重要思路.解：如图1所示，以点O为原点，为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系.由三角函数的定义，得B(cos150,sin150),图1C(3cos 240,3sin 240),即B(-,),C(-,-).a=(2,0),b=(-,),c=(-,-).设c=1a+2b (1,2R)，则得(-,-)=1(2,0)+2(-，)=(21-2,2).解得1=-3,2=-3.c=-3a-3b.例7. 例4向量b(3，1)，c(2，1)，若向量a与c共线，求ba的最小值.解：设ac(2，)，则ba(32，1)，baba的最小值为，此时ac.例8. 例3在OAB中，a，b，设点M分所成的比为21，点N分所成的比为31，而OM和BN交于点P，试用a和b表示OP.解： ()ab与共线，设ab又与共线，设s，ss() (1s) s (1s) s (1s)asb由知 t，ab例9.已知三角形ABC中，点D在AB上，,点E在AC边上，且DE恰将三角形ABC的面积平分，求点E的坐标例10. 过的重心作作一直线分别交、于点、若，则的值为多少？例11. 设点在内部，且有，则的面积与的面积的比为多少？【巩固练习】一、选择题1. 已知四个点、，则四边形的形状是（）A梯形 B邻边不相等的平行四边形C菱形 D正方形2设 M 是ABC 的重心，则=（）ABCD3已知四边形是菱形，点在对角线上，（不包括端点、），则等于（）A，(0,1)B，(0,)C，(0,1)D，(0, )4 、分别为的边、上的中线，且，那么为（）AB C D5已知，当与共线时，的值为（）A B C D 6已知、，且、三点共线，则点坐标可以是（ ） A B CD7已知为原点，、是两定点，且点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则等于（）AB C D 8平面上有一个和一点，设，的中点分别为、，则向量等于（）ABC D图19.如图1，在梯形ABCD中，ABDC，且|AB|=|DC|，若=a,=b,则等于 ( )A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b10. 已知a=(-1,3),b=(x,-1),且ab，则x等于 ( )A.3 B. C.-3 D.-二、填空题1当_时，向量与共线且方向相同；当_时，与共线且方向相反2在中，、分别为边、的中点，已知点坐标为，点坐标为，点坐标为，则点坐标为_三解答题1已知A