人教版初中数学课标教材.ppt

人教版初中数学课标教材修订情况介绍人民教育出版社中学数学室李海东 对数学课程改革的回顾修订的指导思想教科书体系结构的修订修订中重点关注的一些问题一些具体问题的修订 1 国际数学课程改革的大背景新数运动 20世纪50 60年代 回到基础 20世纪70年代 问题解决 20世纪80年代 标准运动 20世纪90年代至今 一 对数学课程改革的回顾 20世纪80年代以来的数学教育改革 1980 行动议程 80年代数学教育的建议 问题解决应成为学校数学的核心 基本技能不能只考虑计算技能 数学课程要在所有的年级充分利用计算器和计算机 数学教学要有严格有效的标准 要用多种不同于常规考试的方法来评估学生的学习 学生应学习更多的数学 要设计更具有选择性的 更灵活的课程来满足不同学生群体的需要 对教师要有更高的专业要求 从个人和社会对数学要求的重要性的角度提高社会对数学教学的支持 1989 学校数学课程和评估标准 将 行动议程 发展为详细的数学教学和学习要求 是很多州制定数学教学标准 设定学生学习要求的重要指南 认识数学的重要性学生应有更多的机会了解数学的历史 以及数学与科学 文化发展的关联 让学生意识到数学在现代社会发展中所扮演的角色 并了解数学和其他学科的关系 对自身的数学能力充满信心通过学习数学 学生能利用自身的数学知识来理解和解决来自现实生活的问题 从某种意义上讲 每一个人都是数学家 并能有意识地使用数学 为学生提供大量的和多样性的数学活动 可以帮助学生对自己的数学思维增加信心 成为数学问题解决者问题解决应该成为学校数学教学的中心 数学课程和数学教学必须为学生提供具有挑战性的问题 比如那些需要数小时 数天甚至数周才有可能解决的问题 以及那些过程或结果是开放的 甚至不一定有正确答案的问题 学会数学交流学生设置一定的数学情境 使学生在其中能有机会基于数学符号 数学术语或数学概念来读 写和讨论 并使数学语言的使用成为学生自然或自发的活动 随着学生通过数学来交流和分享他们的想法 他们同时也学会了澄清 提炼和巩固自己的思维 学会数学推理产生猜想 收集证据和推理论证的过程 是与数学家的工作非常相似的数学活动 学生对猜想进行好的推理和论证的意义 应大于仅仅找出问题的正确答案 基本内容 问题解决 为学校教学核心强调数学知识的应用性降低内容标准满足个人兴趣爱好降低课程的统一性 增加多样性 选择性强调探究 合作的学习方式评价方式多样化改革带来的好处学习内容生动活泼学生活动增加一定程度上调动了学生的学习积极性 改革中出现的问题教学内容 宽一英里 深一英寸 过分强调问题解决导致 双基 不落实 教学质量下降 过分强调应用 导致破坏知识系统性 应用情景复杂 导致知识学习困难 过分的多样性和选择性导致数学课程没有标准 教学随意性大 使教学整体水平下降 过分强调自主建构 使学习目标不明确 学习效率 效果不理想 合作交流组织困难 导致学生依赖心理 责任心和思考能力下降 评价无据可循 随意 信度低 2000 中小学数学的原则和标准 强调了学校数学教育的基本原则 对1989年制定的标准进行了澄清和细化 从学校数学教育的原则 内容标准和过程标准等几大部分 对K 12年级的数学教育 教学和评价都做了详尽的阐述 原则公平 课程 教学 学习 评估 科技内容标准数与运算 代数 几何 度量 数据分析与概率标准应提供学科范围内所必需的知识与技能 标准应促进学生运用所学数学知识在新情境中进行推理 对于标准所提供的数学内容 学生通过努力可以掌握 在一般的课堂教学环境下 标准的要求是可以达到的 教师能够将标准所定的教学目标转化为教学实践活动 过程标准问题解决 推理与证明 交流 关联 表征 问题解决 通过解决问题掌握新的数学知识 解决在数学和其他情境中出现的问题 采用各种恰当的策略解决问题 检验和反思数学问题解决的过程 推理与证明 认识到推理和证明是数学的基础 提出并探讨数学猜想 发展和评价数学推理和证明 选择和运用不同的推理和证明方法 交流 通过交流组织和巩固他们的数学思维 清清楚连贯地与同伴 教师或其他人交流他们的数学思维 分析和评价他人的数学思维和策略 用数学语言精确地表达数学观点 关联 认识并应用数学观念间的相互联系 理解数学观念是如何相互关联和相互依赖形成一个连贯的整体 认识并能应用数学于数学以外的情境中 表征 创造和利用各种数学表征来组织 记录和交流数学观念 选择 应用和互换各种数学表征方法解决问题 应用表征模拟并解释物理的 社会的和数学中的现象 2000年标准的调整 问题解决 作为过程目标之一 把握基本技能 理解和问题解决的平衡 学习数学不可能总是好玩的 精心选择有效组织教学内容 保证课程内容内在的一致性 平衡讲授 引导 提问和总结 重新审视考试的作用 2006 学前班到八年级数学课程焦点 寻求课程的一致性 针对每个年级的水平 给出一些重要内容的教学目标 并指出对学校数学教学的重要标准与期望 对每个年级的重要数学概念和技能给出详细的说明 课程的组织则围绕这些焦点的详细说明来进行 在教学重点的把握 学生发展需要和评估教学效果等方面 这个文件也都给出了一些指导性的建议 从数学知识的角度看 必须是对今后进一步的数学学习和课堂之外的数学应用来说都是重要的内容 必须适合于人们所熟知的数学学习方式 必须能将以前学过的数学知识和以后将要学习的数学知识有机地联系起来 2008 高中数学的焦点 推理和数学意识 求变 革新 反思 批判 回归2 新世纪我国基础教育课程改革上世纪的数学教育改革2001义教数学课程标准2005全部使用2004普通高中数学课程标准2012全部使用义教数学课程标准修订2005开始2007征求意见稿2010修改稿2011年颁布2012使用新教材学习理念冷静思考探索创新实践提高 课程标准的修订教材实验的反馈信息对数学教材的进一步研究 二 教材修订的指导思想 数学原课标 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画 逐渐抽象概括 形成方法和理论 并进行广泛应用的过程 修订后 数学是研究数量关系和空间形式的科学 数学与人类发展和社会进步息息相关 特别是随着现代信息技术的飞速发展 数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面 数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具 不仅是自然科学和技术科学的基础 而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用 1 义教数学课程标准的修订 2011年6月稿 义教数学课程的定位原课标 义务教育阶段的数学课程 不仅要考虑数学自身的特点 更应遵循学生学习数学的心理规律 强调从学生已有生活经验出发 让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程 使学生获得对数学理解的同时 在思维能力 情感态度与价值观方面得到发展修订后 义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程 具有基础性 普及性和发展性 数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能 培养学生的抽象思维和推理能力 培养学生的创新意识和实践能力 促进学生在情感 态度与价值观等方面得到发展 基本理念原课标 人人学习有价值的数学人人都能获得必需的数学不同的人在数学上得到不同的发展修订后 人人都能获得良好的数学教育不同的人在数学上得到不同的发展 基本理念中的 数学教学 的表述将 数学学习 与 数学教学 合成一条 整体阐述数学教学的特征 教学活动是师生积极参与 交往互动 共同发展的过程 有效的教学活动是学生学与教师教的统一 学生是学习的主体 教师是学习的组织者 引导者与合作者 数学教学活动应激发学生兴趣 调动学生积极性 引发学生的数学思考 鼓励学生的创造性思维 要注重培养学生良好的数学学习习惯 使学生掌握恰当的数学学习方法 学生学习应当是一个生动活泼的 主动的和富有个性的过程 除接受学习外 动手实践 自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式 学生应当有足够的时间和空间经历观察 实验 猜测 计算 推理 验证等活动过程 教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础 面向全体学生 注重启发式和因材施教 教师要发挥主导作用 处理好讲授与学生自主学习的关系 引导学生独立思考 主动探索 合作交流 使学生理解和掌握基本的数学知识与技能 数学思想和方法 获得基本的数学活动经验 学习领域及其重点关注内容原课标 数与代数 空间与图形 统计与概率 实践与综合应用数感 符号感 空间观念 统计观念 应用意识 推理能力修订后 数与代数 图形与几何 统计与概率 综合与实践确立了 数感 符号意识 空间观念 几何直观 数据分析观念 运算能力 推理能力 模型思想 等八个义务教育阶段数学教育的关键词 并给出具体描述 为了适应时代发展对人才培养的需要 义务教育阶段的数学教育要特别注重发展学生的应用意识和创新意识 课程目标1 获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识 基本技能 基本思想 基本活动经验 抽象 把与数学有关的知识引入数学内部 抽象能力强 推理 促进数学内部的发展 推理能力强 模型 沟通数学与外部世界的桥梁 应用能力强 2 体会数学知识之间 数学与其他学科之间 数学与生活之间的联系 运用数学的思维方式进行思考 增强发现和提出问题的能力 分析和解决问题的能力 3 了解数学的价值 提高学习数学的兴趣 增强学好数学的信心 养成良好的学习习惯 具有初步的创新意识和实事求是的科学态度 数与代数领域1 删去的内容对大数的认识与应用 能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断 有效数字 的概念能根据具体问题中的数量关系 列出一元一次不等式组 解决简单的问题 2 增加的内容知道 a 的含义 这里a表示有理数 最简二次根式的概念 最简分式的概念整式的乘法增加一次式与二次式相乘能用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根和两个实根是否相等了解一元二次方程根与系数的关系会利用待定系数法确定一次函数的解析表达式能解简单的三元一次方程组 选学 知道给定不共线的三点坐标可以确定一个二次函数 选学 3 要求上有变化的内容 图形与几何领域 图形的认识 图形与证明 合并为 图形的性质 图形与变换 图形的变化 1 删去的内容关于等腰梯形的相关要求探索并了解圆与圆的位置关系关于影子 视点 视角 盲区等内容 以及对雪花曲线和莫比乌斯带等图形的欣赏等关于镜面对称的要求 2增加的内容会比较线段的大小 理解线段的和 差 以及线段中点的意义了解平行于同一条直线的两条直线平行会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类了解并证明圆内接四边形的对角互补 了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系尺规作图 过一点作已知直线的垂线 已知一直角边和斜边作直角三角形 作三角形的外接圆 内切圆 作圆的内接正方形和正六边形 了解平行线性质定理的证明 探索并证明垂径定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧 探索并证明切线长定理 过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等 了解相似三角形判定定理的证明 统计与概率领域 三个学段层次更加明确第三学段 画扇形图 频数直方图 加权平均数 中位数 众数 方差 简单随机抽样 强调对 随机 的体会通过案例了解简单随机抽样 通过表格 折线图等了解随机现象的变化趋势 加强体会数据的随机性明确指出所涉及的随机现象都基于简单随机事件删去极差 频数折线图 综合与实践第一学段 以实践活动为主要形式 第二学段 学生将在教师的指导下 经历有目的 有设计 有步骤 有合作的综合与实践活动 第三学段 学生将在教师的引导下 独立思考 合作研究 设计解决具体问题的方案 并加以实施 体验建立模型 解决问题的过程 并在此过程中 尝试发现和提出问题 2 教师实验的反馈总体上 新课程提倡的理念难把握 新教材的改革设计难适应 教学方式 学习方式的变革难跟上 课程改革与考试评价制度的改革不配套 等等 新课改后中学数学教材特点的比较研究 课题的调查结论认可教材的主要变化 但实际教学效果不明显 教材的主要变化1 更重视数学知识的学习过程 加强教材的启发性 探究性 发展性 2 更重视数学知识与实际问题的联系 加强教材对实际背景与实际应用的反映 本次课程改革 各个版本的教材在呈现方式上都作了很大的改进 教材中都设计了一些引导学生思维的栏目 注意留给学生探索与交流的空间 选材注重与学生现实生活的联系等等 从统计结果来看 教师对教材的这些处理还是比较认可的 但是 尽管教师认可教材的呈现方式 学生的学习兴趣和学习的自主性并没有明显的提高 这应当引起我们的注意 课标教材中设置的引导思维的栏目 如 想一想 探究 等 对学生掌握相关内容 对于课标教材中设置的引导学生思维的栏目数量 您认为 课标教材给学生探索和交流的空间 课标教材联系生活实际的问题 课标教材的教学中 学生的学习兴趣 课标教材的教学中 学生学习的自主性 能力方面传统优势降低 改革倡导的能力没有显著提高 对于学生对基础知识和基本技能的掌握 教师的态度比较中性 对于传统的 三大能力 中的运算能力和逻辑思维能力 教师的评价是负面的 对于同是 三大能力 的空间想象能力 教师的评价是正面的 另外 本次课程改革 从课程标准到各个版本的教材 都注意加强了对学生解决实际问题能力 探究能力 数学表达与交流能力的培养 但从调查结果来看 教师的选择出现了分化 三个问题的回答 选择 提高 差不多 降低 的比例大致相同 并没有得到我们预期 提高 的结果 使用课标教材后 学生的运算能力与您的预期相比 使用课标教材后 学生的逻辑思维能力与您的预期相比 使用课标教材后 学生的解决实际问题的能力与您的预期相比 使用课标教材后 学生的自主探究能力与您的预期相比 客观原因影响教材实验及其效果的因素是复杂的 比如 由于班额普遍偏大 初中班额在50人以上的占77 强 在60人以上占41 82 高中班额在50人以上的占76 44 在60人以上的占38 12 以及受升学 考试等的影响 尽管教师认可教材重视数学知识的学习过程 加强启发性及探究性等处理方式 但这些措施在实际教学中往往难以到落实 反思我们自己的问题 培训 回访 课题研究 征求意见会等多种渠道反馈的一些具体意见函数的位置联系实际的问题式的内容的安排二次根式与勾股定理推理证明的把握题目难度与配套个别内容的处理 有理数乘法 3 对数学教材的进一步研究 我们的基本想法坚持我国数学教育优良传统 针对问题进行改革 认真处理好继承 借鉴 发展 创新之间的关系 体现基础性 时代性 典型性和可接受性 编写出一套符合学生终身发展需要的 体现社会发展及科学进步的 具有广泛适应性的高质量的初中数学教科书 我国数学教育的优势要坚持重视双基 重视培养学生能力 数学课程教材具有体系结构严谨 逻辑性强 语言叙述条理清晰 文字简洁 流畅 有利于教师组织教学 注重对学生进行基础训练等优点 数学教学强调对概念的理解和基本技能的训练 强调为学生铺设合理的认知台阶 强调变式训练等 学生的数学基础扎实 运算能力和逻辑推理能力强 我国数学教育存在的问题要正视数学教学 不自然 强加于人 缺乏问题意识 重结果轻过程 掐头去尾烧中段 重解题技能技巧轻普适性思考方法的概括 方法论层次的内容渗透不够 机械模仿多独立思考少 数学思维层次不高 重形式而轻思想 强调细枝末节多关注基本概念 核心数学思想少 对学生数学素养的提高不利 学生学习方法单一 被动 学生自主归纳抽象结论少 不利于创新精神的培养 数学课改中应处理好的几个关系学生主体与教师主导接受学习与发现学习基础与创新数学知识 能力与情感态度数学化与情境化 直观与逻辑 形象与抽象等 独立思考与合作交流过程与结果面向全体与因材施教书本知识与数学应用 修订原则 关注数学的科学性 教学的合理性 两者兼顾 教材体系保持相对稳定 适当调整 考虑使用教材的惯性 三 教科书体系的修订 1 数与代数 一次函数后移 使学生学习函数的难点移后 二次函数提前 加强与一元二次方程的联系 反比例函数移后 便于学生理解涉及的一些物理等相关知识 二次根式提前 便于解决勾股定理中根式化简等问题 实数提前 便于学生理解点与实数对的一一对应 以及不等式的解集 2 图形与几何 三角形 与 全等三角形 直接连接 加强知识的整体性与连贯性 七上几何图形初步七下相交线与平行线平面直角坐标系八上三角形全等三角形轴对称八下勾股定理平行四边形九上旋转圆九下相似锐角三角函数投影与视图 3 统计与概率数据的收集 整理与描述 七年级下 删分层抽样数据的分析 八年级下 概率初步 九年级上 4 实践与综合运用数学活动课题学习 镶嵌 变为选学内容增加课题学习 最短路径问题 八上轴对称 删去课题学习 重心 删去课题学习 键盘上字母的排列规律 数学活动调整 数与代数 图形与几何 统计与概率 引言小结学习 研究 方法的引导合理的探究过程例题 练习 习题的处理推理证明的安排数式通性与实际问题的联系函数内容的处理 四 修订中重点关注的一些问题 1 引言 小结引言是全章的起始 序曲 是全章内容的引导性材料 具有先行组织者的重要作用 本章内容的引入 借助适当的问题情境引入本章内容 问题可以来源于实际 一个或几个需用本章知识解决的现实问题 也可以是数学内部的问题 知识发展过程中水到渠成产生的问题 有承上启下作用的问题 适当 主要体现在背景的适切性和问题的典型性 丰富性 简洁性等方面 本章内容的概述 使学生了解本章内容的概貌 用简明的语言阐述本章的主要内容 不要罗列知识点 要突出重点 概述 要详略得当 要注意结合具体内容 避免抽象叙述 本章方法的引导 使学生了解本章的主要数学思想方法和学习 研究 方法 数学思想方法应是由本章内容直接反应的 要言之有物 学习 研究 方法要具体可操作 如 类比分数学习分式 引言的关键在于 引 引 就是引发兴趣 引起求知欲 引出知识 引导方法 要注意对象 引言是针对学生的 素材的选取要贴近学生生活实际 要与学生当前的认知水平相适应 语言要生动活泼 体现内容特点 对于某一领域的开篇 可以从宏观整体角度进行适当引导 如 有理数 以 数系的扩展 为指导思想 按 引入新的数 运算 运算律 的线索加以阐述 知识发展过程中的某一章 要注意与已学内容的联系 如 平行四边形 要注意引导学生借助三角形的学习经验 对于某些不能严格化的内容 可以用 模糊但不错 的方式处理 如 实数 不能拘泥于严谨的要求 与章头图的配合 章头图 与 章引言 是有机整体 要尽量做到图文并茂 相互映衬 根据引言的需要 章头图可以不仅是一幅图片 为了更好地体现意图 可对图片作适当加工 如 相交线与平行线 中可以在大桥图片中标出平行线 垂线等 可用一句概括性的话对图片 画龙点睛 与小结呼应 引言与小结分别是一章的序曲和尾声 要注意两者相互呼应 还要注意两者的差异 引言中的内容概述 方法引导目的是 了解概貌 宜以具体例子为载体 小结中的内容及其思想方法的总结 目的是 把握本质 例 有理数 的引言 这里 结余 1 20 是什么意思 怎么得到的 上面的例子涉及 3 3 等新问题 本章我们将在小学认识负数的基础上 把数的范围扩充到有理数 并在这个范围内研究数的表示 大小比较和运算等 有了这些知识 上述新问题就能得到顺利解决了 在生活 生产 科研中 经常遇到数的表示 运算的问题 例如 1 北京冬季里某一天的温度为 3 C 3 C 3 的含义是什么 这一天北京的温差是多少 2 某年 我国花生产量比上一年增长1 8 油菜籽产量比上一年增长 2 7 增长 2 7 表示什么意思 3 夏新同学通过拣 卖废品 既保护了环境 又积攒了零花钱 下表是他某个月的部分收支情况 例 相交线与平行线 的引言同学们对两条直线相交 平行一定不陌生吧 大桥上纵横交错的钢梁和钢索 棋盘中的横线和竖线 学校操场中的双杠 教室中的课桌面 黑板面相邻的两条边与相对的两条边 都给我们以相交线 平行线的形象 你能再举出一些相交线和平行线的实例吗 上一章我们认识了几何图形 并学习了一些基本的平面图形 直线 射线 线段和角 本章将研究平面内不重合的两条直线的位置关系 相交与平行 对于相交 我们要研究两条直线相交所成的角的位置关系和数量关系 对于平行 我们要借助于一条直线与另外两条直线相交所成的角 研究平行线的判定和性质 在此基础上 再学习平移的有关知识 本章我们还将学习通过简单推理得出数学结论的方法 培养言之有据的思考习惯 例 整式的乘除与因式分解 的引言为了扩大绿地面积 要把街心花园的一块长m米 宽b米的长方形绿地 向两边分别加宽a米和c米 你能用几种方法表示扩大后的绿地面积 不同的表示方法之间有什么关系 如何从数学的角度认识它们之间的关系 回答上面的问题要用到整式的乘除与因式分解的知识 本章我们将在七年级学习的整式的加减的基础上 继续学习整式的乘除与因式分解 它们是数 式运算 以及解决其他许多数学问题的重要基础 与类比数的加减学习整式的加减类似 我们可以从数的乘除运算中 得到关于整式的乘除运算的启发 小结是对全章内容的梳理 是对本章内容所反映的主要思想方法归纳概括 小结对于提高教材的思想性 帮助学生 由厚到薄 地再认识本章内容 以及帮助教师提升教学的 立意 都有重要作用 本章知识结构图 以框图形式表示本章知识要点 发展脉络和相互联系 可以是结构图 本章知识结构 也可以是流程图 本章内容展开过程 具体内容是本章主要知识点和内容反映的思想方法 回顾与思考 回顾 是对本章内容的整体概述 阐述本章内容之间 本章内容与其他内容之间的联系 揭示本章内容反映的思想方法 研究方法等 思考 是以问题形式引导学生回忆 总结全章内容 深化对本章核心内容及其反映的数学思想方法的理解 强调 问题引导 的目的是加强学生的主动思维 通过学生自己的独立思考归纳概括全章内容 按照本章内容发展的逻辑线索进行概括 小结不是知识 问题的简单罗列 而是归纳概括 提升理解水平 要在那些重点 难点和关键上提出有思考力度的问题 问题不宜琐细 小的 有联系的问题应适当整合 突出 思想性 对主要内容及其反映的思想方法进行提炼与概括 使小结体现全章思想的 点睛 作用 例如 有理数 的小结 要在 数系的扩展 思想指导下 明确地点明数及其运算的内容和方法 渗透代数的基本思想方法 相交线与平行线 的小结 要结合本章内容的展开过程揭示研究几何图形的基本套路 内容和方法 等 思考 中的问题要注意与概述部分协调 要尽量避免重复 形式上 思考 部分不一定都是提问方式 可以根据具体内容的特点和需要采用 夹问夹叙 的方式 注意语言精炼 准确 同时要注意用学生能理解的词汇 加强可接受性 与引言相呼应 首尾呼应很重要 前面是伏笔 后面是回应 在思想方法 研究方法上有一定的提升 例 相交线与平行线 小结本章我们学习了平面内不重合的两条直线的位置关系 相交与平行 当两条直线只有一个公共点时 这两条直线相交 在相交线的学习中 我们研究了两条直线相交所形成的邻补角和对顶角的位置和数量关系 这也是相交线的性质 垂直是相交的特殊情形 它在实际生产和社会生活中具有广泛的应用 当两条直线没有公共点时 这两条直线平行 借助两条直线被第三条直线所截形成的同位角 内错角和同旁内角 我们研究了平行线的判定与性质 图形的判定 讨论的是确定某种图形需要什么条件 例如 两条直线与第三条直线相交 具备 同位角相等 就有 两直线平行 图形的性质 讨论的是这类图形有怎样的共同特性 例如 两条直线只要平行 就一定有同位角相等 学习本章时 要注意观察实物 模型和图形 通过观察 测量 实验 归纳 对比 类比等来寻找图形中的位置关系和数量关系 从而发现图形的性质 同时 还要注意体会通过 推理 获得数学结论的方法 培养言之有据的习惯和有条理地思考 表达的能力 例 整式的乘除与因式分解 小结本章我们类比数的乘除和乘方运算学习了整式的乘除 整式的乘除主要包括幂的运算性质 单项式的乘除 多项式的乘除等 它们都是进一步学习的重要基础 由于整式中的字母表示数 因此数的运算律和运算性质在整式的运算中仍然成立 在整式的乘法中 多项式的乘法要利用分配律转化为单项式的乘法 而单项式的乘法又要利用交换律和结合律转化为幂的运算 因此 幂的运算是基础 单项式的乘法是关键 整式的除法也与此类似 因式分解是与整式的乘法方向相反的变形 整式的乘法是把几个整式相乘 得到一个新的整式 而因式分解是把一个多项式化为几个整式相乘 知道了这种关系 不仅有助于理解因式分解的意义 而且也可以把整式乘法的过程反过来 得到分解因式的方法 某些具有特殊形式的多项式相乘 可以写成乘法公式的形式 利用它们可以简化运算 把乘法公式反过来用 就得到了因式分解的公式法 例 圆 小结本章比较系统地学习了圆的概念和性质 圆是一种特殊的曲线 圆的性质一般是通过与圆有关的线段 如直径 弦 切线等 和角 如圆心角 圆周角等 体现的 因此 有关直线形图形的性质和判定在得出和证明圆的性质时发挥着重要的作用 本章我们还学习了与圆有关的位置关系 包括点和圆 直线和圆的位置关系 圆和三角形 四边形 正多边形的关系等 数形结合以及类比是我们研究这些关系时采用的主要方法 它们也是探索数学新知识的重要方法 圆具有完美的对称性 它是轴对称图形 它的任何一条直径所在直线都是它的对称轴 它也是中心对称图形 圆心就是它的对称中心 不仅如此 它还是旋转对称图形 把圆绕圆心旋转任意一个角度 所得的图形都与原图形重合 圆的许多性质都与圆的这些对称性有关 结合下面的