浅析孙子定理.doc

学院学 术 论 文题 目浅析孙子定理姓 名 所在学院 专业班级 学 号 指导教师 日 期 【摘要】孙子定理在一定程度上说明了我们古代数学所到达的程度，直至18世纪 C.F.高斯才给出这一定理。【Abstract】The Residue theorem showed to a certain extent we the ancient mathematics arrived the degree, only then gave this theorem until the 18th century C.F. Gauss.【关键字】孙子定理 整数 同余 初等数论【key words】Residue theorem Integer congruence primary theory of numbers中国南北朝时有部孙子算经，其卷下第26问是这样的：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之乘三，七七数之剩二，问物几何。答曰：23。术曰：三三数之则剩二，置140；五五数之剩三，置63；七七九之剩二，置30；并之得233，以210减之，即得。凡三三数之剩一，则置70；五五数之剩一，则置21；七七数之剩一，则置15；106以上，以105减之，即得。到宋代，民间有诗流传： “三岁孩儿七十稀，五留廿一事尤奇； 七度上元重相会，寒食清明便可知。”是隐喻上述问题的解法，读者只需注意诗中“上元”指农历正月十五，“寒食”指清明的前一天，而冬至后105天不是清明就是寒食。到明代，程大位算法统宗（1593）中载有： “物不知总，孙子歌曰（又云韩信点兵也）： 三人同行七十稀，五树梅花廿一枝， 七子团圆正半月，除百零五便得知。”也是把上述问题解法中的关键性数字，编排在一首打油诗中。这一首题与两首诗，究竟是怎么回事？仔细琢磨，我们就会明白。孙子算经中的“物不知其数”题，是很著名的数论问题，可以表示成求解如下一次同余式组：也可以表示成求解如下不定方程组：其解法在孙子算经的“术”中也给出来了：又可以进一步指明：这里三数剩二对应70，五数剩三对应21，七数剩二对应15，以及105等都在诗句中出现。实际上这个结果还能写成其中只有2、1、1三个数没有出处可交待，或者说这三个数如何确定尚不清楚。到1247年南宋数学家秦九韶在数书九章一书中，解决了这个问题，并称其为“乘率”。秦九韶在总结前人成果的基础之上，提出“大衍总数术”，从数的理论的角度，总结了求解一次同余式组的一般方法。对于一般的一次同余式组：前面介绍的都是Ai两两互素的情形，而且解答中的N是取最小正数。秦九韶将此推广到Ai未必互素的一般情形，所以他的“大衍总数术”包括两大部分：其一，将A1，A2，An化为两两互素的A1，A2，An，即将（*）转化为这叫做化问数Ai为定数ai；其二，求解得乘率，从而可得其中，所得余，P为适当非负整数，使NM。求乘率的方法叫做“大衍求一术”，这是关键！秦九韶的结论，被国际数学界誉为“中国剩余定理”。其实，秦九韶的方法当时还有些不够严密的地方，表述也很晦涩，因而，秦九韶之后，在中国有不少数学家对他的方法进行了一系列的训诂、改进，尤其是清代学者张敦仁、骆腾凤、时日醇、黄宗宪等在这方面做出了贡献。在西方直到欧拉、拉格朗日、高斯才对此问题进行了较为深刻的研究，高斯的方法与秦九韶的方法非常相同，不过那已是19世纪了。我们不防用秦九韶的方法完整地解一道题求“定数”：化15、8、25为3、8、25，其中要满足3、8、25两两互素，3825的最小公倍数，且3|15，8|8，25|25，从而使原问题转化为当然，这些是古人对与孙子定理的理解，对于现代孙子定理可以用更简单的办法理解和证明：设,是k个两两互质的正整数，m=，m=,i=1,2,k,则同余式组x(mod ),的解是x(mod m),其中 1（mod ），i=1,2,k.孙子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的馀数，15乘7除所得的余数，然後总加起来，除以105的余数就是答案。 即题目的答案为 702+213+152 =140+63+30 =233 233-2105=23 公式：70a+21b+15c-105n 解法中的三个关键数70，21，15，有何妙用，有何性质呢?首先70是3除馀1而5与7都除得尽的数，所以70a是3除余a,而5与7都除得尽的数，21是5除余1，而3与7都除得尽的数，所以21b是5除余b，而3与7除得尽的数。同理，15c是7除馀c，3与5除得尽的数，总加起来 70a+21b+15c 是3除馀a，5除余b ，7除余c的数，也就是可能答案之一，但可能不是最小的，这数加减105(105=3*5*7)仍有这样性质，可以多次减去105而得到最小的正数解。孙子定理中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国剩余定理。孙子定理是数论中最重要的基本定理之一，实质上刻画了剩余系的结构。定理的证明和构造都值得仔细推敲。把所求的解表示为一个线性组合，线性组合中的每一项都满足其中的一个性质，适当组合起来就是满足要求的解，确实妙！下面是我关于孙子定理想到的几个题目及其解答1.有一个两位数除以2与除以3都余1，除以4与除以5都余3，求这个数。2.某数能被2.4.8整除，且除以3余1.除以5余3.除以6余4.除以7余4.求符合条件的最小数。答：1.两位数除以2与除以3都余1说明是6的公倍数还多1除以4与除以5都余320的公倍数多3从23.43.63.83选出符合6的公倍数还多1的是432.某数能被2.4.8整除，且除以3余1.除以5余3.除以6余4.除以7余4.求符合条件的最小数。除以6余4.除以7余4说明：42的公倍数多4除以3余1.除以5余3说明：15的公倍数少242的公倍数多4，15的公倍数少2因为要求最小，所以从小的试试42*1+4=46不行42*2+4=88可以！符合“42的公倍数多4，15的公倍数少2”所以88 “物不知数”问题记载在5-