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文档简介

第二节偏导数 本节要点 一 偏导数的定义及偏导数的计算方法 二 偏导数的几何意义 三 高阶偏导数 一 偏导数 导数是函数增量与自变量增量的比值的极限 即 一个变量的改变而引起函数改变的情况 在一元函数的微积分中 我们知道 所谓一元函数的 自然 多元函数的情况要复杂的多 但有时候也会遇到 为此 我们引入 1 偏增量 设函数定义域为点 称其为函数在点 关于自变量的偏增量 记为 给自变量以增量并使得点 相应的函数的增量为 即 2 偏导数 设函数在点的某邻域内有定义 存在 则称此极限为函数在点对 给以增量并使得若极限 的偏导数 记作 类似地 若极限 存在 则称此极限为函数在点对 的偏导数 记作 则称函数在点可偏导 称其为的偏导函数 记为 当函数在点同时存在对的偏导数 如果函数在某平面区域内的每一点 都存在对或对的偏导 由此得到了新的函数 注从偏导数的定义中可以看出 多元函数对某一变量 的偏导数 实际上是把其它变量视为常数的导数 因而 在对某变量求导的过程中 只需把其它变量视为常数 对该变量用一元函数求导的方法 即可求出相应的导数 例求函数在点处的导数 解 所以 例设求 解由一元复合函数的求导法则得 二 偏导数的几何意义 设二元函数 在点有偏导 为曲面上的点 过点作平面 此平面与曲面相交得一曲线 曲线的方程为 由定义 知道 在几何上表示曲线 在点处的切线对轴的斜率 偏导数在几何上表示曲线在点 处的切线对轴的斜率 同理 三 可导与连续 即如果函数在某一点可偏导 不能保证函数在该点连续 在一元函数微分学中我们知道 如果函数在一点可导 则在该点一定连续 但是对多元函数而言 此结论就不成立 可导连续 例设 解当时 求的偏导 当时 即 由于 所以不存在 函数在处不连续 四 高阶偏导数 如果这两个偏导数仍可偏导 则称它们的偏导数为函数 设函数在平面区域内处处存在偏导数 由求导次序 可得到相应的四个二阶偏导 的二阶偏导数 而其中的第二与第三项称为混合偏导 例求的二阶偏导数 解 我们可以看到这两个混合偏导是相同的 例设 求 解当时 而当时 此时 内 定理如果函数的两个二阶混合偏导数 在区域内内连续 那么在该区域 上例中继续计算可验证不存在 因此不满足定
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