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公因数和公倍数【知识点回顾】1、公因数（1）互素数：公因数只有1的两个自然数叫做互素数。（2）简分数：分子、分母是互素数的分数叫做简分数。（3）求最大公因数的方法：分解素因数法和短除法。2、公倍数 求最小公倍数的方法：分解素因数和短除法，即用最大公因数各自独有的因数。3、求两个数的最大公因数和最小公倍数，有3种基本情况，区别如下：两个数的关系最大公因素最小公倍数特殊关系互素（7和8）1两个数的积（78=56）较大数是较小数的倍数（12和48）较小数（12）较大数（48）一般关系（12和18）用短除法将除数连乘（23=6）将除数和商连乘（2323=36）4、求最大公因数和最小公倍数的方法：一、特殊情况：（1）倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。（如；6和12的最大公因数是6，最小公倍数是12。）（2）互质关系的两个数，最大公因数是，最小公倍数是它们的乘积。（如，5和7的最大公因数时1，最小公倍数是57=35）二、一般情况：（1）求最大公因数：列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。列举法：如，求18和27的最大公因数先找出两个数的所有因数 18的因数有：1、2、3、6、9、18 27的因数有：1、3、9、27再找出两个数的公因数： 18的因数有：1、2、3、6、9、18 27的因数有：1、3、9、27 1、3、9最后找出最大公因数： 9单列举法：如，求18和27的最大公因数先找出其中一个数的因数：18的因数有：1、2、3、6、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数最后找出最大公因数： 9短除法： 3 18 27 3 6 9 2 3 除到商是互质数为止，最后把所有的除数相乘33=9139除法算式法：用这两个数同时除以公因数，除到最大公因数为止。 18 9就是18和27的最大公因数 27 （2）求最小公倍数：列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。列举法：如，求18和12的最小公倍数先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数： 18的倍数：18、36、54、72 12的倍数：12、24、36、48再找出两个数的最小公倍数： 18的倍数：18、36、54、72 12的倍数：12、24、36、48 单列举法：如，求18和12的最小公倍数先找出一个数的倍数： 18的倍数有：18、36、54、72再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数，找出最小公倍数： 36大数翻倍法：如，求18和12的最小公倍数把较大的数翻倍（2倍开始），每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。如，求18和12的最小公倍数。可以把18翻倍：182=36，36又是12的倍数，所以36是18和12的最小公倍数。短除法：用这两个数同时除以一个质数（要能整除）如，求18和12的最小公倍数，先用18和12同时除以质数2，再同时除以质数3，除到两个商是互质数（公因数只有1）为止。除到商是互质数为止，最后把所有的除数和商相乘18和12的最小公倍数是：2332=36 2 18 12 9 6 3 3 2除数 商【例题精讲】问题1、（1）既是30的因数，又是45的因数的数共有几个？其中最大的数是多少？ （2）既是30的倍数，又是45的倍数的数，最小是多少？想：（1）既是30的因数，又是45的因数的数，就是30和45的公因数，其中最大的就是30和45的最大公因数；（2）既是30的倍数，又是45的倍数的数就是30和45的公倍数，其中最小的数就是30和45的最小公倍数。 解：（1）30和45的公因数有：1，3，5，15共四个，其中最大的是15；（2）30和45的公倍数有：90，180，270等等，其中最小是90。随堂练习1、 既是30的倍数，又是45的倍数，还是75的倍数的数，最小是多少？问题2、三个连续自然数的最小公倍数是168，那这三个连续自然数的和是多少？解析：要求三个连续自然数的和，就要把这三个自然数求出来，而这三个连续自然数的最小公倍数是168，可先把168分解质因数16822237，根据168的质因数的情况可以肯定其中一个是7，（为什么不可能是14）因此这三个连续自然数只有6、7、8和7、8、9两种可能，而7、8、9这三个数任两个数公因数都是1，故这三个连续自然数只能是6、7和8。（经检验正确）它们的和是67821。 答：这三个连续自然数是6、7、8。它们的和是21。随堂练习1、三个连续自然数的最小公倍数是660，那么这三个连续自然数各是几？问题3、有一种长60厘米，宽45厘米的长方形砖，用这样长方形砖铺地，至少要用多少块这样的砖，才能铺成一块正方形？想：用长60厘米，宽45厘米的砖铺成一块正方形，这个正方形的边长既是60的倍数，也是45的倍数，也就是60和45的公倍数，因此正方形的边长是180厘米，由此容易求得一共用的地砖块数。 解：60、45180 （18060）（18045）12（块）答：至少要用12块这样的砖，才能铺成一块正方形。随堂练习1、 一种长45厘米，宽30厘米的长方形塑料板，拼成一个正方形，至少要用这种塑料板多少块？问题4、某班学生排队做操，如果每排3人，少了1人；如果每排5人，就多出2人；如果每排6人，就多出2人。这个班至少有多少人？ 想：如果把每排3人，就少了1人，转化成每排3人，也就是多了2人，这样就把这个班分别排成每排3人、5人、6人都统一成多出了2人。如果把这个班的人数减去2人，那么这个班的学生人数正好是3、5和6的倍数，也就是3、5和6的最小公倍数，然后加上多出的2人就是这个班的学生人数。 解：3、5、630 ， 30232（人） 答：这个班至少有32人。随堂练习1、 有一个自然数，除以10余7，除以6余3，除以4余1。这个自然数最小是多少?问题5、五（2）班同学共38人。一天上体育课，排成一列横队，都面向老师站，然后按1，2，3，436，37，38报数，老师要求学生按如下的步骤进行操作：（1）先让报数是3的倍数的同学向后转；（2）再让报数是5的倍数的同学向后转。经过这两步操作后，还有多少名同学仍面向老师？ 解析：报数是3的倍数的同学有：38312（人），报数是5的倍数的同学有：3857（人），但要注意的是，报数是3和5的公倍数的同学有38（35）2（人），而这2人转了2次，又面向了老师，所以经过两步操作后，背对老师的同学共有1272215（人），这时仍有381523（名）同学面对老师。答：经过这两步操作后，还有23名同学仍面向老师。随堂练习1、 五（1）班同学有47人，一天上体育课，排成一列横队，都面向老师，然后按1、2、3、446、47报数，老师要求学生按如下的步骤操作：（1）先让报数是3的倍数的同学向后转；（2）再让报数是5的倍数的同学向后转。经过这两步操作后，还有多少名同学面向老师？最小公倍数与最大公因数典型的应用题汇总一、解题技巧：最大公因数解题技巧：通常从问题入手，所求的数量处于小数（即处于除数、商、因数）的地位时，因为小数（即处于除数、商、因数）是大数（即处于被除数、被除数、积）的因数，此时，所求的数量就处于因数的地位。如果出现相同的（公有的）/最长的所求数量，即求他们的公因数/最大公因数的应用题。最小公倍数解题技巧：通常从问题入手，所求的数量处于大数（即处于被除数、被除数、积）的地位时，因为大数（即处于被除数、被除数、积）是小数（即处于除数、商、因数）的倍数，此时，所求的数量应处于倍数的地位。如果出现相同的（公有的）/最小的所求数量，即求他们的公倍数/最小公倍数的应用题。补充部分公式小长方形个数=（大正方形边长小长方形长）（大正方形边长小长方形的宽）小正方形个数=（大长方形的长小正方形边长）（大长方形的宽小正方形边长）小长方体个数=（大正方体边长小长方体长）（大正方体边长小长方体的宽）（大正方体边长小长方体高）小正方体个数=（大长方体边长小正方体边长）（大长方体的宽小正方体边长）（大长方体的高小正方体边长）剩余定理 余数相同时，总数（被除数）=最小公倍数余数 缺数相同时，总数（被除数）=最小公倍数缺数植树问题公式不封闭型：2、只有一端都栽1、两端都栽 间隔个数=株数间隔个数=株数1株数=间隔个数1 株数=间隔个数距离=一个间隔的长度间隔个数 距离=一个间隔的长度间隔个数 3、两端都不栽间隔个数=株数1株数=间隔个数1距离=一个间隔的长度间隔个数封闭型：间隔个数=株数株数=间隔个数距离=一个间隔的长度间隔个数封闭型再正方形边上栽，并且4个顶点都栽：株数=（每边株数1）4备注：上下多少层楼以及锯段数及敲钟问题等实际运用实质上是两端都栽树的植树问题，这类题通常先求一层一段需要多少时间，再乘以段数即可二、经典题目1、一个大长方形长24厘米，宽18厘米，把它裁成若干个小正方形而没有剩余，如小正方形的边长最长，边长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方形？2、一个长方形的长6厘米，宽4厘米，至少要多少个这样的小长方形才能拼成一个大的正方形？此时，大的正方形的边长是多少厘米？3、一个大长方体长24厘米，宽18厘米，高12厘米，把它裁成若干个小正方体而没有剩余，如小正方体的边长最长，正方体的棱长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方体？4、一个长方体的长6厘米，宽4厘米，高2厘米。至少要多少个这样的小长方体才能拼成一个大的正方体？此时，大的正方体的棱长是多少厘米？5、一路车5分钟发一次车，二路车6分钟发一次车，他们现在同时发车，至少要多少时间再次同时发车？6、崔青青5天去一次图书馆，李幻霞3天去一次图书馆，修畅6天去一次图书馆，她们今天同时在图书馆，至少要多少天她们3人再次相遇？7、五（3）班做早操，每6人一排或每7人一排，都能排成整排而没有剩余，五（3）班至少有多少人？8、五（3）班做早操，每6人一排或每7人一排，都都剩余3人，五（3）班至少有多少人？（备注：最小公倍数与剩余定理题综合出题）9、五（3）班做早操，每6人一排少3人，每7人一排剩余4人，五（3）班至少有多少人？（备注：最小公倍数与剩余定理题综合出题）10、五（3）班分水果，桃子84个，苹果42个，平均分给每个同学正好分完而没有剩余。五（3）班最多有多少人？11、两根铁丝分别长72米、48米，把他们裁成相等的段数，正好裁完，而没有剩余，每段最长是多少米？12、有一段路每8米栽一棵树，头尾都栽共栽了51棵。如果改成5米一棵，至少几米有一棵不动？共有多少棵不动？（备注：最小公倍数与植树问题综合出题）附加：1、起步价问题 某城市根据不同的用水量采用不同的自来水收费标准，收费标准如下表：月用水量（立方米/户）收费标准（元/立方米）10以下（包括10）部分1.8011至20（包括20）部分2.6020以上部分3.40（1）小明家五月份用水9立方米，应付水费多少元？（2）小明家六月份付水费31.20元，算一算，他家六月份用了多少立方米水？（3）抄表员七月一日到小明家抄水表时，水表上显示1363立方米，八月一日再次抄表时，水表上显示1384立方米。小明家七月份需要付水费多少元？2、最佳问题也叫最经济问题五（3）班4位老师带领38名学生去逛动物园，门票写着大人每张票价20元，儿童每张票价10元；如果购买团体票每10人为一张团体票，一张团体票80元。请你帮办主任算算怎样买票最合算，最合算多少元？ 五（3）班和五（4）班76位学生去划船，船上的标价是租一条大船30元，租一条小船20元，请问怎样租船最合算，最合算多少元？（大船一条坐15人，小船一条坐8人）一架天枰，只有5克和30克两个砝码，要把300克的盐平均分成三份，最少称几次？写出称法。14个大小完全一样的红球，其中一个重量轻是不合格的产品，你能用天枰称几找出不合格的产品？妈妈在厨房烙饼，每次锅里只能放两张饼，烙一张饼需2分钟，每面各1分钟。问妈妈在厨房烙3张饼至少需要几分钟？一把钥匙开一把锁，现有6把钥匙6把锁，但不知怎么相配。那么最多要试几次确保配对全部的钥匙和锁？有甲乙丙丁四袋奶粉，甲袋最轻，丙袋最重，乙袋在甲丙两者之间。试用无砝码天枰称一次，确定出丁排在第几位，应该怎样称量？3、容斥问题 注意去掉重复的计数（重复的计数通常指的是既参加这项，又参加另一项，因此在计数时，此数重复数了一次）五（3）班有36人，语文优秀的人数有26人，数学优秀的人数有30人，请问语数都优秀的有多少人（求重复计数部分的代表题）五（3）班有36人，语文优秀的人数有25人，数学优秀的人数有30人，有25人语数都是优秀，请问语数都达不优秀的有多少人（求综合性的代表题）五（3）班语文优秀的人数有25人，数学优秀的人数有30人，语数都优秀的有20人，请问五（3）班达到优秀的学生有多少人（求实际数量的代表题）五（3）班语文优秀的人数有25人，数学优秀的人数有30人，语数都优秀的有20人，还有5人达不到优秀，请问五（3）班有多少人【平时练习】第一天 用短除法求几个数的最大公因数12和30 24和36 39和78 72和84 36和60 45和60 45和75 45和60 42、105和56 24、36和48第二天 用短除法求几个数的最小公倍数。25和30 24和30 39和78 60和84 18和20 126和60 45和75 12和24 12和14 45和60 76和80 36和60 27和72 42、105和56 24、36和48 第三天一、填空1、甲235，乙237，甲和乙的最大公因数是（）2、36和60相同的质因数有（），它们的积是（），也就是36和60的（）3、（ ）的两个数，叫做互质数4、自然数a除以自然数b，商是15，那么a和b的最大公因数是（）二、判断（对的打“”，错的打“” ）1、互质数是没有公约数的两个数（ ）2、成为互质数的两个数，一定是质数（ ）3、只要两个数是合数，那么这两个数就不能成为互质数（ ）4、两个自然数分别除以它们的最大公因数，商是互质数（ ）三、选择题1、成为互质数的两个数（ ）没有公因数只有公因数1两个数都是质数都是质因数2、下列各数中与18只有公因数1是（ ）214025183、下列各组数中，两个数只有公因数1的是（）17和5152和9124和25 11和22四、直接说出下列各组数的最大公因数1、8与9的最大公因数是（ ）2、48、12和16的最大公因数是（ ）3、6、30和45的最大公因数是（ ）4、150和25的最大公因数是（ ）第四天一、填空1、按要求，使填出的两个数只有公因数1质数（ ）和合数（ ），质数（ ）和质数（ ），合数（ ）和合数（ ），奇数（ ）和奇数（ ），奇数（ ）和偶数（ ）2、两个数为互质数，这两个数的最大公因数是（ ）3、所有自然数的公因数为（ ）4、18和24的公因数有（），18和24的最大公因数是（）二、判断（对的打“”，错的打“” ）1、因为 1535，所以15和3的最大公因数是5（）2、30 、15和5的最大公因数是30（）3、最小的合数和最小的质数这两个数不是只有公因数1（ ）4、相邻的两个自然数一定只有公因数1（ ）三、选择题1、甲数的质因数里有1个7，乙数的质因数里没有7，它们的最大公约数的质因数里应该（）有五个7没有7不能确定2、甲、乙两数的最大公约数是7，甲数的3倍与乙数的5倍的最大公约数（ ）肯定是7肯定不是7不能肯定四、应用题用96朵红花和72朵白花做花束，如果每个花束里的红花朵数都相等，每个花束里的白花的朵数也都相等每个花束里最少有几朵花？第五天一、填空1 a和b 都是自然数，如果a 除以 b商5没有余数，那么a 和 b的最大公约数是（），最小公倍数（）2如果 a和b 是互质的自然数，那么a 和b 的最大公约数是（），最小公倍数是（）3三个质数的最小公倍数是42，这三个质数是（）4100以内能同时被3和7整除的最大奇数是（），最大偶数是（）5一个数的最大约数是 ，它的最小倍数是（）6所有偶数的最大公约数是（），所有奇数的最大公约数（）二、判断1几个数的公倍数是无限的，最小的只有一个（）2两个不同的自然数的最大公因数一定比最小公倍数小（）3如果三个自然数两两互质，它们的最大公约数是1，最小公倍数就是三个数的乘积（）4如果一个质数与一个合数不是互质数，那么这个合数是这两个数的最小公倍数（）5一个数的约数必定小于它的倍数（）三、选择题196是16和12的（）公倍数最小公倍数公约数2几个质数的连乘积是（）合数质数最大公约数最小公倍数3甲是乙的15倍，甲和乙的最小公倍数是（）15甲乙甲乙412是24和36的（）约数质因数最大公约数5一个数的最大约数（）它的最小倍数6 225， 235，那么 、 的最小公倍数是（）6003006010四、直接说出下列每组数的最小公倍数1 18和36的最小公倍数是（）2 45和135的最小公倍数是（）3 8、18和72的最小公倍数是（）4 48、16和24的最小公倍数是（）【综合测试】一、填空（共20分）1、最小的素数是（），最小的合数是（）。2、18的因数有（），24的因数有（），它们的公因数有（）。3、在120的自然数中，既不是素数又不是合数的数有（），既是素数又是偶数的有（）。4、自然数按因数个数的多少可以分成（）、（）和（）。5、1082至少加上（）是3的倍数，至少减去（）才是5的倍数。6、一个数的最大因数是13，这个数的最小倍数是（）。7、两个自然数a、b的最大公因数是1，它们的最小公倍数是（）。8、如果A223，B233，那么它们的最大公因数是（），最小公倍数是（）。9、一个数是3的倍数，又是5的倍数，还有因数7。这个数最小是（）。10、一个数既是30的因数、又是45的因数，最大的是（）。11、用0、1、2三个数字排成的所有三位数中，同时是2、3、5的倍数的数有（ ）。12、如果两个数的最大公因数是1，它们最小公倍数是91，那么这两个数的和最大是（）。二、判断题（共5分）1、两个连续自然数（0除外）它们的最大公因数是1。（ ）2、在24的因数中，是素数的只有2和3。（ ）3、5和7没有公因数，但5和7有公倍数。（ ）4、所有的