埃及数学在分数四则运算上的应用.doc

埃及數學在分數四則運算上的應用邱靜如一、前言數學第一冊的教材對於國一的學生來說，許多地方是相當熟悉的，尤其是第二章分數的四則運算，雖然課本教材的重點放在正、負分數的運算上，但因與國小的重疊性大，所以我選擇這一單元來做為學生第一次接觸數學史內容的時機，利用數學史的內容介紹不同風貌的數學，除了增加上課內容的多樣性外，更讓學生了解、體會數學的文化，而埃及的整數與分數運算便是我所主要採用的教材。 埃及對學生們而言並不陌生，金字塔、木乃伊、法老王等皆充滿了神秘性，而在進行這單元教學之前，恰好有一部以埃及為背景的好萊塢賣作電影上映，1 更增添了學生對埃及的無限想像，希望藉由這強大的動機，帶領學生探索數學的另一面。二、文本我們對古埃及數學知識的了解，很多是來自於現存的兩份紙草文件萊茵紙草(Rhind Papyrus) 和莫斯科紙草 (Moscow Papyrus)，前者是A.H. Rhind 於1858年在勒克蘇 (Luxor，位於尼羅河東岸，開羅南方415哩) 購得，距今約1650年，約18英呎長，3英呎寬，現存於大英博物館之中。這次教學中的文本便是取自萊茵紙草。 萊茵紙草中並無單純的加、減、乘、除的問題可供在課堂上直接使用，在紙草中的問題都和埃及人的日常生活相關，用今日語言來說，就是應用問題，所以常會混著加、減、乘、除運算；更進一步發現，在紙草的運算過程中有許多步驟是省略的，因此在介紹文本之前，需先自行設計較單純的題目，好讓學生能夠較容易地切入。 我選擇埃及萊茵紙草中的problem 69 (見附錄一)做說明，下面所附的文本是從此問題中取出的一部分。 80(/3+/2) 1 /3+/2 10 35/ 20 70/ 2 7/ 2/3 2+/3/ /21+/6 /2+/7埃及的數系埃及有一套自己的數系，1、10、100、10000000所代表的符號如下：110100100010000100000100000010000000至於介於其中的數，則以組和的方式呈現，例如：12。我們可以得知埃及的數制是採十進位的，但與現在不同的是他們並未有位置符號，因此，不管代表數的位置是在左邊或右邊，它所代表的數值依然是同一個，不過在實際使用上，通常將小的寫在左邊。在數字的運算方面，他們所用到的觀念是相當簡單而單純的，在加減運算上，只要數數看代表1、10、100等的符號有幾個即可；在做數字的乘除時，則利用加倍、減半的方法將問題轉換為加、減法來處理。舉例來說：加法：例： 32123212：其中代表十的符號有4個，代表一的符號有4個，所以總合為41041=44減法：例： 32123212：原本代表十的符號有3個，一的符號有2個，去掉1個十、2個一後，剩下2個十，所以兩數相減為20。乘法：例： 128 1 8 2 16 * 4 32 * 8 64 Ans: 32+64=96乘數8的一倍為8加倍：82=16再加倍：162=32再加倍：322=644+8=12128=(4+8)8 =32+64 =96除法：例： 244 1 4 *2 8 *4 16Ans: 2+4=6除數4的一倍為4加倍：42=8加倍：82=168+16=24244=(8+16)4 =2+4 =6除法：例： 254 1 4 *2 8 *4 16 2 * 1Ans: 2+4+=6除數4的一倍為4加倍：42=8加倍：82=16(因為4+8+1625，且湊不出25，所以從減半著手)減半： 42=2減半： 22=18+16+1=25254=(8+16+1)4 =2+4+ =6以上是整數的部分，再來看看分數：在分數符號的表示中，因為只有單位分數的存在(即分子為1的分數)，(除了兩個特例、，至於為何會有這兩個特例，在埃及所留下的資料中並無法發現。)所以便在整數符號上加上個來表示，例：；若有不為單位分數的數，便寫成其以單位分數表示出的和，例：。數學家Sylvester曾證明每個分數都可以寫成有限單位分數的和。2 在運算方面，基本上所使用的方法和整數部分相同，只是在做除法的運算過程中，會出現分子不為1的分數，這些分數必需再轉換為單位分數，雖然埃及有表(n=1、3、5、101)(如下)來作參考，但計算過程仍稍嫌複雜，表基本上，他們尚未形成完整的分數概念，只是掌握了將除式中的商表示為單位分數的一種方法，而利用這些單位分數來進行分數的四則運算，程序上的複雜使埃及人無法將代數和算數推廣到更高境界。分數的乘法例： 14(2) 1 2 * 2 4 * 4 9 * 8 182+4+8=1414(2)=(2+4+8)(2) =4+9+18 =32分數的除法例： 14(2) 1 2 * 2 4 * 4 94+9=1414(2)=(4+9)(2) =2+4 =6相關文獻探討 數學史家對埃及和巴比倫數學的評論通常是：(1)沒有一般性規則 (2)沒有證明 (3)缺乏抽象性 (4)不能區分正確和近似結果 (5)沒有可辨識的數學活動(即是純粹為數學而數學)3 。Kline更是露骨的表示，就同一標準而衡量，巴比倫人和埃及人只是技窮的木匠而已，而希臘人是非凡的建築師。4 但隨著近年來民族數學研究的興起，早已還給埃及數學一個應有的地位。5 其實，之所以會有上述對不公平的觀點，是因為掉入了對數學的四個迷思之中，認為數學是單一的 (unity)、普適的 (universality)、確定的 (certainty) 和客觀的 (objectivity) 6，而這四個迷思現仍普遍存在一般人的腦海中，這對要將數學當作一種人類活動來學習、欣賞，絕對是有著不利的影響！ 巴比倫巴比倫的數學是採取60進位制(亦有10進位制)，在1至60之間的數表示法和埃及數學類似，只是符號上的差異罷了，但一旦超過60的數便不一樣了，舉例來說：數這裡第一個不表示1，而代表60。相同的符號會隨著位置的不同而表示不同的值。 在運算方面，乘法有乘法表(12、13、5959)、除法表(12、13、16、18、19、110)，值得注意的是除法表中缺17，他們會儘可能的去避免使用它，會出現除法表主要是因為巴比倫人在作運算時的方法所導致。例：59=5(19)=50;6,40=0;33,20在分數方面，巴比倫缺乏令人滿意的符號， 既用來表示12/60，又代表12，至於代表何數得由上下文來決定。中國墨經、考工記在輪人為蓋一節中，有十分寸之一為枚的詞句，這種十分寸之一、十分寸之二的記法，成為中國古代分數的普遍記法。周髀算經有關分數的運算(與天文有關)例：一年365 1/4天，又19年應置入7個閏月，這樣每年平均有12 7/19月，每個月的日數：365 1/412 7/19=29 499/940，已知一個月是29 499/970日，月亮每天所行的平均度數為13 7/19，求12個月以後月亮的方位。即：29 499/9401213 7/19365 1/4求其餘數。答：354 6612/17860(在周髀算經中並未解釋分數系統的計算)九章算術分數的乘法：分子互乘，分母互乘(和現代的算法一樣)。分數的除法：先將分母通分，使除數與被除數為同分母，然後以被除數的分子為分子，除數的分子為分母，即得商。例：b/ad/cbc/acad/acbc/ad註：顛倒相乘來計算分數的除法則見於AD263年劉徽為九章算術所作的注文。三、上課教材 (見附錄二)此份教材是以兩堂課的時間來設計的，以較輕鬆活潑的方式呈現，在文章中穿插著許多圖片，以及有趣的文字字形來吸引他們的注意。教材的第一個部份為引起動機，由學生對埃及這個充滿神秘色彩民族的好奇心以切入我們的主題埃及的四則運算。1. 埃及的數字：從介紹埃及的數字開始，讓他們去體會埃及數字與現在所使用的阿拉伯數字的不同(位置符號)。學生對於這個部分的反應相當不錯，尤其在付予各個數字符號的意義之後(如1000000雙手高舉的人像；10000000的旭日東昇等)，學生會更有感覺。在回收的講義當中可發現學生在畫埃及的數字符號時的用心。2. 加減法：強調畫一畫、數一數就可算出來的簡便性，在上課的過程中有許多學生會有：啊？這樣就好啦？的反應出現，可見學生可從例題中強烈感受到此一特性。3. 乘除法：介紹埃及在做乘除法時所用到的加倍、減半的觀念，讓學生了解除了用九九乘法表之外，另一種解決乘除問題的方法。學生在這方面的反應並不如預期中的好，他們開始露出疑惑的眼神，在講解的過程中似乎顯得不太能接受，一來可能是因為例題的挑選不適當，二來在短時間中介紹了乘法和除法對學生們來說可能太趕了。4. 埃及分數的表示法：從前一部分除法的運算中可以發現單位分數的出現，剛開始讓學生猜測可能的呈現方式，再引入埃及的分數以加強學生的印象。在此值得一提的是有學生問道：埃及有分數，那有沒有小數、負數呢？可見他們已慢慢的體會到數學是會因民族、時間的不同而有所差異。5. 埃及文本： 在教材中放入埃及有關分數運算的文本，由前面所學的學生可以自行讀出古文本中所要表達的東西，讓學生藉著粵讀股古文本的過程中得到成就感。並藉著此文本帶進文本中分數的運算規則。四、學生反應此份教材的使用是在第二章教材教完後所實施，使用兩節課的時間來介紹。由學生的反應中可歸納出下列幾項優缺點。1. 印象深刻 學生對於這個課程的印象非常深刻。在上完此課程之後，他們便必須面對第二次段考，經過了一個禮拜段考結束後，在上到課本新單元一元一次方程式，介紹以符號代表數時，提到我們可以用一些符號來代替未知數，學生馬上聯想到埃及的數字符號，(他們對於1到10000000的符號記得還滿清楚的呢！)可見這些已印入他們的腦海之中，除此之外，也引起他們對埃及其它數學的好奇心，學生們會問到有關小數、負數甚至根號等他們學過的東西，在古埃及是個怎樣的情況。(*埃及把數學文字變成圖形真的很好玩。*埃及的各種圖案好有趣，還有雲的圖案。*我認為古代的這些埃及人真的非常閒，有事沒事去發明這些奇的數字，數字就是數字，圖畫就是圖畫，哪有人把圖畫當成數字來計算的，真的好奇怪啊！*古代埃及的數學很好玩，也可練習自己的繪畫技術，所以我想古代埃及人繪畫能力應該很強才對，他們創造出來的數字有些很可愛也很有創意。2. 了解不同文化的特性 在這之前，他們很少人會去思考是否有和現在所學不一樣的數學存在，從這個課程中引導他們去探究古埃及與現在的數學，就四則運算方面去比較差異與特色。古埃及所運用到的概念很簡單，可是算法、過程稍嫌冗長；現在的運算快速、簡便，可是所用到的觀念，卻較複雜，比如分數的除法，兩分數相除時，我們會將它改為乘上除數的倒數()這一點其實並不容易看出這麼做的原因。(*沒想到世界上竟然會有用加法就可以算的國家，但雖然概念簡單，可是要用好多符號才可以算，好麻煩喔！*雖然埃及他們的數字比較難，但藉著這些機會，能認識別種數字，我覺得也不錯啊！*我認為埃及人真的很聰明，因為要自己發明一套算數的方法真的不容易，就算他們所使用的符號很難懂，但我還是覺得他們很厲害。我對埃及人所用的符號非常好奇，如果有機會去埃及的話，我一定要對這些奇怪的符號做更近一步的了解。*埃及的人真的怪怪的，發明了一些讓人頭腦打結的數字，但是他們可以不用背九九乘法表也是有好處的。)3. 體會現代數字、數系的優點 現代的數制，無論表多大的數字，所用到的數字依然是0-9，可是若以埃及的記法來表示的話，那可得花費很多的時間去記數了。在此值得一提的是，有很多學生在這方面所反應出來的皆是哇！考試時用這種算法還得了。在他們心中，學數學對他們可能還是處於考試用佔大多數吧！(*我比較喜歡現在所學的數學，因為它非常的便利，而且又不用記很多的東西，不會被弄得團團轉。*好在阿拉伯有發明阿拉伯數字，讓我們有這麼簡單的數字符號。*我有一個疑問，當他們在考數學的時候，一題要花多少時間？考試又有幾題*我們現在所學的數學比較直接，算式雖然有點複雜，但是能比較快點算出答案，而埃及的數字雖然用圖畫表示，但是很複雜，而且又不能很快算出答來。*覺得我們的祖先好厲害，發明了那麼方便的數學讓我們買東西時能方便計算，如果用埃及的方式算，那要算到哪時候，買個東西用掉那麼多時間真不理想。*我很好奇老師為何會想到要教埃及古老的數字，為什麼不復習月考要考的地方，老師好像很放心我們一定考的好。)不過，在另一方面，學生對於課程的後半段漸漸產生困惑的現象，探究其原因，問題出在於教材設計太過心急，短短兩節課的時間介紹的內容範圍太多，學生並不易接受，也由於所舉的例子太少、且較複雜，所以當黑板呈現出的式子太長時，便覺得興趣缺缺、意興闌珊，因此，若稍加修改課程設計，選取一些較簡潔、容易的例題與練習題的話，應可改善此現象。五、檢討與建議檢討這次的教學，除了在上一點已提出，深切覺得若能在以下兩方面做更細膩的安排的話，整個學習效果應該會更好。1. 記數制度： 埃及的記數制度是簡單累數制，而學生所熟悉的是印度阿拉伯數碼的位值制，在教學中強烈發現，學生們覺得將數字用位值制來表示是再自然、再簡單不過的事了(雖然他們並不知道那就是位值制)，已經忘記年幼時學習數數的經驗了；然而，人類發展成印度阿拉伯數碼的位值制卻是一段漫漫長路，之前無論是埃及或是其他民族的記數制度，都有著各民族的文化意義與智慧，若要帶領學生去欣賞、經歷，一定要打開學生的眼界，讓他們的眼中不只有位值制而已。2. 視考試是一切 這其實是許多教師心中最大的無奈，在這次的教學中，我更是深刻地體會到它帶給我的挫折。學生認為學習是為了考試，所以一切都要求迅速、精確，也就拿這把尺來衡量埃及的數學，忽略了其他的面向，因此，也就喪失了去體會、經歷埃及的數學、文化與智慧。這個問題並不是一天兩天便能夠扭轉的，但我相信只要多給學生機會並持之以恆，這把尺在他們心中將會越來越模糊。註解註1 神鬼傳奇(Mummy)。註2 Bunt, L.N.H. et al ed., (1988). The Historical Roots of Elementary Mathematics. New York: Dover Publications, Inc.註3 蘇惠玉 (1998). “從民族數學到多元文化關懷的數學教育”註4 Kline, Morris (1983). 【數學數學思想的發展】，九章出版社註5 參看Joseph, 1994和蘇惠玉,1998。註6 參看Hersh, 1997, pp.37-39。Hersh, Reuben (1997). What Is Mathematics, Really?. New York: Oxford University Press參考文獻 李儼、杜石然 (1997). 中國古代數學簡史，台北：九章出版社。袁小明 數學思史導論，廣西教育出版社。梁宗巨 (1995). 數學歷史典故，台北：九章出版社。蘇惠玉 (1998). “從民族數學到多元文化關懷的數學教育”。Bunt, L.N.H. et al ed., (1988). The Historical Roots of Elementary Mathematics. New York: Dover Publications, Inc.Calinger, Ronald ed., (1982). Classics of Mathematics. New Jersey: Englewood Cliffs.Fauvel, John and Jeremy Gray eds., (1987). The History of Mathematics: A Reader. The Open University.Hersh, Reuben (1997). What Is Mathematics, Really?. New York: Oxford University Press.Joseph, George Gheverghese, (1991). The Crest of The Peacock: Non-European Roots of Mathematics. London: I.B. Tauris and Co.Katz, V.J., (1993). A History of Mathematics. HarperCollins College Publishers.Kline, Morris (1983). 數學數學思想的發展，台北：九章出版社。Kline, Morris (1995). 西方文化中的數學，台北：九章出版社。附錄一附錄二古墓大發現說到埃及，會讓你聯想到什麼？(嗯！應該很多吧！)那埃及的數學呢？埃及這個戴著神祕面紗的民族，留給後人最大的震撼就是金字塔，你是否想過，一個會造出這種偉大建築的人們，他們的數學究竟如何呢？我們知道早在阿拉伯數字出現之前就有數學活動的存在了，埃及，當然有囉！那，他們是怎麼算數學的呢？我們之前學了的分數，他們有沒有呢？嘿！別急，等著，我來告訴你！埃及的數字埃及的數字長得可愛多了，而且每個都有它代表的意思喔！110100100010,000100,0001,000,00010,000,000因為10、100、1000.等有自己的符號，所以它們的位置在哪並