高中数学 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.2 空间中的平行关系（1）课堂探究 新人教B版必修2.doc

1.2.2 空间中的平行关系 1课堂探究探究一 基本性质4的应用基本性质4说明把平行线的传递性推广到空间也能成立，这个基本性质是判断两条直线平行的重要方法之一，其关键在于寻找联系所证两条平行直线的第三条直线此外，我们还要熟悉各种几何图形的定义和特征【典型例题1】 如图所示，已知e，f分别是空间四边形abcd的边ab与bc的中点，g，h分别是边cd与ad上靠近d的三等分点，求证：四边形efgh是梯形思路分析：要证明四边形efgh是梯形，只需证一组对边平行且不相等即可通过本题条件可知，利用平面的基本性质4即可解决证明：在abc中，因为e，f分别是ab，bc边上的中点，所以efac又在acd中，g，h分别是cd，ad边上的三等分点，所以ghac所以efgh，且efgh，即四边形efgh是梯形探究二 等角定理的应用证明角相等的常用方法有：(1)利用题设中的条件，将要证明的两个角放在两个三角形中，利用三角形全等或三角形相似证明两个角相等(2)在题目中若不容易构造三角形或不能利用三角形全等或相似来证明角相等，可考虑两个角的两边，可利用定理证明这两个角的两边分别对应平行且方向相同或相反，从而达到目的【典型例题2】 (1)空间中有一个a的两边和另一个b的两边分别平行，a70，则b_解析：因为a的两边和b的两边分别平行，所以ab或ab180又a70，所以b70或110答案：70或110(2)已知e，e1分别是正方体abcda1b1c1d1的棱ad，a1d1的中点求证：becb1e1c1解：如图所示，连接ee1，因为e1，e分别为a1d1，ad的中点，所以a1e1 ae所以四边形a1e1ea为平行四边形，所以a1ae1e又因为a1ab1b，所以e1eb1b，所以四边形e1ebb1是平行四边形，所以e1b1eb同理e1c1ec又bec与b1e1c1对应边方向相同，所以becb1e1c1探究三 直线与平面平行的判定定理1应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可2要明确其思路是用直线与直线平行判定直线和平面平行应用时，只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可简单地说，线线线面3在题目中出现中点时，常见的证线线平行的两种途径(1)中位线线线平行(2)平行四边形线线平行【典型例题3】 一木块形状如图所示，点p在平面vac内，过点p将木块锯开，使截面平行于直线vb和ac，应该怎样画线？思路分析：可考虑利用线面平行的判定定理分析“目标线”的画法解：如图，在平面vac内经过点p作efac，且与vc的交点为f，与va的交点为e在平面vab内，经过点e作ehvb，与ab交于点h在平面vbc内，经过点f作fgvb，与bc交于点g，连接gh，则ef，fg，gh，he为截面与木块各面的交线证明如下：因为ehvb，fgvb，所以ehfg，可知e，h，g，f四点共面因为vb平面efgh，eh平面efgh，所以vb平面efgh同理可证ac平面efgh点评 证明线面平行时，先在平面内找与已知直线平行的直线，若找不到，再添加辅助线添加辅助线一般要结合特殊点、特殊图形，添加的辅助线多为中线、高线、中位线或特殊图形的边探究四 直线与平面平行的性质定理的应用1性质定理可作为直线和直线平行的判定方法应用时，需要经过已知直线找平面(或作平面)与已知平面相交，以平面为媒介证明线线平行2定理中的三个条件：(1)直线a平面；(2)平面，相交，即b；(3)直线a在平面内缺一不可定理的应用流程可表示如下：【典型例题4】 如图，四边形efgh为空间四边形abcd的一个截面，若截面为平行四边形(1)求证：ab平面efgh，cd平面efgh；(2)若ab4，cd6，求四边形efgh周长的取值范围思路分析：(1)利用线面平行的判定和性质定理进行证明；(2)利用图形相似的性质来求边长解：(1)证明：因为四边形efgh为平行四边形，所以efhg因为hg平面abd，ef平面abd，所以ef平面abd因为ef平面abc，平面abd平面abcab，所以efab，易得ab平面efgh同理，cdeh，所以cd平面efgh(2)设efx(0x4)，由于四边形efgh为平行四边形，efab，cdeh，所以cdfg，故1从而fg6于是四边形efgh的周长为l12x又0x4，所以8l12，即四边形efgh周长的取值范围为(8,12)点评 线面平行的判定定理与性质定理常常交替使用：先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称为平行链，如下：线线平行线面平行线线平行探究五 易错辨析易错点：将b与b等同而致误【典型例题5】 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面已知：直线ab，a平面，a，b求证：b错解：因为直线ab，所以a与b无公共点又因为a平面，所以a与平面也无公共点，又b，所以b与无公共点，所以b错因分析：b包含b和bm两种情况，上面证明误认为b即意味着b而致错正解：如图所示，过a及平面内一点a作平面，设c因为a，所以ac因为ab，所以bc因为b，c，所以b点评 条件中有a，为了利用直线和平面平行的性质定理，因此过a作平面与相交，这里我们把