高考数学一轮复习 211导数的应用课件 理 北师大版.ppt

考纲定位1 了解函数单调性和导数的关系 2 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 其中多项式函数一般不超过三次 3 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 其中多项式函数一般不超过三次 4 会用导数求函数的极大值 极小值 会求闭区间上函数的最大值 最小值 会利用导数解决某些实际问题 其中多项式函数一般不超过三次 教材回归1 函数的单调性与导数在区间 a b 内 函数的单调性与其导数的正负有如下关系 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递减 如果f x 0 那么f x 在这个区间内为常数 思考探究1 若函数f x 在 a b 内单调递增 那么一定有f x 0吗 f x 0是否是f x 在 a b 内单调递增的充要条件 提示 函数f x 在 a b 内单调递增 则f x 0 f x 0是f x 在 a b 内单调递增的充分不必要条件 2 函数的极值与导数 1 函数的极小值函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在x a附近其他点的函数值都小 f a 0 而且在点x a附近的左侧f x 0 则点a叫做函数y f x 的极小值点 f a 叫做函数y f x 的极小值 2 函数的极大值函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近的其他点的函数值都大 f b 0 而且在点x b附近 左侧f x 0 右侧f x 0 则点b叫做函数y f x 的极大值点 f b 叫做函数y f x 的极大值 极小值点 极大值点统称为极值点 极大值和极小值统称为极值 3 函数的最值 1 如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的极值 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 思考探究2 函数的极值和最值有哪些区别 提示 极值是指某一点附近函数值的比较 因此 同一函数在某一点的极大 小 值 可以比另一点的极小 大 值小 大 最大 最小值是指闭区间 a b 上所有函数值的比较 因而在一般情况下 两者是有区别的 极大 小 值不一定是最大 小 值 最大 小 值也不一定是极大 小 值 但如果连续函数在区间 a b 内只有一个极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 三基强化1 函数y x3 3x的单调递减区间是 a 0 b 0 c 1 1 d 1 1 解析 y 3x2 3 由3x2 3 0 得 1 x 1 答案 c 2 函数f x x3 ax 2在区间 1 上是增函数 则实数a的取值范围是 a 3 b 3 c 3 d 3 解析 f x x3 ax 2在 1 上是增函数 f x 3x2 a 0在 1 上恒成立 即a 3x2在 1 上恒成立 又 在 1 上 3x2 3 a 3 答案 b 3 函数y 2x3 3x2 12x 5在 0 3 上的最大值 最小值分别是 a 5 15b 5 4c 4 15d 5 16解析 y 6x2 6x 12 0 得x 1 舍去 或2 故函数y f x 2x3 3x2 12x 5在 0 3 上的最值可能是x取0 2 3时的函数值 而f 0 5 f 2 15 f 3 4 故最大值为5 最小值为 15 答案 a 4 已知函数y f x 其导函数y f x 的图象如图所示 则y f x a 在 0 上为减函数b 在x 0处取极小值c 在 4 上为减函数d 在x 2处取极大值解析 使导函数y f x 0的x的取值范围为增区间 使导函数y f x 0的x的取值范围为减区间 答案 c 答案 d 考点一函数的单调性与导数1 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 1 确定函数f x 的定义域 2 求f x 令f x 0 求出它在定义域内的一切实根 3 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义区间分成若干个小区间 4 确定f x 在各个开区间内的符号 根据f x 的符号判定函数f x 在每个相应小开区间内的增减性 2 证明可导函数f x 在 a b 内的单调性的步骤 1 求f x 2 确认f x 在 a b 内的符号 3 作出结论 f x 0时f x 为增函数 f x 0时f x 为减函数 3 已知函数的单调性 求参数的取值范围 应注意函数f x 在 a b 上递增 或递减 的充要条件应是f x 0 或f x 0 x a b 恒成立 且f x 在 a b 的任意子区间内都不恒等于0 这就是说 函数f x 在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f x0 0 甚至可以在无穷多个点处f x0 0 只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间 例1 2010全国 已知函数f x x3 3ax2 3x 1 1 设a 2 求f x 的单调区间 2 设f x 在区间 2 3 中至少有一个极值点 求a的取值范围 变式迁移1设函数f x x3 ax2 9x 1 a 0 若曲线y f x 的斜率最小的切线与直线12x y 6平行 求 1 a的值 2 函数y f x 的单调区间 2 由 1 知a 3 因此f x x3 3x2 9x 1 f x 3x2 6x 9 3 x 3 x 1 令f x 0 解得x1 1 x2 3 当x 1 时 f x 0 故f x 在 1 上为增函数 当x 1 3 时 f x 0 故f x 在 1 3 上为减函数 当x 3 时 f x 0 故f x 在 3 上为增函数 由此可见 函数f x 的单调递增区间为 1 和 3 单调递减区间为 1 3 考点二函数的极值与导数运用导数求可导函数y f x 极值的步骤 1 先求函数的定义域 再求函数y f x 的导数f x 2 求方程f x 0的根 3 检查f x 在方程根的左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 特别警示 可导函数的极值点必须是导数为0的点 导数为0的点不一定是极值点 可导函数f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0且在x0的左侧与右侧的f x 的符号不同 不可导的点也可能是极值点 由此可知 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 作出不等式组表示的平面区域如图 变式迁移2已知函数f x ax3 bx2 3x在x 1处取得极值 1 讨论f 1 和f 1 是函数f x 的极大值还是极小值 2 过点a 0 16 作曲线y f x 的切线 求此切线方程 若x 1 1 则f x 0 故f x 在 1 1 上是减函数 所以f 1 2是极大值 f 1 2是极小值 2 曲线方程为y x3 3x 点a 0 16 不在曲线上 设切点为m x0 y0 则点m的坐标满足y0 x03 3x0 因f x0 3 x02 1 故切线的方程为y y0 3 x02 1 x x0 注意到点a 0 16 在切线上 有16 x03 3x0 3 x02 1 0 x0 化简得x03 8 解得x0 2 所以 切点为m 2 2 切线方程为9x y 16 0 考点三函数的最值与导数1 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的极值 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 2 1 根据最值的定义 求在闭区间 a b 上连续 开区间 a b 内可导的函数的最值时 可将过程简化 即不用判断使f x 0成立的点是极大值点还是极小值点 直接将极值点与端点的函数值进行比较 就可判定最大 小 值 2 定义在开区间 a b 上的可导函数 如果只有一个极值点 该极值点必为最值点 分析 1 先判断单调性 求其最值 2 构造新函数 利用最大值小于零 解 1 函数f x 的定义域为 因为f x x ex ex xex x 1 ex 由f x x 1 ex 0得x0 则f x 的单调递增区间为 0 单调递减区间为 0 考点四生活中的优化问题在求实际问题中的最大值或最小值时 一般是先设自变量 因变量 建立函数关系式 并确定其定义域 利用求函数的最值的方法求解 注意结果应与实际情况相结合 用导数求解实际问题中的最大 小 值时 如果函数在区间内只有一个极值点 那么依据实际意义 该极值点也就是最值点 例4某分公司经销某种品牌产品 每件产品的成本为3元 并且每件产品需向总公司交a元 3 a 5 的管理费 预计当每件产品的售价为x元 9 x 11 时 一年的销售量为 12 x 2万件 1 求分公司一年的利润l 万元 与每件产品的售价x的函数关系式 2 当每件产品的售价为多少元时 分公司一年的利润l最大 并求出l的最大值q a 分析 关键抽象出具体函数关系式 运用导数去解决 变式迁移4两县城a和b相距20km 现计划在两 y y 随x的变化情况如下表 考情分析导数的简单应用 包括求函数的极值 求函数的单调区间 证明函数的增减性等 出现率较高 其试题类型以选择题和填空题考查导数的运算 属容易题 以解答题考查导数的综合问题 难度较大 考场样题 易错盘点1 未弄清逻辑关系纠错训练1 在区间 a b 内f x 0 是 f x 在该区间内单调递增 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件 解析 一般地 由f x 0能推出f x 为增函数 反之 则不一定 如函数f x x3在区间 上单调递增 但是f x 0 因此f x 0是函数f x 为增函数的充分不必要条件 答案 a 2 概念应用错误纠错训练2判断正误 对于函数y x3有y 3x2 由y 0得x 0 所以x 0是