数学建模暑期训练题2.doc

饮酒驾车的数学模型摘要本模型目的是解决司机安全驾车与饮酒的问题，通过建立一个数学模型分析司机如何适量饮酒不会影响正常的安全驾驶。根据一定合理的假设，建立人体内酒精浓度随时间变化的微分方程模型，并通过拟合曲线对数据进行分析。在不同饮酒方式下进行分类讨论，得出体内酒精浓度随时间的变化函数。在讨论过程中，我们得到两个结论：在短时间喝酒形式下，达到最大值的时间为1.23小时，与喝酒量无关；在长时间喝酒形式下，喝酒结束时酒精含量最高。关键词：微分方程、模型、房室系统。一、问题重述 饮酒驾车问题主要是分析驾驶员在喝过一定量的酒后，酒精在体内被吸收后，血液中酒精含量上升，影响司机驾车，所以司机饮酒后需经过一段时间后才能安全驾车，国家标准新规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，司机大李在中午12点喝下一瓶啤酒，6小时后检查符合新标准，晚饭地其又喝了一瓶啤酒，他到凌晨2点驾车，被检查时定为饮酒驾车，为什么喝相同量的酒，两次结果不一样？讨论问题：1、 对大李碰到的情况做出合理解释；2、 在喝三瓶啤酒或半斤白酒后多长时间内驾车会违反标准，喝酒时间长短不同情况会怎样？3、 分析当司机喝酒后何时血液中的酒精含量最高；4、 如果该司机想天天喝酒还能否开车；5、 结合模型和国家新标准写一篇关天司机如何驾车的忠告。 二、模型假设1、 酒精从胃转移到体液的速率与胃中的酒精浓度成正比。2、 酒精从体液转移到体外的速率与体液中的酒精浓度成正比。3、 酒精从胃转移到体液的过程中没有损失。4、 测量设备完善，不考虑不同因素所造成的误差。5、 酒精在体液中均匀分布。三、符号说明k:酒精从体外进入胃的速率；f(t):酒精从胃转移到体液的速率；f(t):酒精从体液转移到体外的速率；X(t):胃里的酒精含量；Y(t)：体液中酒精含量；V:体液的容积；K:酒精从胃转移到体液的转移速率系数；K:酒精从体液转移到体外的转移速率系数；C(t):体液中的酒精浓度。：短时间喝酒情况下进入胃中的初始酒精量。T：较长时间喝酒所用的时间或达到浓度最大值所需时间。四、模型的分析与建立（一）、模型分析： 假设酒精先以速率进入胃中，然后以速率从胃进入体液，再以速率f(t)从体液中排到体外。根据假设可以建立如图一所示的带有吸收室的单房室系统，其中胃为吸收室，体液为中心室。 图一（二）模型建立：用x(t)与y(t)分别表示酒精在胃、体液中的酒精量，c(t)表示酒精在体液中的浓度。根据酒精从胃进入体液的速度f(t)与胃中的酒精量成正比，速率系数为K；酒精从血液中排出的速率f(t)与血液中的酒精量y(t)成正比，速率系数为K，可以建立方程如下： （1） （2） （3）将（1）式代入（3）式可得： （4）通过移项，上式可以转化为； （5）利用一阶线性常微分方程的常数变易法对（5）式求解，可以得到； （6）又因为 ，联合（6）式可得：（7） 又对中心室（即体液）可建立方程组如： （8）将（2）式代入（8）式可得：将上式转化为：因为，将其代入上式可得到： （9）求解（11）式可得； （10）（其中 ， ，）又酒精浓度为酒精量与体液容积之比，即： （11）（其中 ，）。（三）模型的讨论：1、 当酒是在较短时间内喝时此时有，。因为有 ，所以经计算整理后可得：，将A，B，C代入式（11）可以得到：酒在较短时间内喝下去时，体液中的酒精浓度与时间的函数关系式如下所示： （12）（其中 ）当t比较大时，显然K1K2,因此可认为：利用数表一：时间(小时)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量153437.5414138.534342925.52520.5时间(小时)678910111213141516酒精含量1917.51412.597.5653.53.52（表一）通过Matlab进行曲线拟合可得：，根据查阅资料可知：一瓶啤酒的酒精量一般为640ml，密度为810mg/ml酒精浓度为84.5%所以两瓶啤酒的酒精总量由于体重为70kg,体重的65%左右，体液密度为1.05mg/ml，所以可得体液的总体积为毫克/百毫升。由可求得：。可得短时间内喝下两瓶啤酒时血液中的酒精含量与时间的关系式如下； （13）用Matlab软件画出图形为：（图二：拟合曲线）本程序是对图二曲线的拟合Matlab程序： t= 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16;y1=82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4;y2=log(y1);polyfit(t,y2,1);ans = -0.1940 4.7753短时间内喝下二瓶酒时的酒精浓度与时间关系曲线图的程序 t=0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16;y1=30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4;a=118.5459;k1=2.114;k2=0.1940;x=0:20;y=a*(exp(-k2*t)-exp(-k1*t);plot(t,y1,+,t,y,r)2、 当酒是在较长时间内喝时我们可将其进行分段讨论。当t时，同样可以得到： （14）但此时，x（0）=0，y（0）=0 可得：（其中A=，）根据上式可得到：（ 其中 ， A=， ） 即：可以求得： A= B=28.0386772所以可得 : 当t时，则此时血液中的浓度与时间关系式如下：其中综上所述，可得，当时 （17）五、问题的解答问题一：假设大李第一次喝酒是在短时间内喝的，根据所建立模型，可知人体中血液中的酒精含量与时间的函数关系式如:根据求解可得，。所以可求得，当时，可以求得，小于国家规定的新标准，所以第一次遭遇检查时没有被认定为是饮酒驾驶，见图二图三接着，大李在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，此时大李体内还留有第一次喝后残留酒精，所以第二次体内的酒精含量，应该是二喝酒后体内酒精的叠加，此时我们认为大李是在较长时间内喝的，根据所建模型，有：已知，A=59.27295,k2=0.1940,k1=2.114,T=6.所以可以求出当t=14时，大于国家新规定的20mg/100ml,所以第二次虽然迟了二个小时，但检查出来时，酒精还是超标的，见下图：图四所以从以上分析可知，虽然大李是喝相同量的酒，且第二次检查时离喝酒时间比第一次延长了二个小时，但由于第一次喝后体内还留有第一次剩余的酒精，并且第二次是较长时间内喝的比第一次短时间内喝的达到标准所需时间要大，所以第二次会被认定是饮酒驾车，大李的这种遭遇我们可知，一个人人体内血液中的酒精含量不仅与所喝的酒量有关，而且还与喝酒所用的时间快慢及体内血液中原来的酒精含量也有关。问题二（1）当酒是在较短时间内喝时，根据已建立的基本模型，可知，人体血液中的酒精含量与时间的函数关系式为： （18）因为是短时间喝，此时，所以上式可转化为： （19）由于，所以 （20）因为喝了三瓶啤酒，则有，。 所以： 当时，可求得。所以当驾驶员在较短时间内喝下三瓶啤酒时，必须经过11.261小时后开车才不会被认为是饮酒驾车。（2）当酒是在较长时间内喝时，根据模型可知，人体中血液内洒精的含量与时间的关系式为：且此时，所以上式可转化为：因为已知，百毫升，当时，可以求出小时，所以当驾驶员在较长时间（如二个小时）喝下三瓶啤酒后，必须经过13.407小时后开车才不被认为是饮酒驾车。问题三：（1） 短时间内喝酒时根据所建立模型可知： 当的导数等于0时，可解得： （21）所以当时，取得最大值，因为T只与k1,k2有关，从表达式可知当在较短时间内喝酒时浓度达到最大值的时间与喝酒量无关。（2）、当酒是在较长时间内喝时当时， 求导得：由K1大于K2知，体液中酒精浓度不可能在（0，T）内达到最大值。当时，其中当T比较大时，趋向于，趋向于，现对求导得：可以由上式推出： 由K1大于K2知，体液中酒精浓度不可能在tT时达到最大值。综上所述，长时间喝酒时，血液中的酒精含量当喝酒结束时达到最大值。所以当喝酒时间是二个小时时，在第二小时时含量最高。问题四:假设天天喝酒,每次喝酒的量为均匀的,每隔T时间喝一次酒;当喝酒n次后,则时间t=nT,T1.23小时.所以将根据所建的模型,可以进行n次模型叠加,即表示为:当n时,上式可近似为如果要使驾驶员,天天喝酒还能开车不被认定为是引饮酒驾车,则必: A=所以所以可设啤酒瓶数为 a。综上所述,如果驾驶员想天天喝酒,天天开车的话,那么必需每天饮酒数量不超过1.7瓶.实验心得通过学习了数学建模之后，对一些简单的数学模型有了个简单的认识。所建立的模型简洁、明了，便于使用数学工具，如Matlab LINDO等，降低了编程求解的难度，缩短了运行时间